Vectơ trong không gian là gì ? Các yếu tố của vectơ lớp 12 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Vectơ trong không gian là gì ? Các yếu tố của vectơ lớp 12 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Vectơ trong không gian là gì ? Các yếu tố của vectơ.

Vectơ trong không gian là gì ? Các yếu tố của vectơ lớp 12 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

• Vectơ trong không gian

- Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.

- Độ dài của vectơ trong không gian là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.

Chú ý: Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, đối với vectơ trong không gian ta cũng có các kí hiệu và khái niệm sau:

- Vectơ có điểm đầu là A và điểm cuối là B được kí hiệu là $\overrightarrow{AB}$.

- Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của vectơ thì vectơ còn được kí hiệu là $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{x},\overrightarrow{y}$,…

- Độ dài của vectơ $\overrightarrow{AB}$ được kí hiệu là $\left|\overrightarrow{AB}\right|$, độ dài của vectơ $\overrightarrow{a}$ được kí hiệu là $\left|\overrightarrow{a}\right|$.

- Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó.

• Hai vectơ cùng phương, cùng hướng, ngược hướng, hai vectơ bằng nhau.

- Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau.

- Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng.

- Hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ được gọi là bằng nhau, kí hiệu $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b}$, nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Trong các vectơ khác $\overrightarrow{0}$, có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình hộp. Hãy chỉ ra những vectơ:

a) Cùng phương với vectơ $\overrightarrow{AB}$.

b) Bằng vectơ $\overrightarrow{AB}$.

c) Ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}$.

Hướng dẫn giải:

a) Các vectơ cùng phương với $\overrightarrow{AB}$ là $\overrightarrow{BA};\overrightarrow{CD};\overrightarrow{DC};\overrightarrow{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}};\overrightarrow{B^{\text{'}}{A}^{\text{'}}};\overrightarrow{C^{\text{'}}{D}^{\text{'}}};\overrightarrow{D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$.

b) Các vectơ bằng với $\overrightarrow{AB}$ là $\overrightarrow{DC},\overrightarrow{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}};\overrightarrow{D^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$.

c) Các vectơ ngược hướng với vectơ $\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}$ là $\overrightarrow{A^{\text{'}}A};\overrightarrow{B^{\text{'}}B};\overrightarrow{C^{\text{'}}C};\overrightarrow{D^{\text{'}}D}$.

Ví dụ 2. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', từ các đỉnh của hình hộp đã cho, tìm các vectơ đối (khác vectơ - không) của vectơ $\overrightarrow{AB}$.

Hướng dẫn giải:

Các vectơ đối của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là $\overrightarrow{BA};\overrightarrow{CD};\overrightarrow{B^{\text{'}}{A}^{\text{'}}};\overrightarrow{C^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}$.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong các vectơ sau, vectơ nào sau đây có điểm đầu là A, điểm cuối là B?

A. $\overrightarrow{AA}$;

B. $\overrightarrow{BA}$;

C. $\overrightarrow{AB}$;

D. $\overrightarrow{BB}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Vectơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B là $\overrightarrow{AB}$.

Bài 2. Trong không gian cho 3 điểm phân biệt A, B, C. Vectơ nào trong các vectơ sau đây là vectơ – không?

A. $\overrightarrow{BB}$;

B. $\overrightarrow{BA}$;

C. $\overrightarrow{BC}$;

D. $\overrightarrow{CA}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Vì vectơ – không là vectơ có điểm đầu điểm cuối trùng nhau nên $\overrightarrow{BB}=\overrightarrow{0}$.

Bài 3. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'.

Vectơ nào sau đây cùng phương với $\overrightarrow{BC}$.

A. $\overrightarrow{DC}$;

B. $\overrightarrow{DA}$;

C. $\overrightarrow{B{B}^{\text{'}}}$;

D. $\overrightarrow{C^{\text{'}}C}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Vì BC // DA nên $\overrightarrow{BC},\overrightarrow{DA}$ là hai vectơ cùng phương.

Bài 4. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D'.

Vectơ $\overrightarrow{BA}$ bằng với vectơ nào sau đây?

A. $\overrightarrow{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}$;

B. $\overrightarrow{CD}$;

C. $\overrightarrow{BC}$;

D. $\overrightarrow{AB}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Vì $\overrightarrow{BA},\overrightarrow{CD}$ là hai vectơ cùng hướng và BA = CD nên $\overrightarrow{BA},\overrightarrow{CD}$ là hai vectơ bằng nhau.

Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, vectơ nào sau đây bằng vectơ $\overrightarrow{AB}$?

A. $\overrightarrow{DC}$;

B. $\overrightarrow{CD}$;

C. $\overrightarrow{AD}$;

D. $\overrightarrow{BC}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Vì $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DC}$ cùng hướng và AB = DC nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.

Bài 6. Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C'. Số vectơ khác vectơ – không bằng vectơ $\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}$ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình lăng trụ là

A. 1;

B. 2;

C. 3;

D. 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Hai vectơ $\overrightarrow{B{B}^{\text{'}}}$ và $\overrightarrow{C{C}^{\text{'}}}$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}$ và AA' = BB'; AA' = CC' nên $\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}=\overrightarrow{B{B}^{\text{'}}};\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}=\overrightarrow{C{C}^{\text{'}}}$.

Bài 7. Cho tứ diện ABCD, gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB. Vectơ $\overrightarrow{AI}$cùng hướng với vectơ nào sau đây?

A. $\overrightarrow{BI}$;

B. $\overrightarrow{CD}$;

C. $\overrightarrow{CI}$;

D. $\overrightarrow{AB}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Vectơ $\overrightarrow{AI}$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{AB}$.

Bài 8. Cho tứ diện ABCD. Hỏi có bao nhiêu vectơ khác vectơ $\overrightarrow{0}$ mà mỗi vectơ có điểm đầu, điểm cuối là hai đỉnh của tứ diện ABCD?

A. 12;

B. 4;

C. 10;

D. 8.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Số vectơ khác vectơ $\overrightarrow{0}$ mà mỗi vectơ có điểm đầu, điểm cuối là hai đỉnh của tứ diện ABCD có số các chỉnh hợp chập 2 của 4 phần tử. Suy ra số vectơ là $A_4^2=12$.

Bài 9. Trong không gian, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Vectơ đối của vectơ $\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}$ là:

A. $\overrightarrow{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$;

B. $\overrightarrow{B{A}^{\text{'}}}$;

C. $\overrightarrow{B{B}^{\text{'}}}$;

D. $\overrightarrow{C^{\text{'}}C}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Vectơ đối của vectơ $\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}$ là $\overrightarrow{C^{\text{'}}C}$.

Bài 10. Cho tứ diện ABCD. Các vectơ có điểm đầu là A và điểm cuối là các đỉnh còn lại của hình tứ diện là

A. $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{CA};\overrightarrow{AD}$;

B. $\overrightarrow{BA};\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AD}$;

C. $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC};\overrightarrow{DA}$;

D. $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AD}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Các vectơ đó là $\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC};\overrightarrow{AD}$.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 12 hay, chi tiết khác:

• Cách chứng minh, phân tích các vectơ
• Xác định góc giữa hai vectơ và tính tích vô hướng của hai vectơ
• Các bài toán ứng dụng vectơ trong thực tế
• Xác định tọa độ điểm, tọa độ vectơ
• Vận dụng tọa độ của vectơ để giải các bài toán thực tế

---