(Ôn thi Toán vào 10) Bài toán về đường cao và phân giác của tam giác nội tiếp đường tròn

Bài toán về đường cao và phân giác của tam giác nội tiếp đường tròn nằm trong bộ Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 đầy đủ lý thuyết và bài tập đa dạng có lời giải chi tiết giúp học sinh có thêm tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán.

(Ôn thi Toán vào 10) Bài toán về đường cao và phân giác của tam giác nội tiếp đường tròn

Xem thử

Chỉ từ 500k mua trọn bộ 12 Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

I. Các dạng bài và ví dụ minh họa

Ví dụ 1.Cho tam giác nhọn $ABC$ có ba đường cao $AD,BE,CF$ cắt nhau tại $H$ và nội tiếp $\left(O\right)$ . Gọi I là trung điểm $BC$ .

a) Chứng minh các tứ giác $AEHF,BFEC$ nội tiếp.

b) Chứng minh $H$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $DEF$ .

c) Chứng minh $BF\cdot BA+CE\cdot CA=B{C}^2$ .

d) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\frac{AD}{HD}+\frac{BE}{HE}+\frac{CF}{HF}$ .

Hướng dẫn giải:

Suy ra hai điểm $E$ và $F$ nằm trên đường tròn đường kính $BC$ có tâm là trung điểm của đoạn $BC.$

Do đó bốn điểm $B,F,E,C$ cùng nằm trên một đường tròn hay tứ giác $BFEC$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC.$

Vậy các tứ giác $AEHF,BFEC$ nội tiếp.

b) Vì $AD,BE,CF$ là đường cao $\Delta ABC$ nên: $\widehat{HDB}=\widehat{HFB}=90°,\widehat{HDC}=\widehat{HEC}=90°$.

• Vì $\widehat{HDB}=\widehat{HFB}=90°$ hai điểm $D$ và $F$ nằm trên đường tròn đường kính $BH$ có tâm là trung điểm của đoạn $BH.$

Do đó, bốn điểm $B,F,H,D$ cùng nằm trên một đường tròn hay tứ giác $BFHD$ nội tiếp đường tròn đường kính $BH.$

• Vì $\widehat{HDC}=\widehat{HEC}=90°$ hai điểm $D$ và $E$ nằm trên đường tròn đường kính $CH$ có tâm là trung điểm của đoạn $CH.$

Do đó, bốn điểm $C,E,H,D$ cùng nằm trên một đường tròn hay tứ giác $CEHD$ nội tiếp đường tròn đường kính $CH.$

Do đó $\widehat{D_1}=\widehat{B_1}$ (cùng chắn cung $\stackrel{⏜}{HF}$); $\widehat{C_2}=\widehat{D_2}$ (cùng chắn cung $\stackrel{⏜}{HE}$).

Mà $\widehat{B_2}=\widehat{C_2}$ (cùng phụ $\widehat{BAC}$ ) nên $\widehat{D_1}=\widehat{D_2}$ hay $DH$ là phân giác $\widehat{FDE}$ .

Tương tự, ta có $EH$ là phân giác của $\widehat{DEF}$ .

Vậy $H$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta DEF$ .

c) Vì $\widehat{AFC}=\widehat{ADC}=90°$ (do $AD,CF$ là đường cao) nên hai điểm $D$ và $F$ nằm trên đường tròn đường kính $AC$ có tâm là trung điểm của đoạn $AC.$

Do đó, bốn điểm $A,F,D,C$ cùng nằm trên một đường tròn hay tứ giác $AFDC$ nội tiếp đường tròn đường kính $AC.$

Xét $\Delta BFD$ và $\Delta BCA$ có $\widehat{ABC}$ chung, $\widehat{BFD}=\widehat{ACB}$

Do đó $\Delta BFD\backsim \Delta BCA\left(\text{g.g}\right)$.

Suy ra $\frac{BF}{BD}=\frac{BC}{BA}$ hay $BF\cdot BA=BD\cdot BC$.

Tương tự, ta có: $CE\cdot CA=CD\cdot CB$

Vậy $BF\cdot BA+CE\cdot CA$$=BD\cdot BC+CD\cdot CB=B{C}^2$

d) Vì $\Delta HBC,\Delta ABC$ có chung đáy $BC$ nên $\frac{AD}{HD}=\frac{S_{ABC}}{S_{HBC}}$.

Tương tự: $\frac{BE}{HE}=\frac{S_{ABC}}{S_{HAC}};\frac{FC}{HC}$$=\frac{S_{ABC}}{S_{HAB}}.$

Do đó $P=\frac{AD}{HD}+\frac{BE}{HE}+\frac{FC}{HC}$$=S_{ABC}\left(\frac{1}{S_{HBC}}+\frac{1}{S_{HAC}}+\frac{1}{S_{HAB}}\right)$

$=\left(S_{HBC}+S_{HAC}+S_{HAB}\right)\left(\frac{1}{S_{HBC}}+\frac{1}{S_{HAC}}+\frac{1}{S_{HAB}}\right)\ge 9$.

Dấu “=” xảy ra khi $S_{HBC}+S_{HAC}+S_{HAB}=\frac{1}{3}{S}_{ABC}$ hay $HD=\frac{1}{3}AD;DB=DC.$

Do đó, $H$ là trọng tâm $\Delta ABC$, mà $H$ là trực tâm nên $\Delta ABC$ đều.

Vậy $P_{\min }=9$ khi $\Delta ABC$đều.

Ví dụ 2. Chứng minh trong một tam giác bất kì, 9 điểm gồm 3 điểm là chân các đường cao, 3 điểm là trung điểm các cạnh và 3 điểm là trung điểm các đoạn thẳng nối trực tâm với ba đỉnh nằm trên một đường tròn.

Hướng dẫn giải:

Thật vậy, chứng minh tương tự Ví dụ 1, ta có $H$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta DEF$ và các tứ giác $AFHE,BFEC$ nội tiếp.

Suy ra $\Delta IFH$ cân tại $I$ hay $IH=IF$.

Do đó $IE=IF=IH$ nên $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta EHF$.

Vậy $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $EHFA$ đường kính $AH$ nên $I$ là trung điểm $AH$.

Chứng minh tương tự, ta có: Đường tròn ngoại tiếp $\Delta DEF$ qua trung điểm các cạnh $CA,AB,HB,HC.$

➤ Chú ý:Đường tròn trong Ví dụ 2 là đường tròn Euler.

Đường tròn Euler của một tam giác đi qua chín điểm đặc biệt gồm trung điểm mỗi cạnh tam giác; chân đường cao kẻ từ mỗi đỉnh và trung điểm của đoạn thẳng nối từ đỉnh tới trực tâm (nơi mà ba đường cao đồng quy).

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Cho đường tròn $\left(O;R\right)$ và dây $MN$ cố định $\left(MN<2R\right).$ Kẻ đường kính $AB$ vuông góc với dây $MN$ tại $E.$ Lấy điểm $C$ thuộc dây $MN(C$ khác $M,N,E).$ Đường thẳng $BC$ cắt đường tròn $\left(O;R\right)$ tại điểm $K(K$ khác $B).$

a) Chứng minh $AKCE$ là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh $B{M}^2=BK\cdot BC.$

c) Gọi $I$ là giao điểm của hai đường thẳng $AK,\text{}MN;D$ là giao điểm của hai đường thẳng $AC$ và $BI.$ Chứng minh $C$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $DEK.$

Bài 2. Cho đường tròn $\left(O;R\right)$, dây $BC$ cố định không đi qua tâm. Điểm $A$ di chuyển trên cung lớn $BC$. Các đường cao $AD,BE,CF$ cắt nhau tại $H$ và kéo dài cắt $\left(O\right)$ lần lượt tại $M,N,P.$

a) Chứng minh $M,N,P$ đối xứng $H$ lần lượt qua $BC,CA,AB.$

b) Chứng minh $AM\perp EF$ .

c) Chứng minh khi $A$ di động trên cung lớn $BC$ của $\left(O\right)$ cố định thì $AH$ không đổi và $H$ luônthuộc một đường tròn cố định.

d) Tìm vị trí điểm $A$ sao cho $S_{AEF}$ lớn nhất.

e) Tìm vị trí điểm $A$ sao cho chu vi $\Delta DEF$ lớn nhất.

................................

................................

................................

Xem thử

Xem thêm các chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn Toán năm 2025 có đáp án hay khác:

• (Ôn thi Toán vào 10) Tổng hợp kiến thức hình học cơ bản

• (Ôn thi Toán vào 10) Chứng minh tam giác đồng dạng và hệ thức hình học

• (Ôn thi Toán vào 10) Chứng minh điểm thuộc đường tròn, tứ giác nội tiếp

• (Ôn thi Toán vào 10) Chứng minh quan hệ song song

• (Ôn thi Toán vào 10) Chứng minh vuông góc

• (Ôn thi Toán vào 10) Tiếp tuyến và một số bài toán liên quan

• (Ôn thi Toán vào 10) Bài toán chứng minh thẳng hàng, đồng quy

• (Ôn thi Toán vào 10) Một số bài toán chứng minh đường thẳng hoặc đường tròn đi qua điểm cố định

• (Ôn thi Toán vào 10) Một số bài toán về cực trị hình học

• (Ôn thi Toán vào 10) Một số dạng toán khác trong Hình học phẳng

• (Ôn thi Toán vào 10) Độ dài cung tròn, diện tích hình quạt tròn, diện tích hình vành khuyên

• (Ôn thi Toán vào 10) Bài tập tổng hợp Hình học phẳng

Để học tốt lớp 10 các môn học sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---