(Ôn thi Toán vào 10) Chứng minh vuông góc

Chứng minh vuông góc nằm trong bộ Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 đầy đủ lý thuyết và bài tập đa dạng có lời giải chi tiết giúp học sinh có thêm tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán.

(Ôn thi Toán vào 10) Chứng minh vuông góc

Xem thử

Chỉ từ 500k mua trọn bộ 12 Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

I. Các dạng bài và ví dụ minh họa

Dạng 1. Sử dụng tính chất từ vuông góc đến song song

Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$ nhọn, $AB<AC$ nội tiếp đường tròn tâm $\left(O\right)$. Kẻ đường kính $AD$, đường cao $AH,BE$ vuông góc với $AD$ tại $E$. Chứng minh $HE\perp AC$.

Suy ra $\widehat{BAE}+\widehat{BHO}=180°$ nên $\widehat{BAE}=\widehat{EHC}.$

Mà $\widehat{BAE}=\widehat{BCD}=\frac{1}{2}\text{sđ}\stackrel{⏜}{BD}$ nên $\widehat{BCD}=\widehat{EHC}.$

Ta thấy $\widehat{BCD}$ và $\widehat{EHC}$ ở vị trí so le trong suy ra $HE\text{//}CD.$

Mà $DC\perp AC$ nên $HE\perp AC$ (từ vuông góc đến song song).

Dạng 2. Sử dụng định lí Pythagore đảo

Ví dụ 2. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, đường cao $AH$. Trên $AH$ lấy $D$, trên tia đối của tia $HA$ lấy điểm $E$ sao cho $AD=HE$. Đường thẳng vuông góc với $AH$ tại $D$ cắt $AC$ tại $F$. Chứng minh $EB\perp EF.$

Phân tích:

Để chứng minh $EB\perp EF$ ta sử dụng định lí Pythagore đảo trong tam giác $BEF.$

Dạng 3. Sử dụng tính chất ba đồng quy trong tam giác

Ví dụ 3. Cho đường tròn $\left(O\right)$ đường kính $AB$, điểm $S$ nằm ngoài đường tròn. Biết $SA$ và $SB$ cắt đường tròn tại $M,N$. Gọi $H$ là giao điểm của $BM$ và $AN$. Chứng minh rằng $SH\perp AB$ .

Dạng 4. Sử dụng tính chất bắc cầu

Ví dụ 4. Cho tam giác $ABC\left(AB<AC\right)$ nội tiếp đường tròn $\left(O\right)$. Vẽ các đường cao $BE,CF$ của tam giác $ABC$ . Chứng minh $AO\perp EF$ .

Khi đó $\widehat{AOB}=2\widehat{ACB}$ nên $\widehat{OAB}=\frac{180°-2\widehat{ACB}}{2}=90°-\widehat{ACB}$.

Do đó $\widehat{IAF}=90°-\widehat{ACB}\left(1\right).$

Vì $\widehat{BEC}=\widehat{BFC}=90°$ nên hai điểm $E$ và $F$ nằm trên đường tròn đường kính $BC$ có tâm là trung điểm của đoạn $BC.$

Suy ra bốn điểm $B,F,E,C$ cùng nằm trên một đường tròn hay tứ giác $BFEC$ nội tiếp.

Do đó $\widehat{AFE}=\widehat{ACB}$ nên $\widehat{AFI}=\widehat{ACB}\left(2\right).$

Từ $\left(1\right)$ và $\left(2\right)$ suy ra $\widehat{IAF}+\widehat{AFI}=90°-\widehat{ACB}+\widehat{ACB}=90°.$

Tam giác $ATF$ có $\widehat{IAF}+\widehat{AFI}=90°$ nên $\widehat{AIF}=90°$ hay $AO\perp EF$.

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ nội tiếp đường tròn $\left(O\right)$, đường cao $AH$. Vẽ đường kính $C{C}^{\text{'}},AK\perp C{C}^{\text{'}}$ tứ giác $AKHC$ là hình gì? Tại sao?

Bài 2. Cho tam giác $ABC\left(AB<AC\right)$ nội tiếp đường tròn $\left(O\right)$. Kẻ tiếp tuyến $xy$ với đường tròn $\left(O\right)$ tại điểm $A$. Vẽ các đường cao $BE,CF$ của tam giác $ABC$. Chứng minh $AO\perp EF.$

................................

................................

................................

Xem thử

Xem thêm các chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn Toán năm 2025 có đáp án hay khác:

• (Ôn thi Toán vào 10) Tổng hợp kiến thức hình học cơ bản

• (Ôn thi Toán vào 10) Chứng minh tam giác đồng dạng và hệ thức hình học

• (Ôn thi Toán vào 10) Chứng minh điểm thuộc đường tròn, tứ giác nội tiếp

• (Ôn thi Toán vào 10) Chứng minh quan hệ song song

• (Ôn thi Toán vào 10) Bài toán về đường cao và phân giác của tam giác nội tiếp đường tròn

• (Ôn thi Toán vào 10) Tiếp tuyến và một số bài toán liên quan

• (Ôn thi Toán vào 10) Bài toán chứng minh thẳng hàng, đồng quy

• (Ôn thi Toán vào 10) Một số bài toán chứng minh đường thẳng hoặc đường tròn đi qua điểm cố định

• (Ôn thi Toán vào 10) Một số bài toán về cực trị hình học

• (Ôn thi Toán vào 10) Một số dạng toán khác trong Hình học phẳng

• (Ôn thi Toán vào 10) Độ dài cung tròn, diện tích hình quạt tròn, diện tích hình vành khuyên

• (Ôn thi Toán vào 10) Bài tập tổng hợp Hình học phẳng

Để học tốt lớp 10 các môn học sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---