Các dạng bài tập Dao động điều hòa có lời giải



Các dạng bài tập Dao động điều hòa có lời giải

Bài giảng: Đại cương về dao động điều hòa (phần 1) - Thầy Lê Xuân Vượng (Giáo viên VietJack)

Phần Dao động điều hòa Vật Lí lớp 12 với 8 dạng bài tập chọn lọc có trong Đề thi THPT Quốc gia và trên 300 bài tập trắc nghiệm có lời giải. Vào Xem chi tiết để theo dõi các dạng bài Dao động điều hòa hay nhất tương ứng.

Bài giảng: Đại cương về dao động điều hòa (phần 2) - Thầy Lê Xuân Vượng (Giáo viên VietJack)

Cách Viết phương trình dao động điều hòa

Phần 1: Viết phương trình dao động của vật khi VTCB nằm tại gốc tọa độ

A. Phương pháp & Ví dụ

1. Phương pháp

- Tìm A:Vật Lý lớp 12 | Lý thuyết và Bài tập Vật Lý 12 có đáp án

Trong đó:

- L là chiều dài quỹ đạo của dao động

- S là quãng đường vật đi được trong một chu kỳ

- Tìm ω: Vật Lý lớp 12 | Lý thuyết và Bài tập Vật Lý 12 có đáp án

- Tìm φ

Cách 1: Dựa vào t = 0 ta có hệ sau:

Vật Lý lớp 12 | Lý thuyết và Bài tập Vật Lý 12 có đáp án

(Lưu ý: v.φ < 0)

Cách 2: Sử dụng vòng tròn lượng giác (VLG)

Góc Φ là góc hợp bởi giữa trục Ox và OM tại thời điểm ban đầu.

Vật Lí lớp 12 | Lý thuyết và Bài tập Vật Lí 12 có đáp án

Bước 3: Thay kết quả vào phương trình: x = Acos(ωt + Φ ) được phương trình dao động điều hòa của vật.

2. Ví dụ

Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa với biên độ A = 5cm, Trong 10 giây vật thực hiện được 20 dao động. Xác định phương trình dao động của vật biết rằng tại thời điểm ban đầu vật tại ví trí cân bằng theo chiều dương.

Lời giải:

Cách 1: Ta có: Phương trình dao động của vật có dạng: x = A.cos(ωt + φ) cm

Trong đó:

- A = 5 cm

- f = N/t = 20/10 = 2 Hz → ω = 2πf = 4π (rad/s).

- Tại t = 0 s vật đang ở vị trí cân bằng theo chiều dương

Vật Lí lớp 12 | Lý thuyết và Bài tập Vật Lí 12 có đáp án

→ Phương trình dao động của vật là: x = 5cos(4πt - π/2)cm

Cách 2: Tìm φ:

- Tại t = 0 s vật đang ở vị trí cân bằng theo chiều dương (v > 0) → Φ < 0 → Chọn B

Ví dụ 2: Một vật dao động điều hòa trên quỹ đạo dài 6cm, Biết cứ 2s vật thực hiện được một dao động, tại thời điểm ban đầu vật đang ở vị trí biên dương. Xác định phương trình dao động của vật.

Lời giải:

Cách 1: Phương trình dao động của vật có dạng: x = A cos(ωt + φ) cm

Trong đó:

- A = L/2 = 3cm.

- T = 2 s

- ω = 2π/T = π (rad/s).

Tại t = 0s vật đang ở vị trí biên dương Vật Lý lớp 12 | Lý thuyết và Bài tập Vật Lý 12 có đáp án

Vậy phương trình dao động của vật là: x = 3cos(πt) cm

Cách 2: Tìm Φ:

- Tại t = 0s vật đang ở vị trí biên dương Vật Lý lớp 12 | Lý thuyết và Bài tập Vật Lý 12 có đáp án

⇒ Loại A, C còn lại B, D khác nhau biên độ A

- Tìm A = L/2 = 3cm

Ví dụ 3: Một vật dao động điều hòa với vận tốc khi đi qua vị trí cân bằng là v = 20cm/s. Khi vật đến vị trí biên thì có giá trị của gia tốc là a = 200 cm/s2. Chọn gốc thời gian là lúc vận tốc của vật đạt giá trị cực đại theo chiều dương

Lời giải:

Cách 1: Phương trình dao động có dạng: x = A cos(ωt + φ) cm.

Trong đó:

- vmax = A.ω = 20 cm/s

- amax = A.ω2 = 200 cm/s2

Vật Lí lớp 12 | Lý thuyết và Bài tập Vật Lí 12 có đáp án

- Tại t = 0 s vật có vận tốc cực đại theo chiều dương Vật Lý lớp 12 | Lý thuyết và Bài tập Vật Lý 12 có đáp án

Vậy phương trình dao động là: x = 2cos(10t - π/2 ) cm.

Cách 2: Tìm Φ

- Tại t = 0 s vật có vận tốc cực đại theo chiều dương (v > 0) ⇒ Φ < 0

⇒ Loại A, D còn lại B, C khác nhau ω Vật Lý lớp 12 | Lý thuyết và Bài tập Vật Lý 12 có đáp án

Ví dụ 4: Một vật dao động điều hòa với tần số góc 10π rad/s, tại thời điểm t = 0 vật đi qua vị trí có li độ x = 2√2π cm thì vận tốc của vật là 20√2 cm/s. Xác định phương trình dao động của vật?

Lời giải:

- Tại t = 0 s vật có vận tốc v = 20√2 π > 0 ⇒ Φ < 0

⇒ Loại B, C còn lại A, D khác nhau A Vật Lý lớp 12 | Lý thuyết và Bài tập Vật Lý 12 có đáp án

Phần 2: Viết phương trình dao động của vật có VTCB nằm ngoài gốc tọa độ

1. Phương pháp

Nếu dịch chuyển trục Ox sao cho vị trí cân bằng có tọa độ xo, khi đó biên dương là A + x, biên âm là –A + xo. Áp dụng phép di chuyển trục tọa độ ta có:

Phương trình tọa độ của vật:

x = Acos( ωt + φ) + xo

+ x là tọa độ của vật

+ Acos( ωt + φ) là li độ của vật

+ xo là tọa độ của VTCB Vật Lí lớp 12 | Lý thuyết và Bài tập Vật Lí 12 có đáp án

2. Ví dụ

Ví dụ 1: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox, quỹ đạo của chất điểm nằm trong khoảng từ tọa độ -1 cm đến + 7 cm. Thời gian chất điểm đi từ tọa độ + 3 cm đến + 5 cm bằng 1/6 s. Thời điểm ban đầu, t = 0 được chọn lúc chất điểm đi qua vị trí tọa độ + 1 cm theo chiều âm. Phương trình dao động của chất điểm là

Lời giải:

Vẽ đường tròn mô tả dao động điều hòa từ –1cm đến 7 cm thì VTCB của vật có tọa độ xo = + 3 cm.

Chất điểm đi từ 3 cm ⇒ 5cm: tương đương quay trên đường tròn góc

Vật Lý lớp 12 | Lý thuyết và Bài tập Vật Lý 12 có đáp án

Vật đi từ -1 cm ⇒ + 7 cm nên độ dài quĩ đạo L = 8cm = 2A ⇒ A = 4cm.

Lúc t = 0, x = 1 cm theo chiều âm: dựng đường vuông góc với trục Ox tại 1cm và lấy điểm trên đường tròn. Suy ra, xác định được góc φ = 2π/3 rad.

⇒ Phương trình: x = Acos(ωt + φ) + xo

x = 4cos(πt – 2π/3) + 3 cm.

Vật Lí lớp 12 | Lý thuyết và Bài tập Vật Lí 12 có đáp án

Cách xác định các đại lượng đặc trưng trong dao động điều hòa

A. Phương pháp & Ví dụ

1. Phương pháp

Xác định các đại lượng như biên độ A, vận tốc góc ω, chu kỳ, tần số, pha ban đầu, ... bằng cách đồng nhất với phương trình chuẩn của dao động điều hòa.

- Dao động điều hòa là dao động mà li độ của vật được biểu thị bằng hàm cosin hay sin theo thời gian.

Hoặc là nghiệm của phương trình vi phân: x’’ + ω2x = 0 có dạng như sau:

x = Acos(ωt + φ)

Trong đó:

x: Li độ, li độ là khoảng cách từ vật đến vị trí cân bằng ( Đơn vị độ dài)

A: Biên độ (li độ cực đại) ( Đơn vị độ dài)

ω: Vận tốc góc (rad/s)

ωt + φ: Pha dao động (rad/s) tại thời điểm t, cho biết trạng thái dao động của vật ( gồm vị trí và chiều )

φ: Pha ban đầu (rad) tại thời điểm t = 0s, phụ thuộc vào cách chọn gốc thời gian, gốc tọa độ.

φ, A là những hằng số dương;

- Phương trình vận tốc v (m/s)

v = x’ = v = - Aωsin(ωt + φ) = ωAcos(ωt + φ + π/2 )

→ vmax = ωA Tại vị trí cân bằng x = 0

vmin = 0 Tại 2 biên x = 2 hoặc x = -2.

Nhận xét: Trong dao động điều hoà vận tốc sớm pha hơn li độ góc π/2.

- Phương trình gia tốc a (m/s2)

a = v’ = x’’ = a = - ω2Acos(ωt + φ) = - ω2x = ω2Acos(ωt + φ + π/2)

→ amax = ω2A tại 2 biên

amin = 0 tại vtcb x = 0

Nhận xét: Trong dao động điều hoà gia tốc sớm pha hơn vận tốc góc π/2 và ngược pha với li độ.

- Chu kỳ: Vật Lý lớp 12 | Lý thuyết và Bài tập Vật Lý 12 có đáp án . Trong đó (t: thời gian; N là số dao động thực hiện trong khoảng thời gian t)

“Thời gian để vật thực hiện được một dao động hoặc thời gian ngắn nhất để trạng thái dao động lặp lại như cũ.”

- Tần số: Vật Lý lớp 12 | Lý thuyết và Bài tập Vật Lý 12 có đáp án

“Tần số là số dao động vật thực hiện được trong một giây (số chu kỳ vật thực hiện trong một giây).”

2. Ví dụ

Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa với phương trình x = 4cos(2πt + π/2) cm. Xác định biên độ, chu kỳ và vị trí ban đầu của vật?

Lời giải:

Đồng nhất phương trình với phương trình chuẩn dao động điều hòa x = Acos(ωt + φ), ta được:

A = 4; ω = 2π → Vật Lý lớp 12 | Lý thuyết và Bài tập Vật Lý 12 có đáp án

Thời điểm ban đầu là lúc t = 0, thay vào phương trình, được x = 4cos (π/2) = 0, thời điểm ban đầu vật đang ở vị trí cân bằng.

Ví dụ 2: Một vật dao động điều hòa với biên độ 10 cm. Trong khoảng thời gian 90 giây, vật thực hiện được 180 dao động. Lấy π2 = 10.

a) Tính chu kỳ, tần số dao động của vật.

b) Tính tốc độ cực đại và gia tốc cực đại của vật.

Lời giải:

a) Ta có Δt = N.T → T = Δt/N = 90/180 = 0,5 s

Từ đó ta có tần số dao động là f = 1/T = 2 (Hz).

b) Tần số góc dao động của vật là Vật Lý lớp 12 | Lý thuyết và Bài tập Vật Lý 12 có đáp án

Tốc độ cực đại, gia tốc cực đại của vật được tính bởi công thức Vật Lí lớp 12 | Lý thuyết và Bài tập Vật Lí 12 có đáp án

Ví dụ 3: Một vật dao động điều hòa có vmax = 16π (cm/s); amax = 6,4 (m/s2 ). Lấy π2 = 10.

a) Tính chu kỳ, tần số dao động của vật.

b) Tính độ dài quỹ đạo chuyển động của vật.

c) Tính tốc độ của vật khi vật qua các li độ Vật Lý lớp 12 | Lý thuyết và Bài tập Vật Lý 12 có đáp án

Lời giải:

a) Ta có Vật Lý lớp 12 | Lý thuyết và Bài tập Vật Lý 12 có đáp án

Từ đó ta có chu kỳ và tần số dao động là: Vật Lý lớp 12 | Lý thuyết và Bài tập Vật Lý 12 có đáp án

b) Biên độ dao động A thỏa mãn Vật Lý lớp 12 | Lý thuyết và Bài tập Vật Lý 12 có đáp án

→ Độ dài quỹ đạo chuyển động là 2A = 8 (cm).

c) Áp dụng công thức tính tốc độ của vật ta được: Vật Lí lớp 12 | Lý thuyết và Bài tập Vật Lí 12 có đáp án

Cách tìm thời điểm vật qua vị trí x lần thứ n

A. Phương pháp & Ví dụ

1. Phương pháp

- Phương trình dao động có dạng: x = Acos(ωt + φ) cm.

- Phương trình vận tốc có dạng: v = -ωAsin(ωt + φ) cm/s.

Phương pháp chung:

a) Khi vật qua li độ x1 thì:

x1 = Acos(ωt + φ) ⇒ cos(ωt + φ) = Vật Lí lớp 12 | Lý thuyết và Bài tập Vật Lí 12 có đáp án = cosb ⇒ ωt + φ = ±b + k2π

+ Vật Lí lớp 12 | Lý thuyết và Bài tập Vật Lí 12 có đáp án với k ∈ N khi b – φ > 0 (v < 0) vật qua x0 theo chiều âm.

+ Vật Lí lớp 12 | Lý thuyết và Bài tập Vật Lí 12 có đáp án với k ∈ N* khi –b – φ < 0 (v > 0) vật qua x0 theo chiều dương.

Kết hợp với điều kiện của bài toán ta loại bớt đi một nghiệm.

Lưu ý : Ta có thể dựa vào “ mối liên hệ giữa DĐĐH và CĐTĐ ”. Thông qua các bước sau:

Vật Lí lớp 12 | Lý thuyết và Bài tập Vật Lí 12 có đáp án

• Bước 1: Vẽ đường tròn có bán kính R = A (biên độ) và trục Ox nằm ngang.

• Bước 2: – Xác định vị trí vật lúc t = 0 thì Vật Lí lớp 12 | Lý thuyết và Bài tập Vật Lí 12 có đáp án

              - Xác định vị trí vật lúc t (x1 đã biết)

• Bước 3: Xác định góc quét Δφ = Vật Lí lớp 12 | Lý thuyết và Bài tập Vật Lí 12 có đáp án = ?

• Bước 4: Vật Lí lớp 12 | Lý thuyết và Bài tập Vật Lí 12 có đáp án

b) Khi vật đạt vận tốc v1 thì:

Vật Lí lớp 12 | Lý thuyết và Bài tập Vật Lí 12 có đáp án

Lưu ý:

+ Đề ra thường cho giá trị n nhỏ, còn nếu n lớn thì tìm quy luật để suy ra nghiệm thứ n.

+ Có thể giải bài toán bằng cách sử dụng mối liên hệ giữa dao động điều hoà và chuyển động tròn đều.

+ Dùng sơ đồ này có thể giải nhanh về thời gian chuyển động, quãng đường đi được trong thời gian Δt, quãng đường đi tối đa, tối thiểu….

+ Có thể áp dụng được cho dao động điện, dao động điện từ.

+ Khi áp dụng cần có kỹ năng biến đổi thời gian đề cho Δt liên hệ với chu kỳ T. và chú ý chúng đối xứng nhau qua gốc tọa độ.

2. Ví dụ :

Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa với phương trình Vật Lí lớp 12 | Lý thuyết và Bài tập Vật Lí 12 có đáp án cm. Xác định thời điểm đầu tiên vật đi qua vị trí có li độ x = 5 cm theo chiều ngược chiều với chiều dương kể từ thời điểm t = 0.

Lời giải:

Vật Lí lớp 12 | Lý thuyết và Bài tập Vật Lí 12 có đáp án

Vì v < 0 nên ta chọn nghiệm:

10πt + π/2 = 0,42π + 2kπ → t = - 0,008 + 0,2k; với k ∈ Z.

Nghiệm dương nhỏ nhất trong họ nghiệm này (ứng với k = 1) là t = 0,192 s.

Chọn đáp án A

Ví dụ 2: Một vật dao động điều hòa với phương trình Vật Lí lớp 12 | Lý thuyết và Bài tập Vật Lí 12 có đáp án cm. Xác định thời điểm gần nhất vận tốc của vật bằng 20π√3 cm/s và đang tăng kể từ lúc t = 0.

A. 1/6s    B. 1/7s    C. 1/8s    D. 1/9s

Lời giải:

Vật Lí lớp 12 | Lý thuyết và Bài tập Vật Lí 12 có đáp án

Vì v đang tăng nên: 10πt + π/6 = –π/6 + 2kπ → t = –1/30 + 0,2k.

Với k ∈ Z. Nghiệm dương nhỏ nhất trong họ nghiệm này là t = 1/6 s, ứng với k = 1.

Chọn đáp án A.

Ví dụ 3: Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình Vật Lí lớp 12 | Lý thuyết và Bài tập Vật Lí 12 có đáp án (x tính bằng cm; t tính bằng s). Kể từ t = 0, chất điểm đi qua vị trí có li độ x = – 2 cm lần thứ 2011 tại thời điểm ?

A. 3015 s.    B. 6030 s.    C. 3016 s    D. 6031 s.

Lời giải:

Cách 1: Từ phương trình Vật Lí lớp 12 | Lý thuyết và Bài tập Vật Lí 12 có đáp án ta nhận thấy lúc t = 0, x0 = 4 cm, v0 = 0. Vật qua x = – 2 là qua M1 và M2. Vật quay 1 vòng qua x = – 2 là 2 lần, qua lần thứ 2011 thì phải quay 1005 vòng (ứng với 2010 lần) rồi đi từ M0 đến M1 để thêm 1 lần nữa là 2011 lần.

Vật Lí lớp 12 | Lý thuyết và Bài tập Vật Lí 12 có đáp án

Khi đó, góc quét:

Vật Lí lớp 12 | Lý thuyết và Bài tập Vật Lí 12 có đáp án

Vậy: Vật Lí lớp 12 | Lý thuyết và Bài tập Vật Lí 12 có đáp án

Chọn đáp án C

Cách 2: Giải phương trình lượng giác Vật Lí lớp 12 | Lý thuyết và Bài tập Vật Lí 12 có đáp án . Theo đề bài ta có:

Vật Lí lớp 12 | Lý thuyết và Bài tập Vật Lí 12 có đáp án

Từ (*) ta nhận thấy:

    + Lần thứ 1 ứng với m = 0.

    + Lần thứ 2 ứng với n = 1.

    + Lần thứ 3 ứng với m = 1.

    ……………………………

    + Lần thứ 2011 ứng với m = 1005.

Khi đó, ta có: t = 1 + 3m = 1 + 3.1005 = 3016 s.

Chọn đáp án C

Cách giải 3:

Ta nhận thấy vật đi qua vị trí có li độ x = - 2 cm lần thứ 2011 (n = 2011) nên n lẻ, khi đó ta có: Vật Lí lớp 12 | Lý thuyết và Bài tập Vật Lí 12 có đáp án

Với Vật Lí lớp 12 | Lý thuyết và Bài tập Vật Lí 12 có đáp án là khoảng thời gian vật đi từ vị trí cân bằng đến vị trí x = - 2 lần thứ nhất.

Vậy: Vật Lí lớp 12 | Lý thuyết và Bài tập Vật Lí 12 có đáp án

Chọn đáp án C

Chú ý: Dạng bài toán tính thời điểm vật đi qua vị trí đã biết x (hoặc v, a, Wt, Wđ, F) lần thứ n ta có thể tính theo các công thức sau:

+ Vật Lí lớp 12 | Lý thuyết và Bài tập Vật Lí 12 có đáp án nếu n là lẻ. Với t1 là khoảng thời gian vật đi từ vị trí cân bằng đến vị trí x lần thứ nhất.

+ Vật Lí lớp 12 | Lý thuyết và Bài tập Vật Lí 12 có đáp án nếu n là chẵn. Với t2 là khoảng thời gian vật đi từ vị trí cân bằng đến vị trí x lần thứ hai.

Bài tập bổ sung

Câu 1: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox, với gia tốc cực đại là 320 cm/s2. Khi chất điểm đi qua vị trí gia tốc có độ lớn 160 cm/s2 thì tốc độ của nó là 40√3 cm/s. Biên độ dao động của chất điểm là

A. 20 cm

B. 8 cm

C. 10 cm

D. 16 cm

Câu 2: Một vật dao động điều hòa với phương trình x=4cos5πt+5π6cm. Sau khoảng thời gian t = 4,5s kể từ thời điểm ban đầu vật đi được quãng đường là

A. 179,5 cm

B. 182 cm

C. 180 cm

D. 181,5 cm

Câu 3: Một chất điểm dao động điều hòa theo quỹ đạo thẳng dài 14 cm với chu kì 1s. Tốc độ trung bình của chất đểm từ thời điểm t0 chất điểm qua vị trí có li độ 3,5 cm theo chiều dương đến thời điểm gia tốc của chất điểm có độ lớn cực đại lần thứ 3 (kể từ t0) là

A. 26,7 cm/s

B. 28 cm/s

C. 27,3 cm/s

D. 27 cm/s

Câu 4: Hai chất điểm P, Q cùng xuất phát từ gốc và bắt đầu dao động điều hòa cùng theo trục Ox với cùng biên độ nhưng chu kì lần lượt là 3 s và 6 s. Tỉ số độ lớn vận tốc của P và Q khi chúng gặp nhau là bao nhiêu?

A. 2:1

B. 1:2

C. 1:3

D. 3:1

Câu 5: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x=4sin(5πt-π6)cm. Vận tốc và gia tốc của vật ở thời điểm t = 0,5s là:

A. 10π√3 cm/s và -50π2 cm/s2

B. 10π cm/s và 50√3π2 cm/s2

C. -10π√3 cm/s và 50π2 cm/s2

D. 10π cm/s và -50√3π2 cm/s2

Câu 6: Một chất điểm dao động điều hòa có đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc của li độ x vào thời gian rồi như hình vẽ. Tại thời điểm t = 0,2s, chất điểm có li độ 2 cm. Ở thời điểm t = 0,9s, gia tốc của chất điểm có giá trị bằng

Các dạng bài tập Dao động điều hòa có lời giải

A. 14,5 cm/s2

B. 0,57 cm/s2

C. 5,70 cm/s2

D. 1,45 cm/s2

Câu 7: Cho 3 vật dao động điều hòa lần lượt có biên độ A1 = 5cm, A2 = 10cm, A3 = 5√2cm và tần số f1, f2, f3. Biết rằng tại mọi thời điểm, li độ và vận tốc của các vật liên hệ bằng biểu thức x1v1+x2v2=x3v3. Tại thời điểm t, các vật cách vị trí cân bằng của chúng những đoạn lần lượt là 4cm, 8cm và x0. Giá trị của x0 gần giá trị nào nhất sau đây

A. 3cm

B. 2cm

C. 6,4cm

D. 4cm

Câu 8: Một chất điểm dao động điều hòa với chu kỳ là 1s. Tại thời điểm t = 13 s kể từ thời điểm ban đầu, chất điểm cách biên âm 4 cm và chuyển động theo chiều âm. Tại thời điểm t = 13 s, chất điểm bắt đầu đổi chiều chuyển động lần thứ hai. Vận tốc của chất điểm tại thời điểm t = 2018,75 s có giá trị gần nhất với giá trị nào sau đây?

A. 22 cm/s

B. -25 cm/s

C. 50 cm/s

D. -22 cm/s

Câu 9: Một vật nhỏ dao động điều hòa trên trục Ox với chu kì T = 2s. Gốc O trùng với vị trí cân bằng. Tại thời điểm t1 vật có li độ x1, tại thời điểm t2 = t1 + 0,5s vận tốc của vật có giá trị là v2 = b. Tại thời điểm t3 = t2 + 1s vận tốc của vật có giá trị v3 = b + 8π cm/s. Li độ x1 có độ lớn gần giá trị nào nhất sau đây

A. 3,5 cm

B. 4,2 cm

C. 4,8 cm

D. 5,5 cm

Câu 10: Một vật dao động theo phương x = 10cos(10πt)cm. Vận tốc của vật có độ lớn bằng 50π (cm/s) lần thứ 2017 kể từ lúc t = 0 tại thời điểm:

A. 604860s

B. 604960s

C. 604760s

D. 6056s

Xem thêm các dạng bài tập Vật Lí lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12

Bộ giáo án, đề thi, bài giảng powerpoint, khóa học dành cho các thầy cô và học sinh lớp 12, đẩy đủ các bộ sách cánh diều, kết nối tri thức, chân trời sáng tạo tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official




Giải bài tập lớp 12 sách mới các môn học
Tài liệu giáo viên