Bài tập Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn cực hay, có đáp án



Bài tập Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn cực hay, có đáp án

Bài 1: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Vẽ các tia tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Lấy điểm M di động trên tía Ax, điểm N di động trên tia Oy sao cho AM.BN = R2. Chứng minh rằng

Quảng cáo

    a) MN là tiếp tuyến của đường tròn (O)

    b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định.

Bài 2: Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Trên AO lấy điểm M sao cho AM = AB. Các tia BM và CM lần lượt cắt đường tròn tại một điểm thứ hai là D và E. Chứng minh rằng:

    a) M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OBC

    b) DE là đường kính của đường tròn (O)

Bài 3: Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R; bán kính OC vuông góc với AB. Lấy điểm F thuộc đoạn OB. Kẻ CF cắt đường tròn (O) tại D. Vẽ tiếp tuyến tại D của (O) cắt AB tại E. Chứng minh rằng EF = ED

Bài 4: Cho ba điểm thẳng hàng theo thứ tự A, B, C. Vẽ hai nửa đường tròn đường kính AB và BC (vẽ cùng phía so với AC). Trên đường thẳng vuông góc với AC tại B lấy điểm D sao cho góc ADC bằng 900. Giao điểm của DA và DC với hai nửa đường tròn là E, F. Chứng minh rằng:

    a) EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn.

    b) EF2 = AB.BC

Bài 5: Cho đường tròn (O; R) và một đường thẳng d cắt (O) tại C và D. Một điểm M di động trên d sao cho MC > MD và ở ngoài (O). Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tới (O). Gọi H là trung điểm cuả CD và giao của AB với MO, OH lần lượt là E, F. Chứng minh rằng:

Quảng cáo

    a) OE.OM = R2

    b) Bốn điểm M, E, H, F cùng thuộc một đường tròn

    c) Đường thẳng AB đi qua một điểm cố định

Bài 6: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Một điểm M thay đổi trên đường tròn (M ≠ A; B). Vẽ đường tròn (M tiếp xúc với AB tại H. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến AC, BD đến đường tròn (M)

    a) Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn (O)

    b) Chứng minh tổng AC + BD không đổi. Từ đó tính giá trị lớn nhất của AC.BD

    c) Lấy điểm N cố định trên (O). Gọi I là trung điểm của MN, P là hình chiếu của I trên MB. Tìm tập hợp các điểm P.

Bài 7: Cho M là một điểm di động trên nửa đường tròn (O) đường kính AB. Gọi H là điểm chính giữa của cung AM. Tia BH cắt AM tại I và cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) tại K. Các tia AH và BM cắt nhau tại S. Chứng minh rằng:

    a) ΔABS cân. Từ đó suy ra S nằm trên một đường tròn cố định

    b) KS là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA)

Bài 8: Cho hai đường tròn cùng tâm O, có các bán kính lần lượt là R và 2R. Từ một điểm A cách O là 4R vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn lớn và hai tiếp tuyến AD, AE với đường tròn nhỏ (AB, AD cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AO).

    a) Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đường tròn nhỏ

    b) Chứng minh rằng tứ giác BCED là hình thang cân

    c) Tính diện tích của hình thang cân BCED.

Đáp án và hướng dẫn giải

Bài 1:

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án
Quảng cáo

    a) Vẽ OH ⊥ MN, H ∈ MN ta phải chứng minh OH = R

    Vì AM.BN = R2 = AO.BO nên

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    Xét ΔAOM và ΔBNO có:

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    ⇒ ΔAOM ~ ΔBNO (c.g.c)

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    Do đó góc MON bằng 900

    Ta có:

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    Do đó ΔAOM ~ ΔONM (c.g.c)

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    ΔAOM = ΔHOM (cạnh huyền, góc nhọn)

    ⇒ AO = OH ⇒ OH = R, do đó MN là tiếp tuyến của đường tròn (O)

    b) Gọi K là trung điểm của MN

    Tam giác MON vuông tại O có OK là tiếp tuyến

    ⇒ KM = KN = KO

    ⇒ Đường tròn (K; KO) là đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN.

    Ta có OK là đường trung bình của hình thang AMNB nên OK // AM

    ⇒ OK ⊥ AB

    Suy ra OK là tiếp tuyến của đường tròn (K). Vậy đường tròn (K) ngoại tiếp tam giác OMN luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định là đường thẳng AB.

Bài 2:

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    Tam giác ABM có AB = AM nên ΔABM cân tại A

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    Ta có: OA ⊥ BC; OB ⊥ AB nên:

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    Từ (1) và (2)

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    Tương tự

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    Điểm M là giao điểm hai đường phân giác của tam giác OBC nên M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OBC.

    b) Tam giác BOD cân tại O

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    Hai góc này ở vị trí so le trong nên OD // BC

    Chứng minh tương tự, ta có OE // BC

    ⇒ D, O, E thẳng hàng

    Vậy DE là đường kính của đường tròn (O)

Bài 3:

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    Do tam giác OCD cân tại O nên Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    Lại có Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    Mà Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án (đối đỉnh)

    ⇒ Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    Mặt khác: Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    Tam giác EFD có Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    ⇒ ΔEFD cân tại E ⇒ EF = ED

Bài 4:

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    E ∈ (O); F ∈ (O') nên

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    Tứ giác BEDF có ba góc vuông nên là hình chữ nhật nên Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    Mặt khác, ΔOEB cân tại O nên Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    ⇒ OE ⊥ EF nên EF là tiếp tuyến của (O)

    Chứng minh tương tự, ta có: O'F ⊥ EF nên EF là tiếp tuyến của (O’)

    Vậy EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn

    b) Tam giác ADC vuông tại D có DB là đường cao nên BD2 = AB.BC

    Mà DB = EF (hai đường chéo của hình chữ nhật)

    ⇒ EF2 = AB.BC

Bài 5:

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    a) MA và MB là hai tiếp tuyến của (O) nên MO là đường trung trực của AB

    ⇒ OM ⊥ AB hay OM ⊥ AE

    MA là tiếp tuyến của (O) nên ΔOAM vuông tại A có AE là đường cao nên:

    OE.OM = OA2 = R2

    b) OM ⊥ AB nên E luôn nhìn FM dưới một góc vuông

    ⇒ E thuộc đường tròn đường kính FM (1)

    Mặt khác: H là trung điểm của dây CD

    ⇒ OH ⊥ CD

    ⇒ H luôn nhìn FM dưới một góc vuông

    ⇒ H thuộc đường tròn đường kính FM (2)

    Từ (1) và (2) ⇒ 4 điểm M, E, H, F cùng thuộc một đường tròn đường kính FM

    c) Xét tam giác OHM và tam giác OEF có:

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    ⇒ ΔMHO ~ ΔFEO (g.g)

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    Theo câu a, ta có:

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    Do C, D cố định nên khoảng cách từ O đến CD là không đổi

    ⇒ OF không đổi hay F là điểm cố định

    Vậy AB đi qua điểm F cố định.

Bài 6:

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    ⇒ C, M, D thẳng hàng.

    Tứ giác ABDC là hình thang vuông do có AC ⊥ CD; BD ⊥ CD

    Mà OM là đường trung bình nên OM ⊥ CD

    ⇒ CD là tiếp tuyến của (O) tại M.

    b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

    AH = AC và BD = HB

    ⇒ AC + BD = AH + HB = AB không đổi.

    Theo bất đẳng thức Cosi:

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    Dấu bằng xảy ra khi AC = BD ⇔ H ≡ O

    Khi đó M nằm chính giữa cung AB

    Vậy giá trị lớn nhất của AC.BD là AB2/4 đạt được khi M nằm chính giữa cung AB

    c) Kéo dài PI cắt AN tại K ⇒ PK // AM (cùng vuông góc với MB)

    Trong ΔMAN có I là trung điểm của MN, mà IK // AM

    ⇒ K là trung điểm của AN ⇒ K là trung điểm cố định

    Vậy P luôn chạy trên đường tròn đường kính KB.

Bài 7:

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    a) H ∈ (O) góc AHB = 900 hay BH ⊥ AS

    Mà Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án (do H là điểm chính giữa của cung AM)

    ⇒ BH vừa là đường phân giác vừa là đường cao của tam giác ABS

    ⇒ ΔABS cân tại B

    ⇒ BA = BS

    Vậy S ∈ (B;BA)

    b) Ta có:

    BS = BA ; HS = HA

    ⇒ BH là đường trung trực của AS

    K thuộc đường trung trực của AS nên KA = KS

    ⇒ ΔAKB = ΔSKB (c.c.c)

    ⇒ Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án nên KS ⊥ SB tại S ∈ (B;BA)

    Vậy KS là tiếp tuyến của (B; BA)

Bài 8:

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    Ta có: AB và AC là hai tiếp tuyến của (O) nên OA là đường trung trực của AB

    ⇒ OA ⊥ AB tại H

    Xét ΔAOB vuông tại B có BH là đường cao:

    OB2 = OH.OA

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    Do đó H ∈ (O;R)

    Suy ra BC là tiếp tuyến của đường tròn (O; R)

    b) AD và AE là hai tiếp tuyến của (O) nên OA là đường trung trực của DE

    ⇒ OA ⊥ DE tại K

    Ta có: OA ⊥ AB; OA ⊥ DE ⇒ BC // DE

    Dễ chứng minh được Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    ⇒ Tứ giác BDEC là hình thang cân

    c) Xét tam giác ADO vuông tại D có DK là đường cao: OD2 = OA.OK

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    Xét tam giác ABO vuông tại B có BH là đường cao:

    BH2 = HA.HO = 3R.R = 3R2

    ⇒ BH = R√3; BC = 2BH = 2R√3

    Xét tam giác ADO vuông tại D có DK là đường cao:

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

    Diện tích của hình thang BCED là:

Chuyên đề Toán lớp 9 | Chuyên đề Lý thuyết và Bài tập Đại số và Hình học 9 có đáp án

Chuyên đề Toán 9: đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 9 tại khoahoc.vietjack.com

CHỈ CÒN 250K 1 KHÓA HỌC BẤT KÌ, VIETJACK HỖ TRỢ DỊCH COVID

Phụ huynh đăng ký mua khóa học lớp 9 cho con, được tặng miễn phí khóa ôn thi học kì. Cha mẹ hãy đăng ký học thử cho con và được tư vấn miễn phí. Đăng ký ngay!

Tổng đài hỗ trợ đăng ký khóa học: 084 283 45 85

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: fb.com/groups/hoctap2k6/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


chuong-2-duong-tron.jsp


Nhóm học tập 2k7