(Ôn thi Toán vào 10) Một số bài toán chứng minh đường thẳng hoặc đường tròn đi qua điểm cố định

Một số bài toán nằm trong bộ Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 đầy đủ lý thuyết và bài tập đa dạng có lời giải chi tiết giúp học sinh có thêm tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán.

(Ôn thi Toán vào 10) Một số bài toán chứng minh đường thẳng hoặc đường tròn đi qua điểm cố định

Xem thử

Chỉ từ 500k mua trọn bộ 12 Chuyên đề ôn thi Toán vào lớp 10 năm 2025 theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án

I. VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1. Cho ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng theo thứ tự đó. Vẽ tia $Cx$ vuông góc với $AB.$ Trên tia $Cx$ lấy hai điểm $D,E$ sao cho $\frac{CE}{CB}=\frac{CA}{CD}=\sqrt{3}.$ Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADC$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $BEC$ tại $H$ khác $C.$ Chứng minh rằng đường thẳng $HC$ luôn đi qua một điểm cố định khi $C$ di chuyển trên đoạn thẳng $AB.$

Phân tích:

• Khi $C$ trùng $A$ thì $\left(d\right)$ tạo với $AB$ một góc $30°,$ suy ra điểm cố định thuộc tia $Az$ tạo với tia $AB$ một góc $30°.$

• Khi $By$ và $Az$ cắt nhau tại $M$ thì ta nhận xét sự cố định của điểm $M.$

Hướng dẫn giải:

Ta có $\tan D=\frac{CA}{CD}=\sqrt{3}$nên $\hat{D}=60°.$Ta lại có $\widehat{CHA}=\widehat{CDA}=60°.$

Gọi giao điểm của đường tròn đường kính $AB$ với $CH$ là $M.$ Ta có $\widehat{MHA}=60°.$

Ta có $\text{sđ}\stackrel{⏜}{AM}=2\widehat{MCA}=2\widehat{CHA}=2\widehat{CDA}=120°$nên số đo cung $MA$không đổi.

Lại có đường tròn đường kính $AB$cố định nên $M$cố định, do đó $CH$luôn qua $M$cố định.

Ví dụ 2. Cho 3 điểm $A,B,C$ cố định, thẳng hàng theo thứ tự đó. Đường tròn tâm $\left(O\right)$thay đổi nhưng luôn đi qua $A,B.$Vẽ đường kính $PQ$vuông góc với $AB$ $(Q$trên cung nhỏ $AB),$đường thẳng $CP$cắt đường tròn tại điểm thứ hai $I.$Chứng minh đường thẳng $QI$luôn đi qua một điểm cố định khi $\left(O\right)$thay đổi.

Phân tích:

Hướng dẫn giải:

⦁ Xét $\Delta CPB$ và $\Delta CAI$ có:

$\hat{C}$là góc chung, $\widehat{CPB}=\widehat{CAI}$(hai góc nội tiếp $\left(O\right)$cùng chắn $\stackrel{⏜}{IB}).$

Do đó $\Delta CPB\backsim \Delta CAI$ (g.g) suy ra $\frac{CP}{CA}=\frac{CB}{CI}$ nên $CP\cdot CI=CA\cdot CB\left(1\right)$

⦁ Gọi $D$ là giao điểm của $AB$ và $PQ.$

Ta có $\widehat{PIQ}=90°$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên $\widehat{PIK}+\widehat{PDK}=90°+90°=180°.$

Do đó tứ giác $DPIK$ nội tiếp nên $\widehat{K_1}=\widehat{IPD}.$

Xét $\Delta CPD$ và $\Delta CKI$ có: $\hat{C}$là góc chung, $\widehat{K_1}=\widehat{CPD}$.

Do đó $\Delta CPD\backsim \Delta CKI$ (g.g) suy ra $\frac{CP}{CD}=\frac{CK}{CI}$ nên $CP\cdot CI=CD\cdot CK\left(2\right)$

⦁ Từ $\left(1\right)$ và $\left(2\right)$ ta có: $CD\cdot CK=CA\cdot CB$ không đổi do $A,B,C$cố định.

Mặt khác, đường kính $PQ$vuông góc dây $AB$ nên $D$ là trung điểm của $AB,$ mà $A,B$ cố định nên $D$ là điểm cố định.

Do đó ta có $CK=\frac{CA\cdot CB}{CD}$ không đổi.

Mà $C$ cố định nên $K$ trên đường thẳng $CD$ cố định.

Vậy đường thẳng $QI$ luôn đi qua một điểm cố định khi $\left(O\right)$ thay đổi.

Ví dụ 3. Cho ba điểm $A,B,C$ cố định thẳng hàng theo thứ tự đó. Vẽ đường tròn $\left(O;R\right)$ bất kỳ đi qua $B$ và $C\left(BC\ne 2R\right).$Từ $A$ kẻ các tiếp tuyến $AM,AN$ đến $\left(O\right)$, $(M,N$ là tiếp điểm). Gọi $I,K$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $MN;$ $MN$ cắt $BC$ tại $D.$Chứng minh rằng khi đường tròn $\left(O\right)$ thay đổi, tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta OID$ luôn thuộc một đường cố định.

⦁Với giả thiết ta thấy $OKDI$ nội tiếp nên nghĩ đến phương tích của điểm $A$ với đường tròn ngoại tiếp $\left(OKDI\right)$ ta có:

$AD\cdot AI=AK\cdot AO.$

Lại có $AK\cdot AO=A{M}^2$ (hệ thức lượng) và $A{M}^2=AB\cdot AC$ (phương tích điểm $A$với $\left(O\right))$ nên $AD\cdot AI=AB\cdot AC$ không đổi nên $D$ cố định.

Hướng dẫn giải:

⦁ $AM,AN$ là tiếp tuyến của $\left(O\right)$ nên $\widehat{AMO}=90°$ và $AM=AN.$

Lại có $OM=ON$ nên $OA$ là đường trung trực của $MN.$

Vì $K$ là trung điểm của $MN$ nên $K$ nằm trên đường trung trực của $MN,$ do đó $A,K,O$ thẳng hàng và $MN\perp OK.$

Vì $I$ là trung điểm dây $BC$ cố định nên $OI\perp BC$ và điểm $I$ cố định.

⦁ Xét $\Delta AKD$ và $\Delta AIO$có: $\widehat{AKD}=\widehat{AIO}=90°$ và $\widehat{OAI}$ là góc chung.

Do đó $\Delta AKD\backsim \Delta AIO$ (g.g) suy ra $\frac{AK}{AI}=\frac{AD}{AO}$ nên $AK\cdot AO=AI\cdot AD\left(1\right)$

⦁ Xét $\Delta AMK$ và $\Delta AOM$ có: $\widehat{AKM}=\widehat{AMO}=90°$ và  $\widehat{OAM}$  là góc chung.

Do đó $\Delta AMK\backsim \Delta AOM$ (g.g) suy ra $\frac{AM}{AO}=\frac{AK}{AM}$ hay $AK\cdot AO=A{M}^2.\left(2\right)$

⦁ Xét $\Delta ABM$ và $\Delta AMC$có: $\widehat{MAC}$  là góc chung, $\widehat{AMB}=\widehat{ACM}=\frac{1}{2}\text{sđ}\stackrel{⏜}{BM}.$

Do đó $\Delta ABM\backsim \Delta AMC$ (g.g) suy ra $\frac{AB}{AM}=\frac{AM}{AC}$ nên $A{M}^2=AB\cdot AC.\left(3\right)$

Từ $\left(1\right),\left(2\right),\left(3\right)$ ta có: $AD\cdot AI=AB\cdot AC$ nên $AD=\frac{AB\cdot AC}{AI}$(không đổi).

Do đó điểm $D$ cố định, nên tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta OID$ thuộc trung trực của đoạn thẳng $DI$ cố định.

II. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1. Cho góc vuông $xAy,$ điểm $B$ cố định trên $Ay,$ điểm $C$ di chuyển trên $Ax.$ Đường tròn tâm $I$ nội tiếp tam giác $ABC$ tiếp xúc với $AC,BC$ theo thứ tự ở $M,N.$ Chứng minh rằng đường thẳng $MN$ luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 2. Cho đường tròn $\left(O;R\right)$ và đường thẳng $d$ cắt $\left(O\right)$ tại $C,D.$ Một điểm $M$ di động trên $d$ sao cho $MC>MD$ và ở ngoài đường tròn $\left(O\right)$. Qua $M$ kẻ hai tiếp tuyến $MA$ và $MB$ (với $A,B$ là các tiếp điểm). Chứng minh đường thẳng $AB$ đi qua điểm cố định.

................................

................................

................................

Xem thử

Xem thêm các chuyên đề ôn thi vào lớp 10 môn Toán năm 2025 có đáp án hay khác:

• (Ôn thi Toán vào 10) Tổng hợp kiến thức hình học cơ bản

• (Ôn thi Toán vào 10) Chứng minh tam giác đồng dạng và hệ thức hình học

• (Ôn thi Toán vào 10) Chứng minh điểm thuộc đường tròn, tứ giác nội tiếp

• (Ôn thi Toán vào 10) Chứng minh quan hệ song song

• (Ôn thi Toán vào 10) Chứng minh vuông góc

• (Ôn thi Toán vào 10) Bài toán về đường cao và phân giác của tam giác nội tiếp đường tròn

• (Ôn thi Toán vào 10) Tiếp tuyến và một số bài toán liên quan

• (Ôn thi Toán vào 10) Bài toán chứng minh thẳng hàng, đồng quy

• (Ôn thi Toán vào 10) Một số bài toán về cực trị hình học

• (Ôn thi Toán vào 10) Một số dạng toán khác trong Hình học phẳng

• (Ôn thi Toán vào 10) Độ dài cung tròn, diện tích hình quạt tròn, diện tích hình vành khuyên

• (Ôn thi Toán vào 10) Bài tập tổng hợp Hình học phẳng

Để học tốt lớp 10 các môn học sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---