Bài tập về đường tròn chọn lọc, có lời giải



Bài tập về đường tròn chọn lọc, có lời giải

Bài 1: Cho một đường tròn (O) và một điểm M nằm ngoài (O). Tia MO cắt (O) tại A, B (A nằm giữa M và O. Chứng minh rằng:

Quảng cáo

    a) MA là khoảng cách nhỏ nhất từ M tới các điểm của (O)

    b) MB là khoảng cách lớn nhất từ M tới các điểm của (O)

Bài 2: Cho đường tròn (O) đường kính AD = 2R; gọi I là trung điểm của OD. Qua I kẻ dây BC vuông góc với AD

    a) Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều

    b) Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC theo R

Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A, các đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CH. Chứng minh rằng:

    a) MD ⊥ BE

    b) Bốn điểm M, N, D, E cùng nằm trên một đường tròn.

Bài 4: Cho đường tròn (O; 5cm). Hai dây AB và CD song song với nhau. Tính khoảng cách giữa AB và CD biết AB = 6cm, CD = 8cm.

Bài 5: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). Gọi H là giao điểm của đường trung tuyến CM với OA. Gọi G là trọng tâm của tam giác AMC. Chứng minh rằng:

Quảng cáo

    a) OM ⊥ GH

    b) OG ⊥ CM

Bài 6: Cho đường tròn (O; R) và một điểm A cố định trên đường tròn, B là một điểm di động trên đường tròn. Gọi M là một điểm trên AB sao cho 3AM = 2AB. Chứng minh rằng khi điểm B di động trên đường tròn (O) thì điểm M di động trên một đường tròn cố định.

Bài 7: Cho đường tròn (O) đường kính AB; C là điểm di động trên đường tròn; H là hình chiếu của C trên AB. Trên OC lấy điểm M sao cho OM = OH

    a) Điểm M chạy trên đường nào?

    b) Kéo dài BC một đoạn CD = CB. Điểm D chạy trên đường nào?

Đáp án và hướng dẫn giải

Bài 1:

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    Từ M kẻ cát tuyến bất kì cắt (O) tại A’, B’. Gọi bán kính của (O) là R.

    a) Trong ΔMA’O có:

    MO < OA’ + MA’ (Theo bất đẳng thức tam giác)

    ⇔ MA + AO < MA' + OA'

    ⇔ MA + R < MA' + R

    ⇔ MA < MA'

    Do kẻ cát tuyến MA’B’ bất kì, mà MA < MA’ nên MA là khoảng cách nhỏ nhất từ M tới (O).

    b) ΔOBB' cân tại O

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    Xét tam giác MBB’ có:

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    ⇒ MB' < MB (góc đối diện với cạnh lớn hơn thì lớn hơn và ngược lại)

    Do kẻ cát tuyến MA’B’ bất kì, mà MB’ < MB nên MB là khoảng cách lớn nhất từ M tới (O).

Bài 2:

Quảng cáo
Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    a) Đường kính AD vuông góc với dây BC tại I nên I là trung điểm của dây BC

    Tứ giác OBDC có:

    I là trung điểm của BC và OD

    OD ⊥ BC

    ⇒ Tứ giác OBDC là hình thoi

    ⇒ BD = OB = R

    Mặt khác: do ΔABD có OA = OB = OD = R nên ΔABD vuông tại B.

    ΔABD có cạnh góc vuông BD = 1/2 AD ⇒ góc BAD bằng 300

    ΔABC có AI ⊥ BC và IB = IC ⇒ ΔABC cân tại A

    ⇒ AI cũng đồng thời là đường phân giác của góc A

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    ΔABC cân có một góc bằng 600

    ⇒ ΔABC đều

    b) Trong ΔABD vuông tại D có:

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

Bài 3:

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    a) Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông

    Trong tam giác AED vuông tại E có EM là trung tuyến

    ⇒ MB = ME = AB/2

    Trong tam giác BEC vuông tại E có ED là trung tuyến

    ⇒ BD = DE = BC/2

    ⇒ MD là đường trung trực của BE, do đó MD ⊥ BE

    b) Ta có DN là đường trung bình của tam giác BHC nên DN // BE

    ⇒ MD ⊥ DN, góc MDN bằng 900

    Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên CH⊥ AB

    Do đó: Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án (cùng phụ với góc BAC )(1)

    ΔMBE cân nên Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    ΔNCE cân nên Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án (3)

    Từ (1), (2) và (3) suy ra Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    Ta có:

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    Hai tam giác vuông MDN và MEN chung cạnh huyền MN nên bốn điểm M, N, D, E cùng nằm trên một đường tròn có đường kính là MN

Bài 4:

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    Vẽ OH ⊥ AB; OK ⊥ CD

    Do AB // CD nên 3 điểm H, O, K thẳng hàng

    AH = 3cm; CK = 4 cm; R = 5 cm

    Áp dụng định lí Pytago vào các tam giác vuông AHO, CKO ta được:

    OH = 4 cm; OK = 3 cm

    * Nếu O nằm giữa H và K thì HK = 7 cm

    * Nếu O không nằm giữa H và K thì HK = 1 cm

Bài 5:

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    a) Gọi D là giao điểm của CG với AB, N là giao điểm của MG với AC

    Ta có H là trọng tâm của tam giác ABC; G là trọng tâm của tam giác AMC

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    ⇒ AB // GH

    Mặt khác OM ⊥ AB (tính chất đường kính và dây cung)

    ⇒ OM ⊥ GH

    b) Ta có: MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN // BC

    mà OA ⊥ BC nên OA ⊥ MN

    Xét tam giác OMG có H là giao điểm của hai đường cao nên MH là đường cao thứ ba, do đó MH ⊥ OG hay OG ⊥ CM

Bài 6:

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    Gọi K là điểm trên bán kính OA sao cho 3AK = 2AO

    Do A, O cố định nên K cố định

    Xét ΔAMK và ΔABO có:

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    ⇒ ΔAMK ~ ΔABO (c.g.c)

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    Do đó, M ∈ (K; 2/3R)

Bài 7:

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    a) Xét ΔOMB và ΔOHC có:

    OM = OH

    góc O chung

    OB = OC

    ⇒ ΔOMB = ΔOHC (c.g.c)

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    Vậy M chạy trên đường tròn đường kính OB

    b) Vì C ∈ (O) ⇒ góc ACB bằng 900 hay AC ⊥ DB

    Mà CD = CB ⇒ Tam giác ADB có AC vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên ΔABD cân tại A

    ⇒ AD = AB = 2R

    Vậy D chạy trên đường tròn (A; 2R)

Chuyên đề Toán 9: đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 9 tại khoahoc.vietjack.com

CHỈ CÒN 250K 1 KHÓA HỌC BẤT KÌ, VIETJACK HỖ TRỢ DỊCH COVID

Phụ huynh đăng ký mua khóa học lớp 9 cho con, được tặng miễn phí khóa ôn thi học kì. Cha mẹ hãy đăng ký học thử cho con và được tư vấn miễn phí. Đăng ký ngay!

Tổng đài hỗ trợ đăng ký khóa học: 084 283 45 85

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: fb.com/groups/hoctap2k6/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


chuong-2-duong-tron.jsp


Nhóm học tập 2k7