(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Cấp số cộng

Chủ đề Cấp số cộng trong tài liệu ôn thi Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy theo cấu trúc mới nhất đầy đủ lý thuyết trọng tâm, các dạng bài & bài tập đa dạng từ cơ bản đến nâng cao giúp Giáo viên & học sinh có thêm tài liệu ôn thi ĐGNL HSA, VACT và ĐGTD TSA đạt kết quả cao.

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Cấp số cộng

Xem thử Tài liệu & Đề thi HSA Xem thử Tài liệu & Đề thi VACT Xem thử Tài liệu & Đề thi TSA Xem thử Tài liệu & Đề thi SPT

Chỉ từ 200k mua trọn bộ Đề thi & Tài liệu ôn thi ĐGNL - ĐGTD năm 2025 của các trường theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận đề thi

I. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ

1. Định nghĩa

Dãy số (u_n) là cấp số cộng nếu u_n = u_n-1 + d với n ≥ 2, d là số không đổi.

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng, ta có d = u_n - u_n-1 với n ≥ 2.

Nếu d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi. 

2. Tính chất

Nếu (u_n) là một cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng (trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, tức là $u_k=\frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}$.

Hệ quả: Ba số a, b, c (theo thứ tự đó) lập thành một cấp số cộng ⇔ a + c = 2b.

3. Số hạng tổng quát

Nếu một cấp số cộng có số hạng đầu u₁ và công sai d thì số hạng tổng quát u_n của nó được xác định bởi công thức: u_n = u₁ + (n-1)d.

4. Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng

Giả sử (u_n) là một cấp số cộng có công sai d.

Gọi $S_n=\sum _{k=1}^n{u}_k=u_1+u_2+\dots +u_n$.

Ta có $S_n=\frac{n\left(u_1+u_n\right)}{2}=\frac{n\left[2u_1+\left(n-1\right)d\right]}{2}$.

II. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Dạng toán: Nhận dạng một dãy số là cấp số cộng

1.1. Phương pháp giải

Để chứng minh dãy số (u_n) là một cấp số cộng, ta xét d = u_n+1 - u_n

- Nếu d là hằng số thì (u_n) là một cấp số cộng với công sai d.

- Nếu d phụ thuộc vào n thì (u_n) không là cấp số cộng.

1.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Dãy số nào dưới đây là cấp số cộng?

A. $u_n=n+2^n,\left(n\in {\mathbb{N}}^{*}\right)$.

B. $u_n=3n+\mathrm{1,}\left(n\in {\mathbb{N}}^{*}\right)$.

C. $u_n=3^n,\left(n\in {\mathbb{N}}^{*}\right)$.

D. $u_n=\frac{3n+1}{n+2},\left(n\in {\mathbb{N}}^{*}\right)$.

Hướng dẫn giải

Với dãy số $u_n=n+2^n,\left(n\in {\mathbb{N}}^{*}\right)$, xét hiệu: u_n+1 - u_n = n + 1 + 2ⁿ⁺¹ - n - 2 = 2ⁿ + 1, (n ∈ ℕ*) thay đổi theo n nên u_n = n + 2ⁿ, (n ∈ ℕ*) không là cấp số cộng. (A loại)

Với dãy số $u_n=3n+\mathrm{1,}\left(n\in {\mathbb{N}}^{*}\right)$, xét hiệu: u_n+1 - u_n = 3(n + 1) + 1 - 3n - 1 = 3, (n ∈ ℕ*) là hằng số nên u_n = 3n + 1, (n ∈ ℕ*) là cấp số cộng. (B đúng)

Với dãy số $u_n=3^n,\left(n\in {\mathbb{N}}^{*}\right)$, xét hiệu: u_n+1 - u_n = 3ⁿ⁺¹ - 3ⁿ = 2.3ⁿ, (n ∈ ℕ*) thay đổi theo n nên u_n = 3ⁿ, (n ∈ ℕ*) không là cấp số cộng. (C loại)

Với dãy số $u_n=\frac{3n+1}{n+2},\left(n\in {\mathbb{N}}^{*}\right)$, xét hiệu: $u_{n+1}-u_n=\frac{3\left(n+1\right)+1}{n+1+2}-\frac{3n+1}{n+2}$ = $\frac{5}{\left(n+2\right)\left(n+3\right)}$, (n ∈ ℕ*) thay đổi theo n nên $u_n=\frac{3n+1}{n+2},\left(n\in {\mathbb{N}}^{*}\right)$ không là cấp số cộng. (D loại)

Chọn B.

Ví dụ 2. Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng?

A. u_n = 3n² + 2017.

B. u_n = 3n + 2018.

C. u_n = 3n + 2017

D. u_n = (-3)ⁿ⁺¹.

Hướng dẫn giải

Xét dãy số u_n = 3n + 2018, ta có u_n+1 - u_n = 3(n + 1) + 2018 - (3n + 2018) = 3 ⇔ u_n+1 = u_n + 3.

Vậy dãy số trên là cấp số cộng có công sa d = 3. Chọn B.

2. Dạng toán 2: Tìm số hạng đầu tiên, số hạng tổng quát, công sai và tính tổng n số hạng đầu tiên

2.1. Phương pháp giải

Cần lưu ý:

• Định nghĩa: (u_n) là cấp số cộng ⇔ $u_{n+1}=u_n+d,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$ (d: công sai).

• Số hạng tổng quát: u_n = u₁ + (n - 1)d với n ≥ 2.

• Tính chất các số hạng: $u_k=\frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}$ với k ≥ 2.

• Tổng n số hạng đầu tiên: S_n = u₁ + u₂ + ... + u_n = $\frac{n\left(u_1+u_n\right)}{2}=\frac{n\left[2u_1+\left(n-1\right)d\right]}{2}$.

2.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Tìm số hạng đầu tiên, công sai, số hạng thứ 50 và tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng (u_n) sau, biết rằng: $\left\{\begin{array}{l}{u}_5=19\\ u_9=35\end{array}\right.$.

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức u_n = u₁ + (n - 1)d, ta có: $\left\{\begin{array}{l}{u}_5=19\\ u_9=35\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1+4d=19\\ u_1+8d=35\end{array}\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1=3\\ d=4\end{array}\right.\right.\right.$.

Vậy số hạng đầu tiên u₁ = 3, công sai d = 4.

Số hạng thứ 50: u₅₀ = u₁ + 49d = 3 + 49.4 = 199.

Tổng của 20 số hạng đầu tiên: $S_{50}=\frac{20\left(2u_1+49d\right)}{2}$ = 10(2.3 + 49.4) = 2020.

Ví dụ 2. Cho cấp số cộng (u_n) biết u_n = 9 - 5n. Tìm S₁₀₀.

Hướng dẫn giải

3. Dạng toán 3: Ứng dụng cấp số cộng vào chứng minh đẳng thức, giải phương trình

3.1. Phương pháp giải

Áp dụng tính chất: Ba số a, b, c (theo thứ tự đó) lập thành một cấp số cộng ⇔ a + c = 2b.

3.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Cho a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, chứng minh rằng:

a) a² + 2bc = c² + 2ab.

b) a² + 8bc = (2b + c)².

Hướng dẫn giải

a) Vì a, b, c là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng: a + c ⇔ a = 2b - c.

Ta có a² - 2ab = a² - a(a + c) = -ac = -c(2b - c) = c² - 2bc.    

Vậy a² - 2ab = c² - 2bc ⇔ a² + 2bc = c² + 2ab.

b) Ta có a² + 8bc = (2b + c)² + 8bc = 4b² - 4bc + c² + 8bc = 4b² + 4bc + c² = (2b + c)².

Ví dụ 2. Tìm giá trị m để phương trình (x² + 2x - 3)(x - 2m) = 0 có 3 nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng có công sai lớn hơn 2.

Hướng dẫn giải

Ta có: (x² + 2x - 3)(x - 2m) = 0 ⇔ $\left[\begin{array}{l}x=1\\ x=-3\\ x=2m\end{array}\right.$.

Ba nghiệm này lập thành một cấp số cộng có công sai lớn hơn 2 nên có 3 trường hợp:

TH1: Ba nghiệm thứ tự là -3;1;2m. Suy ra $d=4;m=\frac{5}{2}$ (thỏa mãn).

TH2: Ba nghiệm thứ tự -3;2m;1. Suy ra $d=2;m=-\frac{1}{2}$ (loại).

TH3: Ba nghiệm thứ tự 2m;-3;1. Suy ra $d=4;m=-\frac{7}{2}$ (thỏa mãn).

Ví dụ 3. Tìm m để phương trình x⁴ - 20x² + (m - 1)² = 0 có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.

Hướng dẫn giải

Đặt $t=x^2,t\ge 0$. Phương trình trở thành: $t^2-20t+{\left(m-1\right)}^2=0$ (1).

III. CÂU HỎI VẬN DỤNG

Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn

Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án đúng nhất.

Câu 1. Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn $\left\{\begin{array}{l}{u}_7-u_3=8\\ u_2\cdot u_7=75\end{array}\right.$. Tìm u₁, d?

     A. $\left\{\begin{array}{l}d=2\\ u_1=\mathrm{2,}{u}_1=-17\end{array}\right.$.

     B. $\left\{\begin{array}{l}d=2\\ u_1=\mathrm{3,}{u}_1=-7\end{array}\right.$.

     C. $\left\{\begin{array}{l}d=2\\ u_1=-\mathrm{3,}{u}_1=-17\end{array}\right.$.

     D. $\left\{\begin{array}{l}d=2\\ u_1=\mathrm{3,}{u}_1=-17\end{array}\right.$.

Câu 2. Một cấp số cộng có u₃ = -15 và u₁₄ = 18. Tổng của 50 số hạng đầu của cấp số cộng này là

     A. 2 025.

     B. 2 425.

     C. 2 225.

     D. 2 625.

Câu 3. Viết ba số xen giữa các số 2 và 22 để được cấp số cộng có 5 số hạng.

     A. 8; 13; 18.

     B. 6; 12; 18.

     C. 7; 12; 17.

     D. 6; 10; 14.

Câu 4. Một tam giác vuông có chu vi bằng 3 và độ dài các cạnh lập thành một cấp số cộng. Độ dài các cạnh của tam giác đó là:

     A. $\frac{1}{4};1;\frac{7}{4}$.

     B. $\frac{3}{4};1;\frac{5}{4}$.

     C. $\frac{1}{2};1;\frac{3}{2}$.

     D. $\frac{1}{3};1;\frac{5}{3}$.

Câu 5. Tìm m để 3 số: 4; 5m + 1; 32 - 7m theo thứ tự lập thành cấp số cộng.

     A. m = 2.

     B. m = 11.

     C. m = 1.

     D. m = -2.

Câu 6. Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn $u_1+u_{2020}=\mathrm{2,}{u}_{1001}+u_{1021}=1$. Tính $u_1+u_2+\dots +u_{2021}$.

     A. $\frac{2021}{2}$.

     B. 2021.

     C. 1010.

     D. 2020.

Câu 7. Cho cấp số cộng (u_n) thỏa mãn $\left\{\begin{array}{l}{u}_2+u_5-u_3=10\\ u_1+u_6=17\end{array}\right.$. Tính $S=u_2+u_5+u_8+\dots +u_{2021}$.

     A. 2 043 230.

     B. 2 043 905.

     C. 2 042 220.

     D. 2 043 231.

Câu 8. Cho ba số dương a, b, c lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng?

     A. a² - c² = 2ab + 2bc - 2ac.

     B. a² + c² = 2ab + 2bc + 2ac.

     C. a² + c² = 2ab + 2bc - 2ac.

     D. a² - c² = 2ab - 2bc + 2ac.

Câu 9. Cho cấp số cộng (u_n) với số hạng đầu là u₁ = -2017 và công sai d = 3. Bắt đầu từ số hạng nào trở đi mà các số hạng của cấp số cộng đều nhận giá trị dương?

     A. u₆₇₅.

     B. u₆₇₃.

     C. u₆₇₄.

     D. u₆₇₂.

Câu 10. Người ta trồng 465 cây trong một khu vườn hình tam giác như sau: hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ hai có 2 cây, hàng thứ ba có 3 câu, ... Số hàng cây trong khu vườn là

     A. 30.

     B. 31.

     C. 29.

     D. 28.

................................

................................

................................

Dạng 2. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 16. Sinh nhật bạn của An vào ngày 01 tháng năm. An muốn mua một món quà sinh nhật cho bạn nên quyết định bỏ ống heo 100 đồng vào ngày 01 tháng 01 năm 2016, sau đó cứ liên tục ngày sau hơn ngày trước 100 đồng. Hỏi đến ngày sinh nhật của bạn, An đã tích lũy được bao nhiêu tiền? (thời gian bỏ ống heo tính từ ngày 01 tháng 01 năm 2016 đến ngày 30 tháng 4 năm 2016).

Điền đáp án

Câu 17. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số A để phương trình $x^4+2(2a+1)x^2-3a=0$ có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.

Điền đáp án

................................

................................

................................

Dạng 3. Câu trắc nghiệm đúng sai

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thi sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 19. Cho dãy số (u_n) có $u_n=\frac{2n^2-1}{3}$.

a) (u_n) không phải là một cấp số cộng.

b) (u_n) là cấp số cộng có $u_1=\frac{1}{3};d=\frac{2}{3}$.

c) Số hạng thứ n + 1 của dãy là: $u_{n+1}=\frac{2{\left(n+1\right)}^2-1}{3}$.

d) Hiệu $u_{n+1}-u_n=\frac{2\left(2n+1\right)}{3}$.

................................

................................

................................

Xem thử Tài liệu & Đề thi HSA Xem thử Tài liệu & Đề thi VACT Xem thử Tài liệu & Đề thi TSA Xem thử Tài liệu & Đề thi SPT

Xem thêm tài liệu ôn thi đánh giá năng lực HSA, VACT, đánh giá tư duy TSA hay khác:

• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Tập hợp
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Đại số tổ hợp
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Giới hạn. Hàm số liên tục
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Lũy thừa - Mũ - Logarit

---