(Ôn thi Toán vào 10) Chứng minh tam giác đồng dạng và hệ thức hình học

Trang trước Trang sau

Chứng minh tam giác đồng dạng và hệ thức hình học nằm trong bộ Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2026 đầy đủ lý thuyết và bài tập đa dạng có lời giải chi tiết giúp học sinh có thêm tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán.

(Ôn thi Toán vào 10) Chứng minh tam giác đồng dạng và hệ thức hình học

Xem thử

Chỉ từ 500k mua trọn bộ 12 Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2026 theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

B1: gửi phí vào tk: 1133836868 - CT TNHH DAU TU VA DV GD VIETJACK - Ngân hàng MB (QR)
B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

Quảng cáo

I. Các dạng bài và ví dụ minh họa

Dạng 1. Chứng minh hai tam giác đồng dạng theo các trường hợp đồng dạng

Ví dụ 1. Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ . Gọi $O$ là trung điểm của $A B$ , $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $O C$ . Chứng minh tam giác $O H B$ và tam giác $O B C$ đồng dạng.

Phân tích:

• Tam giác $O H B$ và tam giác $O B C$ có chung góc đỉnh $O$ , nếu có $\frac{O B}{C O} = \frac{H O}{O B}$ thì hai tam giác sẽ đồng dạng theo trường hợp góc – góc.

• Với $O$ là trung điểm $A B$ thì $O A = O B$ .

• Nếu chỉ ra $\frac{O A}{C O} = \frac{H O}{O A}$ thì bài toán được giải quyết.

Ví dụ 2. Cho tam giác $A B C$ nội tiếp đường tròn $(O), A B < A C$ . Tiếp tuyến tại $B$ và $C$ của $(O)$ cắt nhau ở $P, M$ là trung điểm của $B C$ . Nối $A P$ cắt $(O)$ tại $D$ .

Quảng cáo

a) Chứng minh $Δ D B P ∽ Δ B A P$ .

b) Chứng minh $Δ P D M ∽ Δ P O A$ .

c) Chứng minh $Δ O M A ∽ Δ D M P$ .

d) Chứng minh $Δ A M C ∽ Δ C M D$ .

(Ôn thi Toán vào 10) Chứng minh tam giác đồng dạng và hệ thức hình học

b) Từ câu a, $Δ D B P ∽ Δ B A P$ suy ra $\frac{P B}{P D} = \frac{P A}{P B}$ hay $P B^{2} = P D \cdot P A$ . (1)

Xét $Δ P B M$ và $Δ P O B$ có: $\hat{P M B} = \hat{P B O} = 90 °$ ; $\hat{B P O}$ là góc chung.

Do đó $Δ P B M ∽ Δ P O B (g.g) .$ Suy ra $\frac{P B}{P O} = \frac{P M}{P B}$ hay $P B^{2} = P M \cdot P O$ . (2)

Từ (1) và (2) suy ra $P D \cdot P A = P M \cdot P O$ hay $\frac{P D}{P M} = \frac{P O}{P A}$ .

Xét $Δ P D M$ và $Δ P O A$ có: $\frac{P D}{P M} = \frac{P O}{P A}; \hat{M P D} = \hat{A P O}$ .

Do đó $Δ P D M ∽ Δ P O A (c.g.c)$ .

c) Ta có $Δ P D M ∽ Δ P O A$ (c.g.c) suy ra $\hat{P D M} = \hat{P O A}$ hay $\hat{P D M} = \hat{M O A} (3)$

Quảng cáo

Vì $\hat{P D M} = \hat{M O A}$ nên tứ giác $O A D M$ nội tiếp.

Xét $Δ O B M$ và $Δ O P B$ có: $\hat{O M B} = \hat{O B P} = 90 °$ ; $\hat{B O P}$ chung.

Do đó $Δ O B M ∽ Δ O P B (g.g) .$ Suy ra $\frac{O B}{O M} = \frac{O P}{O B}$ hay $O B^{2} = O M \cdot O P$ .

Do đó $O D^{2} = O M \cdot O P$ (vì $O B = O D)$ nên $\frac{O D}{O M} = \frac{O P}{O D}$ .

Xét $Δ O D M$ và $Δ O P D$ có: $\hat{D O M} = \hat{P O D}; \frac{O D}{O M} = \frac{O P}{O D}$ .

Do đó $Δ O D M ∽ Δ O P D (c.g.c)$ suy ra $\hat{O D M} = \hat{O P D}$ hay $\hat{O D M} = \hat{M P D}$ .

Mà $\hat{O D M} = \hat{O A M}$ (do tứ giác $O A D M$ nội tiếp) suy ra $\hat{M P D} = \hat{O A M} (4)$

Từ $(3)$ và $(4)$ ta được $Δ O M A ∽ Δ D M P (g.g)$ .

d) Ta có: $Δ O M P ∽ Δ D M P$ suy ra $\hat{A M O} = \hat{D M P}$ nên $\hat{A M C} = \hat{C M D} (5)$

Do đó $Δ O M A ∽ Δ D M P$ suy ra $\frac{O M}{D M} = \frac{A M}{M P}$ hay $O M \cdot M P = A M \cdot D M$ .

Quảng cáo

Xét $Δ M C O$ và $Δ M P C$ có: $\hat{O M C} = \hat{C B P} = 90 °$ ; $\hat{C O M} = \hat{M C P}$ (cùng phụ $\hat{O C M})$ .

Do đó $Δ M C O ∽ Δ M P C (g.g) .$ Suy ra $\frac{M C}{M P} = \frac{O M}{M C}$ hay $M C^{2} = O M \cdot M P$ .

Do đó $A M \cdot D M = M C^{2}$ nên $\frac{A M}{M C} = \frac{M C}{D M} (6) .$

Từ $(5)$ và $(6)$ suy ra $Δ A M C ∽ Δ C M D (c.g.c)$ .

(Ôn thi Toán vào 10) Chứng minh tam giác đồng dạng và hệ thức hình học

⦁ Chứng minh ➀ như sau:

Xét hai tam giác vuông $A H C$ và $B A C$ có $\hat{C}$ chung.

Suy ra $Δ A H C ∽ Δ B A C (c.g.c)$

Do đó $\frac{H C}{A C} = \frac{A C}{B C}$ suy ra $A C^{2} = B C \cdot H C$ hay $b^{2} = a b^{'} .$ Tương tự, ta có $c^{2} = a c^{'} .$

⦁ Chứng minh ➁ như sau:

Xét $Δ A H B$ và $Δ C H A$ có: $\hat{A H B} = \hat{A H C} = 90 °$ ; $\hat{A B H} = \hat{C A H}$ (cùng phụ $\hat{B A H})$

Suy ra $Δ A H B ∽ Δ C H A (c.g.c)$ .

Do đó $\frac{A H}{C H} = \frac{B H}{A H}$ suy ra $A H^{2} = B H \cdot H C$ hay $h^{2} = b^{'} c^{'} .$

Dạng 2. Chứng minh hệ thức liên quan đến tam giác vuông

Phương pháp giải: Sử dụng những công thức liên quan đến tam giác vuông:

• Sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác vuông.

• Định lí Pythagore.

• Các phép biến đổi biểu thức đại số.

Ví dụ 3. Cho $Δ A B C$ vuông tại $A$ . Đường cao $A H$ . Gọi $E, F$ là hình chiếu vuông góc của $H$ lần lượt lên $A B, A C$ .

a) Chứng minh: $B E^{2} + 3 A H^{2} + C F^{2} = B C^{2}$ .

b) Chứng minh: $A H^{3} = B E \cdot C F \cdot B C$ .

c) Chứng minh: $\frac{A B^{3}}{A C^{3}} = \frac{B E}{C F}$ .

Hướng dẫn giải:

(Ôn thi Toán vào 10) Chứng minh tam giác đồng dạng và hệ thức hình học

Áp dụng Định lí Pythagore:

• Xét tam giác $A B H$ vuông tại $H$ , ta có: $B H^{2} = B E^{2} + E H^{2}$ .

• Xét tam giác $A H C$ vuông tại $H$ , ta có: $C H^{2} = C F^{2} + H F^{2}$ .

Ta có $B C^{2} = B E^{2} + 2 A H^{2} + C F^{2} + (H F^{2} + E H^{2})$ .

• Xét tam giác vuông $A E H$ , ta có: $A H^{2} = A E^{2} + E H^{2}$

Mà $H F = A E$ (vì tứ giác $A E H F$ là hình chữ nhật) nên $H F^{2} + E H^{2} = A H^{2} .$

Do đó $B C^{2} = B E^{2} + 2 A H^{2} + C F^{2} + (H F^{2} + E H^{2})$ ;

$A H^{2} + C F^{2} + A H^{2} = B E^{2} + 3 A H^{2} + C F^{2}$ .

b) Từ Lưu ý ➁ ở phần Ví dụ 2, ta áp dụng vào các tam giác vuông như sau:

• Xét $Δ A B C$ vuông có đường cao $A H$ , ta có:

$A H^{2} = B H \cdot C H$ hay $A H^{4} = B H^{2} \cdot C H^{2} (2) .$

• Xét $Δ A B H$ vuông có đường cao $H E$ , ta có: $B H^{2} = B E \cdot A B (3) .$

• Xét $Δ A C H$ vuông có đường cao $H F$ , ta có: $C H^{2} = C F \cdot A C (4)$

Từ $(2), (3)$ và $(4)$ suy ra $A H^{4} = B E \cdot C F \cdot A B \cdot A C$ .

Mà $A B \cdot A C = B C \cdot A H$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông $A B C$ ) nên

$A H^{4} = B E \cdot C F \cdot B C \cdot A H$ hay $A H^{3} = B E \cdot C F \cdot B C$ .

c) Từ $(3)$ và $(4)$ suy ra $\frac{B H^{2}}{C H^{2}} = \frac{B E \cdot A B}{C F \cdot A C}$ hay $\frac{B E}{C F} = \frac{B H^{2}}{C H^{2}} \cdot \frac{A C}{A B} (5)$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông $A B C$ ta có:

• $A B^{2} = B H \cdot B C$ hay $A B^{4} = B H^{2} \cdot B C^{2}$ ;

• $A C^{2} = C H \cdot B C$ hay $A C^{4} = C H^{2} \cdot B C^{2}$ .

Do đó $\frac{A B^{4}}{A C^{4}} = \frac{B H^{2}}{C H^{2}} (6)$

Từ $(5)$ và $(6)$ suy ra $\frac{A B^{3}}{A C^{3}} = \frac{B E}{C F}$ .

Dạng 3. Chứng minh hệ thức độ dài liên quan đến định lí Thalès và tam giác đồng dạng

Ví dụ 4. Cho tam giác $A B C$ cân tại A nội tiếp đường tròn $(O)$ , $M$ là một điểm bất kỳ thuộc cung nhỏ $A C$ . Tia $A M$ cắt $B C$ tại $N$ . Chứng minh $A B^{2} = A M \cdot A N$ .

Hướng dẫn giải:

Ví dụ 5. Cho hình vuông $A B C D$ nội tiếp đường tròn $(O; R)$ . Gọi $P$ là một điểm trên cung nhỏ $C D$ . Chứng minh $P A + P C = \sqrt{2} \cdot P B .$

Phân tích: $P A + P C = \sqrt{2} \cdot P B$ hay $\frac{P A}{P B} + \frac{P C}{P B} = \sqrt{2} .$

Hướng dẫn giải:

(Ôn thi Toán vào 10) Chứng minh tam giác đồng dạng và hệ thức hình học

Xét $Δ P A K$ và $Δ P B C$ có:

$\hat{P A K} = \hat{P B C}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $C P);$

$\hat{A P K} = \hat{C P B}$ (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau).

Do đó $Δ P A K ∽ Δ P B C (g.g)$ . Suy ra $\frac{P A}{P B} = \frac{A K}{B C} (2) .$

Cộng vế theo vế $(1)$ và $(2)$ , ta được:

$\frac{P A}{P B} + \frac{P C}{P B} = \frac{A K}{B C} + \frac{C K}{A B} = \frac{A K + C K}{A B} = \frac{A C}{A B} = \sqrt{2} .$

Hay: $P A + P C = \sqrt{2} \cdot P B .$

III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ có đường cao $A H (H \in B C) .$

a) Cho BC = 12; CH = 9. Tính số đo $\hat{A B C}$ .

b) Lấy điểm $D$ nằm giữa hai điểm $A$ và $C .$ Kẻ $A K ⊥ B D .$

Chứng minh rằng $B K \cdot B D = B H \cdot B C .$

Bài 2. Cho tam giác $A B C$ vuông tại $A$ . Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác $B A D$ vuông cân tại $B, A C F$ vuông cân tại $C .$ Gọi $H$ là giao điểm của $A B$ và $D C, K$ là giao điểm của $A C$ và $B F .$ Chứng minh:

a) $A H = A K;$

b) $A H^{2} = A K^{2} = H B \cdot K C .$

................................

Xem thử

Xem thêm các chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn Toán năm 2026 có đáp án hay khác:

Để học tốt lớp 10 các môn học sách mới:

HOT Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k)

Các sản phẩm khác của Vietjack:

Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

TÀI LIỆU CLC DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 9

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi file word có đáp án 2026 tại https://tailieugiaovien.com.vn/

Hỗ trợ zalo: VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký: 084 283 45 85

Đề thi vào 10 các sở Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh... 41 tài liệu

Giáo án Word 9 95 tài liệu

Đề thi giữa kì, cuối kì 9 254 tài liệu

Chuyên đề dạy thêm Toán, Lí, Hóa... 9 71 tài liệu

Đề thi HSG 9 8 tài liệu

Bài giảng Powerpoint 9 42 tài liệu

Xem tất cả tài liệu

Công cụ giáo viên (2048.VN)

Tạo- trộn đề thi miễn phí từ file PDF, Word, Giao bài nhanh chóng, Hoàn toàn Free

Tạo đề, số hóa đề thi từ PDF/Word/Excel Nhập đề nhanh, trích xuất nội dung tự động. Trộn đề thành nhiều mã, Download/In đề thi offline Tạo nhiều mã đề khác nhau, xuất file hoặc in dễ dàng. Quản lý lớp học Theo dõi học sinh, điểm số và kết quả học tập trực quan. Giao bài tập, tổ chức thi kiểm tra trực tuyến Giao bài, chấm điểm và thống kê kết quả ngay trên hệ thống.

Khám phá công cụ

Loạt bài Đề thi vào lớp 10 môn Toán (có đáp án) được các Giáo viên hàng đầu biên soạn theo cấu trúc ra đề thi Trắc nghiệm, Tự luận mới giúp bạn ôn luyện và giành được điểm cao trong kì thi vào lớp 10 môn Toán.

Trang trước Trang sau

Đề thi, giáo án lớp 9 sách mới các môn học

Zalo Hỗ trợ trực tuyến 24/7 Tư vấn tài liệu, khóa học VietJack

Dành cho bạn

FREE

Công cụ giáo viên

Tạo đề online từ PDF / Word
Trộn nhiều mã đề, in Offline
Giao bài online, Quản lí lớp học

Khám phá công cụ (2048.VN)

Tiếng Việt

Toán

Tiếng Anh

Bài tập cuối tuần

Tiếng Việt

Đạo đức

Toán

Tiếng Anh

Tự nhiên và xã hội

Hoạt động trải nghiệm

Tiếng Việt

Đạo đức

Toán

Tiếng Anh

Tin học

Công nghệ

Tự nhiên và xã hội

Hoạt động trải nghiệm

Tiếng Việt

Đạo đức

Toán

Tiếng Anh

Khoa học

Lịch Sử & Địa Lí

Tin học

Công nghệ

Hoạt động trải nghiệm

Tiếng Việt

Đạo đức

Toán

Tiếng Anh

Khoa học

Lịch Sử & Địa Lí

Tin học

Công nghệ

Hoạt động trải nghiệm

Ngữ Văn

Toán

Tiếng Anh

Khoa học tự nhiên

Lịch Sử

Địa Lí

GDCD

Tin học

Công nghệ

Ngữ Văn

Toán

Tiếng Anh

Khoa học tự nhiên

Lịch Sử

Địa Lí

GDCD

Tin học

Công nghệ

Ngữ Văn

Toán

Tiếng Anh

Khoa học tự nhiên

Lịch Sử

Địa Lí

GDCD

Tin học

Công nghệ

Ngữ Văn

Toán

Tiếng Anh

Khoa học tự nhiên

Lịch Sử

Địa Lí

GDCD

Tin học

Công nghệ

Ngữ Văn

Tiếng Anh

Toán

Vật Lí

Hóa học

Sinh học

Lịch Sử

Địa Lí