Lý thuyết Đường kính và dây của đường tròn lớp 9 (hay, chi tiết)

Bài viết Lý thuyết Đường kính và dây của đường tròn lớp 9 hay, chi tiết giúp bạn nắm vững kiến thức trọng tâm Đường kính và dây của đường tròn.

Lý thuyết Đường kính và dây của đường tròn lớp 9 (hay, chi tiết)

Bài giảng: Bài 2: Đường kính và dây của đường tròn - Tính chất đối xứng của đường tròn - Cô Phạm Thị Huệ Chi (Giáo viên VietJack)

A. Lý thuyết

1. So sánh độ dài của đường kính và dây.

    Trong các dây của một đường tròn, dây lớn nhất là đường kính.

Ví dụ: Gọi AB là một dây bất kỳ của đường tròn (O; R). Chứng minh rằng AB ≤ 2R

    + Trường hợp 1: AB là đường kính

     ⇒ AB = 2R

    + Trường hợp 2: AB không là đường kính

     Xét tam giác AOB, áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có:

     AB < AO + OB = R + R = 2R

     Vậy ta luôn có AB ≤ 2R

2. Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây.

    + Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với dây thì đi qua trung điểm của dây đó.

    + Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy.

Ví dụ: Cho hình vẽ sau, tính độ dài dây AB khi biết OA = 13cm; AM = MB; OM = 5cm.

Lời giải:

Áp dụng định lý: “ Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây ấy “

Khi đó ta có: OM ⊥ AB.

Áp dụng định lý Py – ta – go ta có:

⇒ AB = 2.AM = 2.12 = 24 (cm)

B. Bài tập tự luận

Câu 1: Cho tam giác ABC có đường cao là BD, CE. Chứng minh rằng B, D, C, E cùng một đường tròn và ED < BC .

Lời giải:

Ta có: tam giác EBC và DBC là các tam giác vuông có chung cạnh huyền BC

⇒ Đường tròn ngoại tiếp hai tam giác này có tâm tại F (F là trung điểm của BC) với bán kính FB

⇒ Các điểm B, E, D, C cùng thuộc một đường tròn

Trong đường tròn đường kính BC có ED là dây cung nên ED < BC.

Câu 2: Cho đường tròn tâm O đường kính AB, dây CD không cắt AB. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B lên CD. Chứng minh: CH = DK

Lời giải:

Dựng OE vuông góc với CD (E thuộc CD)

Khi đó ta có: E là trung điểm của CD (theo định lí 2): EC = ED (1)

Xét tứ giác ABKH có

Do đó tứ giác ABKH là hình thang.

Xét hình thang ABKH có O là trung điểm của AB và OE // AH // BK

⇒ E là trung điểm của HK : EH = EK

Từ (1) và (2) thì ta có: EH – EC = EK – ED hay CH = DK

C. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho đường tròn (O) có bán kính 4 cm. Dây HK của đường tròn vuông góc với OI tại trung điểm của OI. Tính độ dài HK.

Hướng dẫn giải

Gọi M là trung điểm của OI. Ta có: $OM=\frac{OI}{2}=2cm$

Áp dụng định lí pitago trong tam giác vuông OMH ta có

OH² = OM² + MH², suy ra MH² = OH² – OM² = 4² – 2² = 12.

MH = $2\sqrt{3}$cm.

Vì OI ⊥ HK nên M là trung điểm của HK. Do đó: HK = 2MH = $4\sqrt{3}$cm.

Bài 2. Cho đường tròn (O), đường kính AD = 2R. Vẽ cung tâm D bán kính R, cung này cắt đường tròn (O) ở B và C.

a) Tứ giác OBDC là hình gì? Vì sao?

b) Tính số đo các góc CBD, CBO, OBA.

c) Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.

Hướng dẫn giải

a) Theo bài ra, ta có BD = DC = R, suy ra OB = BD = DC = CO.

Do đó, tứ giác OBDC là hình thoi.

b) Vì OB = BD = DO = R nên tam giác BOD là tam giác đều, suy ra $\widehat{DBO}=60°$.

Vì BC là đường chéo của hình thoi nên là đường phân giác của góc DBO.

Do đó: $\widehat{DBC}=\widehat{CBO}=30°.$

Tam giác ABD nội tiếp đường tròn đường kính AD nên $\widehat{ADB}=90°$

Suy ra $\widehat{ABO}=\widehat{ABD}-\widehat{OBD}=90°-60°=30°.$

c) Xét tam giác ABC, ta có

$\widehat{ABC}=\widehat{ABO}+\widehat{OBC}=30°+30°=60°$

Tương tự $\widehat{ACB}=60°.$

Vậy tam giác ABC là tam giác đều.

Bài 3. Cho đường tròn (O) và dây AB không đi qua tâm. Gọi M là trung điểm của AB. Qua M vẽ dây CD không trùng với AB. Chứng minh rằng điểm M không là trung điểm của CD.

Hướng dẫn giải

Giả sử M là trung điểm của CD ta có OM ⊥ CD.

Mặt khác M là trung điểm của AB nên OM ⊥ AB.

Suy ra AB // CD (mâu thuẫn với giả thiết).

Do đó điều giả sử sai.

Vậy M không là trung điểm của CD.

Bài 4. Cho đường tròn tâm O, đường kính CD. Dây AB cắt đường kính CD tại I. Gọi H và K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ C và D  đến AB. Chứng minh rằng AH = BK.

Hướng dẫn giải

Kẻ OM ⊥ AB, M ∈ AB, OM cắt CK tại N, ta có AM = BM (1)

Tam giác CKD có ON // KD, OC = OD nên NC = NK

Tam giác CKH có MN // CH, NC = NK nên MH = MK (2)

Từ (1) và (2) ta có: AM – MH = BM – MK hay AH = KB.

Bài 5. Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Gọi M là một điểm nằm giữa A và B. Qua M vẽ dây CD vuông góc với AB. Lấy điểm E đối xứng với A qua M.

a) Tứ giác ACED là hình gì? Tại sao?

b) Giả sử R = 6 cm và AM = 4 cm, hãy tính CD.

c) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M trên CAvà CB. Chứng minh MH.MK = $\frac{M{C}^3}{2R}$.

Hướng dẫn giải

a) Đường tròn (O, R) có đường kính CD, AB là dây mà AB ⊥ CD nên MC = MD.

Mà MA = ME nên tứ giác ACED là hình bình hành.

Mặt khác AE ⊥ CD nên ACED là hình thoi.

b) Do C nằm trên đường tròn đường kính AB nên $\widehat{ACB}=90°.$ Trong tam giác vuông ACB có MC là đường cao nên MC² = MA.MB = 4.(10 - 4) = 24 $\Rightarrow MC=2\sqrt{6}$.

c) Áp dụng tính chất a . h = b . c trong tam giác vuông AMC có MH.AC = MA.MC $\Rightarrow MH=\frac{MA.MC}{AC}$

Tương tự $MK=\frac{MB.MC}{BC}$

Do đó $MH.MK=\frac{MA.MC}{AC}.\frac{MB.MC}{BC}=\frac{M{C}^2.MA.MB}{AC.BC}=\frac{M{C}^2.M{C}^2}{MC.BC}=\frac{M{C}^3}{BC}.$

Bài 6. Cho đường tròn (O) bán kính OA = 4 cm. Dây BC vuông góc với OA tại trung điểm của OA. Tính độ dài BC.

Bài 7. Cho đường tròn (O) đường kính AD, dây AB. Qua B vẽ dây BC vuông góc với AD tại H. Biết AB = 10cm; BC = 12 cm.

a) Tính độ dài đoạn AH.

b) Tính bán kính đường tròn O.

Bài 8. Cho nừa đường tròn (O) đường kính AD. Trên nửa đường tròn lấy hai điểm B và C. Biết AB = BC = $2\sqrt{5}$ cm, CD = 6 cm. Tính bán kính đường tròn.

Bài 9. Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Gọi M là một điểm nẳm giữa A và B. Qua M vẽ dây CD vuông góc với AB. Lấy điểm E đối xứng với A qua M.

a) Tứ giác ACED là hình gì? Vì sao?

b) Giả sử R = 6,5 cm, MA = 4  cm. Tính CD.

c) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M trên CA và CB. Chứng minh: MH.MK = $\frac{M{C}^3}{2R}$.

Bài 10. Cho đường tròn (O; 4 cm). Vẽ hai dây AB và CD vuông góc với nhau. Tính diện tích lớn nhất của tứ giác ABCD.

Xem thêm lý thuyết và các dạng bài tập Toán lớp 9 có lời giải hay khác:

• Lý thuyết Bài 3: Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây (hay, chi tiết)
• Trắc nghiệm Bài 3 (có đáp án): Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây
• Lý thuyết Bài 4: Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn (hay, chi tiết)
• Trắc nghiệm Bài 4 (có đáp án): Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
• Lý thuyết Bài 5: Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn. (hay, chi tiết)
• Trắc nghiệm Bài 5 (có đáp án): Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn.

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---