Bài tập Vị trí tương đối của hai đường tròn cực hay, có đáp án



Bài tập Vị trí tương đối của hai đường tròn cực hay, có đáp án

Bài 1: Cho hình thang cân ABCD (AB // CD), hai đường chéo cắt nhau tại O. Vẽ đường tròn (I) ngoại tiếp tam giác AOB, đường tròn (K) ngoại tiếp tam giác COD. Chứng minh rằng hai đường tròn (I) và (K) tiếp xúc với nhau.

Quảng cáo

Bài 2: Cho các đường tròn (A; 10), (B; 15), (C; 15) tiếp xúc ngoài với nhau đôi một. Hai đường tròn (B) và (C) tiếp xúc với nhau tại A’. Đường tròn (A) tiếp xúc vớ đường tròn (B) và (C) lần lượt tại C’ và B’

    a) Chứng minh rằng AA’ là tiếp tuyến chung của đường tròn (B) và (C). Tính độ dài AA’

    b) Tính diện tích tam giác A’B’C’

Bài 3: Cho đường tròn (O; R) và đường tròn (O’; R’) với R > R’ tiếp xúc trong với nhau tại A. Đường nối tâm OO’ cắt đường tròn (O) và (O’) lần lượt tại B và C (B, C khác A). Vẽ các đường tròn (M) và (N) có đường kính lần lượt là BC và OO’

    a) Chứng minh rằng BC = 2 OO’ và AM = 2 AN

    b) Từ A vẽ tiếp tuyến AE với đường tròn (N). Chứng minh rằng AE cũng là tiếp tuyến của đường tròn (M).

Bài 4: Cho đường thẳng xy và đường tròn (O; R) không giao nhau. Gọi M là một điểm di động trên xy. Vẽ đường tròn đường kính OM cắt đường tròn (O) tại A và B. Chứng minh rằng đường thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 5: Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) (R > R’) tiếp xúc ngoài tại A. Vẽ các bán kính OB // O’D với B, D ở cùng phía nửa mặt phẳng bờ OO’. Đường thẳng DB và OO’ cắt nhau tại I.

Quảng cáo

    a) Tính góc BAD?

    b) Tính OI biết R = 3 cm; R’ = 2 cm

    c) Tính OI theo R và R’

    d) Chứng minh rằng BD, OO’ và tiếp tuyến chung ngoài của (O) và (O’) đồng quy.

Bài 6: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB. Đường thẳng d tiếp xúc với nửa đường tròn (O) tại C. Gọi D và E theo thứ tự là hình chiếu của A và B trên d.

    a) Xác định vị trí tương đối của các đường tròn (A; AD) và (B; BE)

    b) Chứng minh rằng AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DE.

Bài 7: Xét ΔABC có các góc B, C nhọn. Các đường tròn đường kính AB và AC cắt nhau tại điểm thứ hai H. Một đường thẳng d bất kì qua A và cắt hai đường tròn nói trên lần lượt tại M và N.

    a) Chứng minh H thuộc cạnh BC

    b) Tứ giác BCNM là hình gì?

    c) Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của BC, MN. Chứng minh bốn điểm A, H, P, Q thuộc một đường tròn

    d) Xác định vị trí của d để MN có độ dài lớn nhất.

Đáp án và hướng dẫn giải

Bài 1:

Quảng cáo
Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    Do ABCD là hình thang cân nên AD = BC; AC = BD

    ⇒ ΔBDC = ΔACD (c.c.c)

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    ⇒ ΔCOD cân

    ⇒ OC = OD dẫn tới OA = OB

    Ta có: IA = IB; OA = OB

    ⇒ Đường thẳng IO là đường trung trực của AB

    Tương tự OK là đường trung trực của CD

    Mặt khác, ABCD là hình thang cân nên các đường thẳng OI, OK trung nhau, ba điểm O, I, K thẳng hàng.

    ⇒ IK = IO + KO hay d = R + R’

    Do đó, hai đường tròn (I) và (K) tiếp xúc ngoài.

Bài 2:

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    a) Theo tính chất đoạn nối tâm của hai đường tròn tiếp xúc ngoài ta có:

    AB = 25; AC = 25; BC = 30 và A’ là trung điểm của BC

    ΔABC cân tại A có AA’ là đường trung tuyến nên cũng là đường cao

    ⇒ AA'⊥ BC

    ⇒ AA’ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (B) và (C)

    Xét tam giác AA’C vuông tại A’ có:

    A'A2 = AC2 - A'C2 = 252- 152 ⇒ A'A = 20

    b) Ta có:

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    ⇒ B’C’ // BC do đó B’C’ ⊥ AA’

    Lại có:

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    ⇒ B'C'= 12

    Xét ΔABA’ có B’C’ // BC nên

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    ⇒ A'H = 12

    Diện tích tam giác A’B’C’ là:

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

Bài 3:

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    a) Ta có: OO’ = OA – O’A = R – R’

    BC = AB – AC = 2R – 2R’ = 2(R – R’) = 2OO’

    Mặt khác: MC = ½ BC = OO’ = 2ON ; AC = 2O’A

    ⇒ AM = AC + CM = 2O’A + 2ON = 2(O’A + ON) = 2AN

    b) Vẽ MF ⊥ AE, ta có MF // NE

    Do đó:

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    Vậy điểm F nằm trên đường tròn (M) đường kính BC

    Mặt khác MF ⊥ AE nên AE là tiếp tuyến của đường tròn (M)

Bài 4:

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    Vẽ OH ⊥ xy, H là một điểm cố định và OH không đổi

    Gọi giao điểm của AB và OM và OH lần lượt là E và F.

    Theo tính chất dây chung của hai đường tròn, ta có AB ⊥ OM

    Điểm A nằm trên đường tròn đường kính OM nên góc AOM bằng 900

    Ta có: ΔOEF ~ ΔOHM (g.g)

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    Mặt khác: ΔMAO vuông tại A có AE là đường cao nên

    OM.OE = OA2 = R2

    ⇒ OF.OH = R2 ⇒ OF = R2/OH

    Do OH không đổi nên OF cũng không đổi

    Vậy F là một điểm cố định, AB luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 5:

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    a) Trong tam giác OBA cân tại O có:

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    Trong tam giác O’DA cân tại O có:

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    Do OB // O’D nên

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    Ta có:

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    Vậy góc BAD bằng 900

    b) Áp dụng định lí Ta-let:

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    c) Tương tự câu b, ta có:

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    d) Gọi giao của tiếp tuyến chung ngoài và OO’ là I’

    Gọi giao điểm của tiếp tuyến chung ngoài với đường tròn (O) và (O’) lần lượt là G và H

    Ta có OG // O’H ( do cùng vuông góc với tiếp tuyến chung ngoài)

    Theo định lí Ta let ta có:

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    ⇒ I’ trùng với I

    Vậy BD, OO’ và tiếp tuyến chung ngoài của (O) và (O’) đồng quy

Bài 6:

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    a) Dễ thấy tứ giác ADEB là hình thang vuông

    Ta có OC // AD ( cùng vuông góc với d), O là trung điểm của AB

    ⇒ C là trung điểm của DE

    Ta có: Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án (so le trong, AD // OC)

    Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án (Do ΔOAC cân tại O)

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    Kẻ CH ⊥ AB

    Khi đó ΔADC = ΔAHC (cạnh huyền, góc nhọn)

    ⇒ AD = AH

    Chứng minh tương tự, ta được BH = BE

    Từ đó suy ra AB = AH + BH = AD + BE

    Ta thấy đoạn nối tâm của 2 đường tròn (A; AD) và (B; BE) bằng tổng hai bán kính nên chúng ở vị trí tiếp xúc ngoài.

    b) Vì Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án nên CD = CH = CE

    ⇒ CH là bán kính của đường tròn đường kính DE. Hơn nữa, CH⊥AB ⇒ AB là tiếp tuyến của đường tròn (C)

Bài 7:

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    a) H ∈ (O) đường kính AB nên góc AHB bằng 900

    H ∈ (O) đường kính AC nên AHC bằng 900

    ⇒ B, H, C thẳng hàng.

    b) M ∈ (O) đường kính AB nên AMB bằng 900 ⇒ BM ⊥ d

    N ∈ (O) đường kính AC nên ANC bằng 900 ⇒ CN ⊥ d

    ⇒ BM // CN và BM ⊥ MN

    ⇒ Tứ giác BCNM là hình thang vuông.

    c) Ta có PQ là đường trung bình của hình thang vuông BCNM

    ⇒ PQ // BM và PQ ⊥ d

    Ta có: AQP bằng 900 ⇒ Q thuộc đường tròn đường kính AP

    Mặt khác AHP bằng 900 ⇒ H thuộc đường tròn đường kính AP

    Vậy 4 điểm A, H, P, Q cùng thuộc đường tròn đường kính AP

    c) Xét tam giác ABC có OO’ là đường trung bình nên OO’ // BC và BC = 2OO’ không đổi

    Trong hình thang vuông BCNM: NM ≤ BC

    Vậy MN lớn nhất khi MN = BC. Khi đó d // BC.

Chuyên đề Toán 9: đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 9 tại khoahoc.vietjack.com

CHỈ CÒN 250K 1 KHÓA HỌC BẤT KÌ, VIETJACK HỖ TRỢ DỊCH COVID

Phụ huynh đăng ký mua khóa học lớp 9 cho con, được tặng miễn phí khóa ôn thi học kì. Cha mẹ hãy đăng ký học thử cho con và được tư vấn miễn phí. Đăng ký ngay!

Tổng đài hỗ trợ đăng ký khóa học: 084 283 45 85

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: fb.com/groups/hoctap2k6/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


chuong-2-duong-tron.jsp


Nhóm học tập 2k7