Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn hay, chi tiết



Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn hay, chi tiết

Lý thuyết và Phương pháp giải

1. Bảng tóm tắt

Quảng cáo
Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn Số điểm chung Hệ thức giữa d và R

Đường thẳng và đường tròn cắt nhau

Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau

Đường thẳng và đường tròn không giao nhau

2

1

0

d < R

d = R

d > R

    Trong đó, d là khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng.

2. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.

3. Tính chất của tiếp tuyến

    Nếu một đường thẳng là một tiếp tuyến của đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

4. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau.

Quảng cáo
Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì:

    - Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

    - Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

    - Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.

5. Đường tròn nội tiếp tam giác

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    - Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác gọi là đường tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác gọi là ngoại tiếp đường tròn.

    - Tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm các đường phân giác các góc trong của tam giác.

6. Đường tròn bàng tiếp tam giác

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    - Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của tam giác và tiếp xúc với các phần kéo dài của hai cạnh kia gọi là đường tròn bàng tiếp tam giác.

    - Tâm đường tròn bàng tiếp góc A là giao điểm của hai đường phân giác các góc ngoài tại B và C.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho đoạn thẳng AB và hai tia Ax, By vuông góc với AB ở trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB. Gọi O là trung điểm của AB. Xét góc vuông mOn quay quanh O sao cho Om cắt Ax tại C, On cắt By tại D. Chứng minh rằng:

Quảng cáo

    a) CD luôn tiếp xúc với nửa đường tròn (O; AB/2)

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

Hướng dẫn:

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    a) Kéo dài DO cắt tia đối của tia Ax tại E. Dễ thấy

    ΔBOD = ΔAOE (g.c.g)

    ⇒ OD = OE

    Mà CO ⊥ DE (gt)

    ⇒ ΔCDE cân tại C

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    Kẻ OM ⊥ CD ta lại có:

    ΔAOC = ΔMOC (cạnh huyền-góc nhọn)

    ⇒ OA = OM

    Điều này chứng tỏ M thuộc đường tròn (O) nên CD là tiếp tuyến của đường tròn (O) hay CD tiếp xúc với nửa đường tròn (O; AB/2)

    b) Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

    AC = CM; DB = DM

    ⇒ AC. DB = CM. DM

    Xét tam giác COD vuông tại O có OM là đường cao nên:

    CM.DM = OM2 = AB2/4

    Vậy AC.DB = AB2/4

Ví dụ 2: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Lấy AO làm đường kính vẽ nửa đường tròn tâm O’ cùng phía với (O). Một cát tuyến bất kì qua A cắt (O’) và (O) lần lượt tại C và D.

    a) Chứng minh C là trung điểm của AD và các tiếp tuyến tại C và D với các nửa đường tròn song song với nhau.

    b) Hãy xác định điểm C sao cho BC là tiếp tuyến của (O’)

Hướng dẫn:

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    a) Vì C, D thuộc nửa đường tròn đường kính AO, AB nên

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    ⇒ CO // BD

    Mà OA = OB nên OC là đường trung bình của ΔABD

    ⇒ C là trung điểm của AD

    Xét ΔAOD có O’C là đường trung bình

    ⇒ O’C // OD

    ⇒ Các tiếp tuyến tại C và D của (O’) và (O) phải song song với nhau ( vì cùng vuông góc với hai đường thẳng song song)

    b) Nếu BC là tiếp tuyến của (O’) thì BC ⊥ CO' hay góc O'CB bằng 900

    ⇒ C thuộc nửa đường tròn đường kính O’B

    Vậy C là giao điểm của nửa đường tròn (O’) và nửa đường tròn đường kính O’B

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi (O1; R1 ) là đường tròn nội tiếp ΔABC và (O2; R2 ) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh:

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

Hướng dẫn:

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    a) Gọi tiếp điểm của (O1; R1 ) với các cạnh AB, BC, CA lần lượt là M, P, N

    Dễ thấy tứ giác AMO1N là hình vuông

    ⇒ AM = AN = R1

    BM và BP là 2 tiếp tuyến của đường tròn (O1; R1 ) nên theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau, ta có BM = BP

    Tương tự, CN và CP là 2 tiếp tuyến của đường tròn (O1; R1 ) nên CN = CP

    Ta có:

    AB + AC = AM + BM + AN + NC

    AB + AC = 2R1 + BP + CP

    AB + AC = 2R1 + BC = 2R1+ 2R_2

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    b) Theo câu a, ta có:

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

Ví dụ 4: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB; AC là một dây cung của nó. Kẻ tiếp tuyến Ax và kẻ đường phân giác của góc Cax cắt đường tròn tại E và cắt BC kéo dài tại D.

    a) Chứng minh rằng ΔABD cân và OE // BD

    b) Gọi I là giao điểm của AC và BE. Chứng minh DI ⊥ AB

    c) Khi C di chuyển trên đường tròn (O) thì D chạy trên đường nào?

Hướng dẫn:

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    a) Vì C ∈ (O) nên Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    Ta có: Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    Mà Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    ⇒ ΔADB cân tại B.

    Chứng minh OE // DB

    Vì E ∈ (O) nên góc AEB bằng 900 hay BE ⊥ AD

    Do ΔADB cân tại B nên BE vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến

    ⇒ E là trung điểm của AD

    Lại có O là trung điểm của AB

    Nên OE là đường trung bình của ΔADB

    ⇒ OE // BD

    b) Ta có:

    BE ⊥ AD

    AC ⊥ BD

    AC cắt BE tại I

    ⇒ I là trực tâm của ΔADB ⇒ DI ⊥ AB

    c) Do ΔADB cân tại B nên BD = BA = 2R ⇒ D nằm trên đường tròn tâm B bán kính 2R

    Giới hạn: Khi C di chuyển tới B thì D di chuyển tới D1 (BD1 = 2R), D1 ∈ By,By ⊥ AB. Vậy D di chuyển trên cung một phần tư đường tròn ADD1

Ví dụ 5: Chứng minh rằng diện tích của một tam giác bằng nửa chu vi của nó nhân với bán kính đường tròn nội tiếp .

Hướng dẫn:

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    Ta có: OD ⊥ BC; OE ⊥ AC; OF ⊥ AB

    Gọi S là diện tích của tam giác ABC.

    S= SAOB + SBOC + SCOA

    = 1/2.OF.AB + 1/2.OD.BC + 1/2.OE.AC

    = 1/2.r.(AB + BC + CA)

    = pr

    Với p là nửa chu vi của tam giác, r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác.

Chuyên đề Toán 9: đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 9 tại khoahoc.vietjack.com

CHỈ CÒN 250K 1 KHÓA HỌC BẤT KÌ, VIETJACK HỖ TRỢ DỊCH COVID

Phụ huynh đăng ký mua khóa học lớp 9 cho con, được tặng miễn phí khóa ôn thi học kì. Cha mẹ hãy đăng ký học thử cho con và được tư vấn miễn phí. Đăng ký ngay!

Tổng đài hỗ trợ đăng ký khóa học: 084 283 45 85

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: fb.com/groups/hoctap2k6/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


chuong-2-duong-tron.jsp


Nhóm học tập 2k7