Bài tập Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn lớp 9 cực hay (có đáp án)



Bài viết Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn.

Bài tập Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn lớp 9 cực hay (có đáp án)

(199k) Xem Khóa học Toán 9 KNTTXem Khóa học Toán 9 CDXem Khóa học Toán 9 CTST

Quảng cáo

1. Phương pháp giải

- Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn:

Cho đường tròn (O; R) và một đường thẳng bất kì. Gọi d là khoảng cách từ tâm O của đường tròn đến đường thẳng đó. Ta có bảng vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn:

Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn:

Số điểm chung

Hệ thức giữa d và R

Đường thẳng và đường tròn cắt nhau

2

d (O; d) < R

Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau

1

d (O; d) = R

Đường thẳng và đường tròn không giao nhau

0

d (O; d) > R

- Cho biết d; R xác định vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn hoặc ngược lại.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho 0°<xOy^<180° và đường tròn (I) là đường tròn tiếp xúc với hai cạnh Ox; Oy. Chứng minh điểm I chạy trên đường tia phân giác của góc xOy^ trừ điểm O.

Hướng dẫn giải

Quảng cáo

Bài tập Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn lớp 9 cực hay (có đáp án)

Ta kẻ IA ⊥ Oy tại A và IB ⊥ Ox tại B.

Vì (I) tiếp xúc với cả Ox và Oy nên IA = IB

Theo tính chất tia phân giác của một góc

Suy ra I thuộc tia phân giác của góc xOy^ (I ≠ O).

Ví dụ 2. Cho tam giác cân ABC (AB = AC) nội tiếp đường tròn (O). Chứng minh rằng BC song song với tiếp tuyến tại A của đường tròn (O).

Hướng dẫn giải

Bài tập Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn lớp 9 cực hay (có đáp án)

Quảng cáo

Gọi d là tiếp tuyến tại A của đường tròn tâm O

Suy ra d ⊥ OA (1)

Mà AB = AC nên A thuộc trung trực của đoạn thẳng BC.

Lại có OB = OC nên O thuộc trung trực của đoạn thẳng BC.

Do đó OA là trung trực của đoạn thẳng BC.

Suy ra BC ⊥ OA (2)

Từ (1) và (2) suy ra d song song BC.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Vẽ các tia tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Lấy điểm M di động trên tía Ax, điểm N di động trên tia Oy sao cho AM.BN = R2. Chứng minh rằng

    a) MN là tiếp tuyến của đường tròn (O)

    b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định.

Quảng cáo

Bài 2: Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Trên AO lấy điểm M sao cho AM = AB. Các tia BM và CM lần lượt cắt đường tròn tại một điểm thứ hai là D và E. Chứng minh rằng:

    a) M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OBC

    b) DE là đường kính của đường tròn (O)

Bài 3: Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R; bán kính OC vuông góc với AB. Lấy điểm F thuộc đoạn OB. Kẻ CF cắt đường tròn (O) tại D. Vẽ tiếp tuyến tại D của (O) cắt AB tại E. Chứng minh rằng EF = ED

Bài 4: Cho ba điểm thẳng hàng theo thứ tự A, B, C. Vẽ hai nửa đường tròn đường kính AB và BC (vẽ cùng phía so với AC). Trên đường thẳng vuông góc với AC tại B lấy điểm D sao cho góc ADC bằng 900. Giao điểm của DA và DC với hai nửa đường tròn là E, F. Chứng minh rằng:

    a) EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn.

    b) EF2 = AB.BC

Bài 5: Cho đường tròn (O; R) và một đường thẳng d cắt (O) tại C và D. Một điểm M di động trên d sao cho MC > MD và ở ngoài (O). Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tới (O). Gọi H là trung điểm cuả CD và giao của AB với MO, OH lần lượt là E, F. Chứng minh rằng:

    a) OE.OM = R2

    b) Bốn điểm M, E, H, F cùng thuộc một đường tròn

    c) Đường thẳng AB đi qua một điểm cố định

Bài 6: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Một điểm M thay đổi trên đường tròn (M ≠ A; B). Vẽ đường tròn (M tiếp xúc với AB tại H. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến AC, BD đến đường tròn (M)

    a) Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn (O)

    b) Chứng minh tổng AC + BD không đổi. Từ đó tính giá trị lớn nhất của AC.BD

    c) Lấy điểm N cố định trên (O). Gọi I là trung điểm của MN, P là hình chiếu của I trên MB. Tìm tập hợp các điểm P.

Bài 7: Cho M là một điểm di động trên nửa đường tròn (O) đường kính AB. Gọi H là điểm chính giữa của cung AM. Tia BH cắt AM tại I và cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) tại K. Các tia AH và BM cắt nhau tại S. Chứng minh rằng:

    a) ΔABS cân. Từ đó suy ra S nằm trên một đường tròn cố định

    b) KS là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA)

Bài 8: Cho hai đường tròn cùng tâm O, có các bán kính lần lượt là R và 2R. Từ một điểm A cách O là 4R vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn lớn và hai tiếp tuyến AD, AE với đường tròn nhỏ (AB, AD cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AO).

    a) Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đường tròn nhỏ

    b) Chứng minh rằng tứ giác BCED là hình thang cân

    c) Tính diện tích của hình thang cân BCED.

Đáp án và hướng dẫn giải

Bài 1:

Các dạng bài tập Toán 9 có lời giải

    a) Vẽ OH ⊥ MN, H ∈ MN ta phải chứng minh OH = R

    Vì AM.BN = R2 = AO.BO nên

Các dạng bài tập Toán 9 có lời giải

    Xét ΔAOM và ΔBNO có:

Các dạng bài tập Toán 9 có lời giải

    ⇒ ΔAOM ~ ΔBNO (c.g.c)

Các dạng bài tập Toán 9 có lời giải

    Do đó góc MON bằng 900

    Ta có:

Các dạng bài tập Toán 9 có lời giải

    Do đó ΔAOM ~ ΔONM (c.g.c)

Các dạng bài tập Toán 9 có lời giải

    ΔAOM = ΔHOM (cạnh huyền, góc nhọn)

    ⇒ AO = OH ⇒ OH = R, do đó MN là tiếp tuyến của đường tròn (O)

    b) Gọi K là trung điểm của MN

    Tam giác MON vuông tại O có OK là tiếp tuyến

    ⇒ KM = KN = KO

    ⇒ Đường tròn (K; KO) là đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN.

    Ta có OK là đường trung bình của hình thang AMNB nên OK // AM

    ⇒ OK ⊥ AB

    Suy ra OK là tiếp tuyến của đường tròn (K). Vậy đường tròn (K) ngoại tiếp tam giác OMN luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định là đường thẳng AB.

Bài 2:

Các dạng bài tập Toán 9 có lời giải

    Tam giác ABM có AB = AM nên ΔABM cân tại A

Các dạng bài tập Toán 9 có lời giải

    Ta có: OA ⊥ BC; OB ⊥ AB nên:

Các dạng bài tập Toán 9 có lời giải

    Từ (1) và (2)

Các dạng bài tập Toán 9 có lời giải

    Tương tự

Các dạng bài tập Toán 9 có lời giải

    Điểm M là giao điểm hai đường phân giác của tam giác OBC nên M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OBC.

    b) Tam giác BOD cân tại O

Các dạng bài tập Toán 9 có lời giải

    Hai góc này ở vị trí so le trong nên OD // BC

    Chứng minh tương tự, ta có OE // BC

    ⇒ D, O, E thẳng hàng

    Vậy DE là đường kính của đường tròn (O)

Bài 3:

Các dạng bài tập Toán 9 có lời giải

    Do tam giác OCD cân tại O nên Các dạng bài tập Toán 9 có lời giải

    Lại có Các dạng bài tập Toán 9 có lời giải

    Mà Các dạng bài tập Toán 9 có lời giải (đối đỉnh)

    ⇒ Các dạng bài tập Toán 9 có lời giải

    Mặt khác: Các dạng bài tập Toán 9 có lời giải

    Tam giác EFD có Các dạng bài tập Toán 9 có lời giải

    ⇒ ΔEFD cân tại E ⇒ EF = ED

Bài 4:

Các dạng bài tập Toán 9 có lời giải

    E ∈ (O); F ∈ (O') nên

Các dạng bài tập Toán 9 có lời giải

    Tứ giác BEDF có ba góc vuông nên là hình chữ nhật nên Các dạng bài tập Toán 9 có lời giải

    Mặt khác, ΔOEB cân tại O nên Các dạng bài tập Toán 9 có lời giải

Các dạng bài tập Toán 9 có lời giải

    ⇒ OE ⊥ EF nên EF là tiếp tuyến của (O)

    Chứng minh tương tự, ta có: O'F ⊥ EF nên EF là tiếp tuyến của (O’)

    Vậy EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn

    b) Tam giác ADC vuông tại D có DB là đường cao nên BD2 = AB.BC

    Mà DB = EF (hai đường chéo của hình chữ nhật)

    ⇒ EF2 = AB.BC

Bài 5:

Các dạng bài tập Toán 9 có lời giải

    a) MA và MB là hai tiếp tuyến của (O) nên MO là đường trung trực của AB

    ⇒ OM ⊥ AB hay OM ⊥ AE

    MA là tiếp tuyến của (O) nên ΔOAM vuông tại A có AE là đường cao nên:

    OE.OM = OA2 = R2

    b) OM ⊥ AB nên E luôn nhìn FM dưới một góc vuông

    ⇒ E thuộc đường tròn đường kính FM (1)

    Mặt khác: H là trung điểm của dây CD

    ⇒ OH ⊥ CD

    ⇒ H luôn nhìn FM dưới một góc vuông

    ⇒ H thuộc đường tròn đường kính FM (2)

    Từ (1) và (2) ⇒ 4 điểm M, E, H, F cùng thuộc một đường tròn đường kính FM

    c) Xét tam giác OHM và tam giác OEF có:

Các dạng bài tập Toán 9 có lời giải

    ⇒ ΔMHO ~ ΔFEO (g.g)

Các dạng bài tập Toán 9 có lời giải

    Theo câu a, ta có:

Các dạng bài tập Toán 9 có lời giải

    Do C, D cố định nên khoảng cách từ O đến CD là không đổi

    ⇒ OF không đổi hay F là điểm cố định

    Vậy AB đi qua điểm F cố định.

Bài 6:

Các dạng bài tập Toán 9 có lời giải

    a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

Các dạng bài tập Toán 9 có lời giải

    ⇒ C, M, D thẳng hàng.

    Tứ giác ABDC là hình thang vuông do có AC ⊥ CD; BD ⊥ CD

    Mà OM là đường trung bình nên OM ⊥ CD

    ⇒ CD là tiếp tuyến của (O) tại M.

    b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

    AH = AC và BD = HB

    ⇒ AC + BD = AH + HB = AB không đổi.

    Theo bất đẳng thức Cosi:

Các dạng bài tập Toán 9 có lời giải

    Dấu bằng xảy ra khi AC = BD ⇔ H ≡ O

    Khi đó M nằm chính giữa cung AB

    Vậy giá trị lớn nhất của AC.BD là AB2/4 đạt được khi M nằm chính giữa cung AB

    c) Kéo dài PI cắt AN tại K ⇒ PK // AM (cùng vuông góc với MB)

    Trong ΔMAN có I là trung điểm của MN, mà IK // AM

    ⇒ K là trung điểm của AN ⇒ K là trung điểm cố định

    Vậy P luôn chạy trên đường tròn đường kính KB.

Bài 7:

Các dạng bài tập Toán 9 có lời giải

    a) H ∈ (O) góc AHB = 900 hay BH ⊥ AS

    Mà Các dạng bài tập Toán 9 có lời giải (do H là điểm chính giữa của cung AM)

    ⇒ BH vừa là đường phân giác vừa là đường cao của tam giác ABS

    ⇒ ΔABS cân tại B

    ⇒ BA = BS

    Vậy S ∈ (B;BA)

    b) Ta có:

    BS = BA ; HS = HA

    ⇒ BH là đường trung trực của AS

    K thuộc đường trung trực của AS nên KA = KS

    ⇒ ΔAKB = ΔSKB (c.c.c)

    ⇒ Các dạng bài tập Toán 9 có lời giải nên KS ⊥ SB tại S ∈ (B;BA)

    Vậy KS là tiếp tuyến của (B; BA)

Bài 8:

Các dạng bài tập Toán 9 có lời giải

    Ta có: AB và AC là hai tiếp tuyến của (O) nên OA là đường trung trực của AB

    ⇒ OA ⊥ AB tại H

    Xét ΔAOB vuông tại B có BH là đường cao:

    OB2 = OH.OA

Các dạng bài tập Toán 9 có lời giải

    Do đó H ∈ (O;R)

    Suy ra BC là tiếp tuyến của đường tròn (O; R)

    b) AD và AE là hai tiếp tuyến của (O) nên OA là đường trung trực của DE

    ⇒ OA ⊥ DE tại K

    Ta có: OA ⊥ AB; OA ⊥ DE ⇒ BC // DE

    Dễ chứng minh được Các dạng bài tập Toán 9 có lời giải

    ⇒ Tứ giác BDEC là hình thang cân

    c) Xét tam giác ADO vuông tại D có DK là đường cao: OD2 = OA.OK

Các dạng bài tập Toán 9 có lời giải

    Xét tam giác ABO vuông tại B có BH là đường cao:

    BH2 = HA.HO = 3R.R = 3R2

    ⇒ BH = R√3; BC = 2BH = 2R√3

    Xét tam giác ADO vuông tại D có DK là đường cao:

Các dạng bài tập Toán 9 có lời giải Các dạng bài tập Toán 9 có lời giải

    Diện tích của hình thang BCED là:

Các dạng bài tập Toán 9 có lời giải

Bài 1. Cho a , b là hai đường thẳng song song và cách nhau một khoảng 3cm. Lấy điểm O trên a và vẽ đường tròn (O; 3cm). Chứng minh đường tròn này tiếp xúc với đường thẳng b.

Bài 2. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N là hai điểm trên các cạnh AB, AD sao cho chu vi của tam giác AMN bằng 2a. Chứng minh đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định.

Bài 3. Cho nửa đường tròn (o) đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến d của đường tròn. Gọi E và F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến d. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB. Chứng minh:

a) CE = CF;

b) AC là tia phân giác của góc BAE^;

c) CH2 = AE.AF

Bài 4. Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R). Đường thẳng d qua A, gọi B và C là giao của đường thẳng d và đường tròn (O). Xác định vị trí của đường thẳng d để tổng AB + AC lớn nhất.

Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH. E là điểm đối xứng của B qua H. Vẽ đường tròn đường kính EC cắt AC tại K. Xác định vị trí tương đối của HK với đường tròn đường kính EC.

Chuyên đề Toán 9: đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


chuong-2-duong-tron.jsp


Giải bài tập lớp 9 sách mới các môn học