(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Cấp số nhân

Chủ đề Cấp số nhân trong tài liệu ôn thi Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy theo cấu trúc mới nhất đầy đủ lý thuyết trọng tâm, các dạng bài & bài tập đa dạng từ cơ bản đến nâng cao giúp Giáo viên & học sinh có thêm tài liệu ôn thi ĐGNL HSA, VACT và ĐGTD TSA đạt kết quả cao.

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Cấp số nhân

Xem thử Tài liệu & Đề thi HSA Xem thử Tài liệu & Đề thi VACT Xem thử Tài liệu & Đề thi TSA Xem thử Tài liệu & Đề thi SPT

Chỉ từ 200k mua trọn bộ Đề thi & Tài liệu ôn thi ĐGNL - ĐGTD năm 2025 của các trường theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận đề thi

I. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ

1. Định nghĩa

Dãy số (u_n) là cấp số nhân nếu u_n = u_n-1.q với n ≥ 2, q là số không đổi.

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân. Nếu u_n ≠ 0 với mọi n ∈ ℕ* thì $q=\frac{u_n}{u_{n-1}}$ với n ≥ 2.

Đặc biệt:

- Khi q = 0, cấp số nhân có dạng u₁, 0, 0, ..., 0, ...

- Khi q = 1, cấp số nhân có dạng u₁, u₁, u₁, ..., u₁, ...

- Khi u₁ = 0 thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0, 0, 0, ..., 0, ...

2. Số hạng tổng quát

Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u₁ và công bội q thì số hạng tổng quát u_n được xác định bởi công thức u_n = u₁.q^n-1 với n ≥ 2.

3. Tính chất

Trong một cấp số nhân, bình phương của mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích của hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là $u_k^2=u_{k-1}\cdot u_{k+1}$ với k ≥ 2.

Hệ quả: Ba số a, b, c theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân ⇔ ac = b².

4. Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân

Cho cấp số nhân (u_n) có số hạng đầu u₁ và công bội q (q ≠ 1). Đặt $S_n=u_1+u_2+\mathrm{...}+u_n$, ta có:

$S_n=\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}$.

Lưu ý: Nếu q = 1 thì cấp số nhân là u₁, u₁, u₁, ..., u₁, ... khi đó S_n = nu₁.

II. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Dạng toán: Nhận dạng một dãy số là cấp số nhân

1.1. Phương pháp giải

Để chứng minh một dãy số là cấp số nhân:

• Nếu $u_n\ne \mathrm{0,}\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$ thì ta lập tỉ số $\frac{u_{n+1}}{u_n}=k$:

+) k là hằng số thì (u_n) là cấp số nhân có công bội q = k.

+) k phụ thuộc vào n thì (u_n) không là cấp số nhân.

• Để chứng minh dãy (u_n) không phải là cấp số nhân, ta chỉ cần chỉ ra ba số hạng liên tiếp không tạo thành cấp số nhân, chẳng hạn $\frac{u_3}{u_2}\ne \frac{u_2}{u_1}$.

• Để chứng minh a, b, c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân, ta chứng minh: ac = b² hoặc $\left|b\right|=\sqrt{ac}$.

1.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Trong các dãy số (u_n) sau, dãy nào là cấp số nhân?

A. $u_n=n^2+n+1$.

B. $u_n=\left(n+2\right){.3}^n$.

C. $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=2\\ u_{n+1}=\frac{6}{u_n},\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}\end{array}\right.$.

D. $u_n={\left(-4\right)}^{2n+1}$.

Hướng dẫn giải

Xét từng đáp án:

Đáp án A: $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{n^2+3n+3}{n^2+n+1},\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$, không phải là hằng số. Vậy (u_n) không phải là cấp số nhân.

Đáp án B: $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{\left(n+3\right){.3}^{n+1}}{\left(n+2\right){.3}^n}$ = $\frac{3\left(n+3\right)}{n+2},\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$, không phải là hằng số. Vậy (u_n) không phải là cấp số nhân.

Đáp án C: Từ công thức truy hồi của dãy số, suy ra u₁ = 2; u₂ = 3; u₃ = 2; u₄ = 3;...

Vì $\frac{u_3}{u_2}\ne \frac{u_2}{u_1}$ nên (u_n) không phải là cấp số nhân.

Đáp án D: $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{{\left(-4\right)}^{2\left(n+1\right)+1}}{{\left(-4\right)}^{2n+1}}=\mathrm{16,}\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$. Vậy (u_n) là một cấp số nhân.

Chọn D.

Ví dụ 2. Trong các dãy số (u_n) cho bởi số hạng tổng quát u_n sau, dãy số nào là một cấp số nhân?

A. u_n = 7 - 3n.

B. u_n = 7 - 3ⁿ.

C. u_n = $\frac{7}{3n}$.

D. u_n = 7.3ⁿ.

Hướng dẫn giải

Dãy u_n = 7.3ⁿ là cấp số nhân có $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=21\\ q=3\end{array}\right.$. Chọn B.

2. Dạng toán 2: Tìm số hạng đầu tiên, số hạng tổng quát, công bội và tính tổng n số hạng đầu tiên

2.1. Phương pháp giải

Cần lưu ý:

• Định nghĩa: (u_n) là cấp số nhân ⇔ u_n+1 = u_n.q với n ∈ ℕ* (q: công bội).

• Số hạng tổng quát: u_n = u₁.q^n-1 với n ≥ 2.

• Tính chất các số hạng: $u_k^2=u_{k-1}\cdot u_{k+1}$ với k ≥ 2.

• Tổng n số hạng đầu tiên: $\left[\begin{array}{l}{S}_n=n{u}_1\text{\hspace{1em} \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}khi }q=1\\ S_n=\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}khi\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}q\ne 1\end{array}\right.$.

2.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Cho cấp số nhân (u_n) có công bội nguyên và các số hạng thỏa mãn $\left\{\begin{array}{l}{u}_2+u_4=10\\ u_1+u_3+u_5=-21\end{array}\right.$.

a) Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân.

b) Hỏi tổng bao nhiêu số hạng đầu tiên bằng 1365?

c) Số 4096 là số hạng thứ mấy?

Hướng dẫn giải

b) Ta có

Vậy tổng của 12 số hạng đầu tiên bằng 1365.

Vậy số 4096 là số hạng thứ 13.

Ví dụ 2. Tính các tổng sau:

a) $S_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\cdots +\frac{1}{2^n}$.

b) $S_n={\left(3+\frac{1}{3}\right)}^2+{\left(9+\frac{1}{9}\right)}^2+\cdots +{\left(3^n+\frac{1}{3^n}\right)}^2$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có dãy số $\frac{1}{2},\frac{1}{2^2},\frac{1}{2^3},\cdots ,\frac{1}{2^n}$ là một cấp số nhân với n số hạng, có số hạng đầu $u_1=\frac{1}{2}$và công bội $q=\frac{\frac{1}{2^2}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}$. Do đó

Dãy số $3^2{\mathrm{,3}}^4,\cdots {\mathrm{,3}}^{2n}$ là cấp số nhân với n số hạng, có số hạng đầu u₁ = 3² và công bội $q=\frac{3^4}{3^2}=9$.

Ví dụ 3. Tính tồng sau: $S_n=1+11+111+\cdots +\underset{n\text{ so 1 }}{\underbrace{111\dots 1}}$.

Hướng dẫn giải

Ví dụ 4. Tìm m để phương trình x³ - (2m + 1)x² + 14x - 8 = 0 có ba nghiệm lập thành cấp số nhân.

Hướng dẫn giải

Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân, khi đó:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1{x}_3={\left(x_2\right)}^2\\ x_1{x}_2{x}_3=8\end{array}\right.$ => (x₂)³ = 8 => x₂ = 2.

Thay vào phương trình ta có: m = 3.

Thay m = 3 vào phương trình ta thấy phương trình có 3 nghiệm: x₁ = 1, x₂ = 2, x₃ = 4.

Vậy m = 3 là giá trị cần tìm.

3. Dạng toán 3: Ứng dụng cấp số nhân vào chứng minh đẳng thức, giải phương trình

3.1. Phương pháp giải

• Ba số a, b, c theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng ⇔ ac = b².

• Tổng của n số hạng đầu tiên: $\left[\begin{array}{l}{S}_n=n{u}_1\text{\hspace{1em} khi }q=1\\ S_n=\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}\end{array}\right.$ khi q ≠ 1.

• Nếu $S_n=u_1+u_2+\dots +u_n$ là tổng của một cấp số nhân lùi thì ta có: $S_n=\frac{u_1}{1-q}$.

3.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Số đo bốn góc của một tứ giác lập thành cấp số nhân và góc cuối gấp 9 lần góc thứ hai. Tìm số đo của góc thứ nhất.

Hướng dẫn giải

Gọi A, B, C, D theo thứ tự đó là số đo các góc của tứ giác lập thành cấp số nhân với công bội q.

=> B = Aq; C = Aq²; D = Aq³.

Theo đề bài ta có: D = 9B ⇔ Aq³ = 9Aq ⇔ q² = 9 ⇔ q = ±3.

Với q = -1 => B = -3A < 0 nên loại.

Với q = 3 ta có A + B + C + D = 360° ⇔ A = 3A + 9A + 27A = 360° ⇔ A = ⇔ 9°.

Ví dụ 2. Từ độ cao 55,8m của tháp nghiêng Pisa nước Italia người ta thả một quả bóng cao su chạm xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng $\frac{1}{10}$ độ cao mà quả bóng đạt trước đó. Tính tổng độ dài hành trình của quả bóng được thả từ lúc ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất.

Hướng dẫn giải

Gọi h_n là độ dài đường đi của quả bóng ở lần rơi xuống thứ n(n ∈ ℕ*).

Gọi l_n là độ dài đường đi của quả bóng ở lần nảy lên thứ n(n ∈ ℕ*).

Theo bài ra ta có $h_1=\mathrm{55,8,}{l}_1=\frac{1}{10}\cdot \mathrm{55,8}=\mathrm{5,58}$ và các dãy số (h_n),(l_n) là các cấp số nhân lùi vô hạn với công bội $q=\frac{1}{10}$.

Suy ra tổng độ dài đường đi của quả bóng là: S = $\frac{h_1}{1-\frac{1}{10}}+\frac{l_1}{1-\frac{1}{10}}=\frac{10}{9}\left(h_1+l_1\right)$ = 68,2 (m).

Ví dụ 3. Cho hình vuông C₁ có cạnh bằng 1, C₂ là hình vuông có các đỉnh là các trung điểm của cạnh hình vuông C₁. Tương tự, gọi C₃ là hình vuông có các đỉnh là trung điểm của các cạnh hình vuông C₂. Tiếp tục như vậy ta được một dãy các hình vuông C₁, C₂, C₃,..., C_n,... Tính tổng diện tích của 10 hình vuông đầu tiên của dãy.

Hướng dẫn giải

Diện tích của hình vuông C₁ là 1.

Hình vuông C₂ có cạnh bằng $\frac{1}{2}$ đường chéo hình vuông C₁ là $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

=> Diện tích của hình vuông C₂  là ${\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2$.

Hình vuông C₃ có cạnh bằng $\frac{1}{2}$ đường chéo hình vuông C₂  là ${\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2$.

=> Diện tích của hình vuông C₃ là ${\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^4$.

Hình vuông C_n có cạnh bằng $\frac{1}{2}$ đường chéo hình vuông C_n-1 là ${\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^{n-1}$.

=> Diện tích của hình vuông C_n là ${\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^{2(n-1)}$.

Do đó, dãy diện các hình vuông C₁, C₂, C₃,..., C_n,... lập thành cấp số nhân với số hạng đầu

$u_1=\mathrm{1,}q={\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2=\frac{1}{2}$ => $S_{10}=u_1\cdot \frac{q^{10}-1}{q-1}=\frac{1023}{512}$.

III. CÂU HỎI VẬN DỤNG

Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn

Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án đúng nhất.

Câu 1. Cho cấp số nhân (u_n) có $u_n=24;\frac{u_4}{u_{11}}=16384$. Số hạng thứ 17 là

A. $\frac{3}{67108864}$.

B. $\frac{3}{268435456}$.

C. $\frac{3}{536870912}$.

D. $\frac{3}{214783648}$.

Câu 2. Ba số 2x, 3x + 3,5x + 5 theo thứ tự là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân. Biết x ≠ -1, số hạng tiếp theo của cấp số nhân đó là

A. $-\frac{250}{3}$.

B. $\frac{250}{3}$.

C. 250.

D. -250.

Câu 3. Ba số x, y, z theo thứ tự lập thành một cấp số nhân với công bội q khác 1; đồng thời các số x, 2y, 3z theo thứ tự lập thành một cấp số cộng với công sai khác 0. Tìm q.

A. $q=\frac{1}{3}$.

B. $q=\frac{1}{9}$.

C. $q=-\frac{1}{3}$.

D. q = -3.

Câu 4. Tính x theo a, b, c nếu ba số x + a; x + b; x + c lập thành cấp số nhân.

A. $x=\frac{a^2-bc}{2a-b-c}$.

B. $x=\frac{c^2-ab}{a+b-2c}$.

C. $x=\frac{b^2-ac}{a-2b+c}$.

D. $x=\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c}$.

Câu 5. Cho cấp số nhân (u_n) biết $\left\{\begin{array}{l}{u}_1+u_2+u_3=31\\ u_1+u_3=26\end{array}\right.$. Giá trị u₁ và q là

A. u₁ = 2; q = 5 hoặc u₁ = 25 q = $\frac{1}{5}$.

B. u₁ = 5; q = 1 hoặc u₁ = 25 q = $\frac{1}{5}$.

C. u₁ = 25; q = 5 hoặc u₁ = 1 q = $\frac{1}{5}$.

D. u₁ = 1; q = 5 hoặc u₁ = 25 q = $\frac{1}{5}$.

Câu 6. Cho cấp số nhân có công bội q > 1 và $\left\{\begin{array}{l}{u}_1+u_3=3\\ u_1^2+u_3^2=5\end{array}\right.$. Tổng 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân là

A. $S_{10}=\frac{31\left(2+\sqrt{2}\right)}{16}$.

B. $S_{10}=31\left(1-\sqrt{2}\right)$.

C. $S_{10}=31\left(\sqrt{2}+1\right)$.

D. $S_{10}=31\left(\sqrt{2}-1\right)$.

Câu 7. Cho hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+y+z=a+4\\ 2x-y+2z=2a+2\\ 3x+2y-3z=1-2a\end{array}\right.$. Có bao nhiêu giá trị dương của A để x, y, z lập thành một cấp số nhân.

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Câu 8. Ba số a, b, c theo thứ tự là số hạng thứ nhất, số hạng thứ hai và số hạng thứ ba của một cấp số nhân, đồng thời cũng lần lượt là số hạng thứ nhất, số hạng thứ hai và số hạng thứ tư của một cấp số cộng có công sai bằng 10. Tìm a.

A. a = 5.

B. a = $\frac{10}{3}$.

C. a = 10.

D. a = $-\frac{10}{3}$.

Câu 9. Cho ba số $\frac{\sin \alpha }{6},\cos \alpha ,\tan \alpha$ lập thành một cấp số nhân, với $-\frac{\pi }{2}\le \alpha \le 0$. Khi đó giá trị cos2α là

A. $\frac{1}{2}$.

B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

C. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

D. $-\frac{1}{2}$.

Câu 10. Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mồi tầng bằng nửa diện tích của mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích của đế tháp (có diện tích là 12288m²). Tính diện tích mặt trên cùng.

A. 8 m².

B. 6 m².

C. 12 m².

D. 10 m².

................................

................................

................................

Dạng 2. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 16. Cho cấp số nhân với $\left\{\begin{array}{l}{u}_4-u_2=54\\ u_5-u_3=108\end{array}\right.$. Xác định giá trị u₁ của cấp số nhân.

Điền đáp án

Câu 17. Bốn số a, b, c, d theo thứ tự lập thành một cấp số cộng và bốn số a + 1, b + 1, c + 3, d + 9 theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Tính a + d.

Điền đáp án

................................

................................

................................

Dạng 3. Câu trắc nghiệm đúng sai

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 19. Cho cấp số nhân (u_n) với công bội q < 0 và u₂ = 4, u₄ = 9.

a) Số hạng đầu $u_1=-\frac{8}{3}$.

b) Số hạng $u_5=\frac{27}{2}$.

c) $-\frac{2187}{32}$ là số hạng thứ 8.

d) Tổng 5 số hạng đầu của cấp số nhân là $\frac{55}{6}$.

................................

................................

................................

Xem thử Tài liệu & Đề thi HSA Xem thử Tài liệu & Đề thi VACT Xem thử Tài liệu & Đề thi TSA Xem thử Tài liệu & Đề thi SPT

Xem thêm tài liệu ôn thi đánh giá năng lực HSA, VACT, đánh giá tư duy TSA hay khác:

• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Tập hợp
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Đại số tổ hợp
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Giới hạn. Hàm số liên tục
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Lũy thừa - Mũ - Logarit

---