(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Giới hạn dãy số

Chủ đề Giới hạn dãy số trong tài liệu ôn thi Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy theo cấu trúc mới nhất đầy đủ lý thuyết trọng tâm, các dạng bài & bài tập đa dạng từ cơ bản đến nâng cao giúp Giáo viên & học sinh có thêm tài liệu ôn thi ĐGNL HSA, VACT và ĐGTD TSA đạt kết quả cao.

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Giới hạn dãy số

Xem thử Tài liệu & Đề thi HSA Xem thử Tài liệu & Đề thi VACT Xem thử Tài liệu & Đề thi TSA Xem thử Tài liệu & Đề thi SPT

Chỉ từ 200k mua trọn bộ Đề thi & Tài liệu ôn thi ĐGNL - ĐGTD năm 2025 của các trường theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận đề thi

I. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ

1. Giới hạn hữu hạn của dãy số

Ta nói dãy số (u_n) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |u_n| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=0$ hay u_n → 0 khi $n\to +\infty$.

Chú ý. Từ định nghĩa dãy số có giới hạn 0, ta có các kết quả sau:

• $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{n^k}=0$ với k là một số nguyên dương;

• $\underset{n\to +\infty }{\lim }{q}^n=0$ nếu |q| < 1;

• Nếu $\left|u_n\right|\le v_n$ với mọi n ≥ 1 và $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=0$ thì $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=0$.

Ta nói dãy số (u_n) có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực nếu $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(u_n-a\right)=0$, kí hiệu $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=a$ hay u_n → a khi $n\to +\infty$.

Chú ý. Nếu u_n = c (c là hằng số) thì $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=c$.

            $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=a$ khi và chỉ khi $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(u_n-a\right)=0$.

2. Định lí về giới hạn hữu hạn của dãy số

Tổng quát, ta có các quy tắc tính giới hạn sau đây:

a) Nếu $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=a$ và $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=b$ thì

b) Nếu $u_n\ge 0$ với mọi n và $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=a$ thì a ≥ 0 và $\underset{n\to +\infty }{\lim }\sqrt{u_n}=\sqrt{a}$.

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Cấp số nhân vô hạn (u_n) có công bội q với |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Cho cấp số nhân lùi vô hạn (u_n) với công bội q. Khi đó $S_n=u_1+u_2+\dots +u_n=\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}$.

Vì |q| < 1 nên qⁿ → 0 khi $n\to +\infty$. Do đó, ta có

$\underset{n\to +\infty }{\lim }{S}_n=\underset{n\to +\infty }{\lim }\left[\frac{u_1}{1-q}-\left(\frac{u_1}{1-q}\right)q^n\right]=\frac{u_1}{1-q}$.

Giới hạn này được gọi là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (u_n), và kí hiệu là $S=u_1+u_2+\dots +u_n+\dots$

Như vậy $S=\frac{u_1}{1-q}\left(\left|q\right|<1\right)$.

4. Giới hạn vô cực của dãy số

Dãy số (u_n) được gọi là có giới hạn +∞ khi $n\to +\infty$ nếu u_n có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=+\infty$ hay $u_n\to +\infty$ khi $n\to +\infty$.

Dãy số (u_n) được gọi là có giới hạn -∞ khi $n\to +\infty$ nếu $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(-u_n\right)=+\infty$, kí hiệu $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=-\infty$ hay $u_n\to -\infty$ khi $n\to +\infty$.

Theo định nghĩa trên, ta có:

• $\underset{n\to +\infty }{\lim }{n}^k=+\infty$, với k là số nguyên dương;

• $\underset{n\to +\infty }{\lim }{q}^n=+\infty$, với q > 1.

Liên quan đến giới hạn vô cực của dãy số, ta có một số quy tắc sau đây:

• Nếu $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=a$ và $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=+\infty$ (hoặc $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=-\infty$) thì $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{u_n}{v_n}=0$.

• Nếu $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=a>0$, $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=0$ và v_n > 0 với mọi n thì $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{u_n}{v_n}=+\infty$.

• Nếu $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=+\infty$ và $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=a>0$ thì $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n{v}_n=+\infty$.

II. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Dạng toán 1: Tính giới hạn dãy số

1.1. Phương pháp giải

Cần chú ý:

(1) Giới hạn dãy số đặc biệt:

$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{n}=0$;

$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{n^k}=0\left(k\in {\mathbb{Z}}^{+}\right)$;

$\underset{n\to +\infty }{\lim }{q}^n=0\left(\left|q\right|<1\right)$;

$\underset{n\to +\infty }{\lim }C=C$.

(2) Định lí: Nếu $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=a,\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=b$ thì:

(3) Tổng cấp số nhân lùi vô hạn:

$S_n=u_1+u_{1}q+u_1{q}^2+\dots +u_1{q}^n=\frac{u_1}{1-q}\left(\left|q\right|<1\right)$.

(4) Một số công thức liên hợp cần nhớ:

1.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Tính giới hạn sau: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{-4n^2+n+2}{2n^2+n+1}$.

Hướng dẫn giải

Ví dụ 2. Tính giới hạn sau: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{9n^2+2n}-3n}{4n+3}$.

Hướng dẫn giải

Ví dụ 3. Tính giới hạn sau: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1+2+2^2+\dots +2^n}{1+3+3^2+\dots +3^n}$.

Hướng dẫn giải

Ví dụ 4. Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{4n^2+2n}-2n\right)$;

b) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{n^2+2n+3}-\sqrt[3]{n^2+n^3}\right)$.

Hướng dẫn giải

* Lưu ý: Như vậy, để tính các giới hạn trên trước tiên chúng ta cần sử dụng phép nhân liên hợp để khử dạng ∞ - ∞ và $\frac{k}{\infty -\infty }$.

Ví dụ 5. Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left[\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 5}+\dots +\frac{1}{\left(2n-1\right)\left(2n+1\right)}\right]$;

b) $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\dots \left(1-\frac{1}{n^2}\right)$.

Hướng dẫn giải

2. Dạng toán 2: Tìm giới hạn bằng cách dùng định lý kẹp

2.1. Phương pháp giải

Nếu $\left|u_n\right|\le v_n,\forall n$ và $\underset{n\to +\infty }{\lim }{v}_n=0$ thì $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=0$.

2.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Tính các giới hạn sau:

a) $u_n=\frac{1+\sin n^4}{4n+5}$.

b) $u_n=\frac{\sin 4n}{n+3}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có $\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$ thì $\left|\sin n^4\right|\le 1$ => $\left|u_n\right|=\left|\frac{1+\sin n^4}{4n+5}\right|\le \left|\frac{2}{4n+5}\right|\le \left|\frac{2}{4n}\right|=\frac{1}{2n}$.

Áp dụng định lí “Nếu k là một số thực dương cho trước thì $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{n^k}=0$” ta được $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{n}=0$.

Từ đó suy ra $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=0$.

b) Ta có $\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$ thì $\left|\sin 4n\right|\le 1$ => $\left|u_n\right|=\left|\frac{\sin 4n}{n+3}\right|\le \left|\frac{1}{n+3}\right|\le \left|\frac{1}{n}\right|=\frac{1}{n}$.

* Chú ý: Áp dụng định lí “Nếu k là một số thực dương cho trước thì $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{n^k}=0$” ta được $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{1}{n}=0$. Từ đó suy ra $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=0$.

3. Dạng toán 3: Tìm giới hạn của tổng cấp số nhân lùi vô hạn

3.1. Phương pháp giải

Phương pháp chung:

- Sử dụng công thức: $S=u_1+u_2+u_3\dots =\frac{u_1}{1-q}$, với |q| < 1.

- Để biểu diễn một số thập phân vô hạn tuần hoàn thành phân số, ta biểu diễn số đó thành tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn và suy ra kết quả.

3.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Tính các tổng sau:

a) $S=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\mathrm{..}+\frac{1}{3^n}+\dots$

b) S = 16 - 8 + 4 -2 + ...

Hướng dẫn giải

a) Xét dãy số: $\left(u_n\right):\frac{1}{3},\frac{1}{3^2},\dots ,\frac{1}{3^n},\dots$ là một cấp số nhân có $u_1=\frac{1}{3},q=\frac{1}{3}$.

Suy ra: $S=\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\dots +\frac{1}{3^n}=\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1}{2}$.

b) Xét dãy số: $\left(u_n\right):\mathrm{16,}-\mathrm{8,4,}-\mathrm{2,}\dots$ là một cấp số nhân có $u_1=\mathrm{16,}q=-\frac{1}{2}$.

Suy ra: $S=16-8+4-2+\dots =\frac{16}{1+\frac{1}{2}}=\frac{32}{3}$.

Ví dụ 2. Hãy biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số:

a) a = 0,353535...

b) b = 5,231231...

Hướng dẫn giải

III. CÂU HỎI VẬN DỤNG

Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn

Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án đúng nhất.

Câu 1. Tính giới hạn $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{n^2+1}}{2n+3}$.

A. 0.

B. $\frac{1}{2}$.

C. $\frac{\sqrt{2}}{3}$.

D. $\frac{\sqrt{2}}{5}$.

Câu 2. Tính giới hạn $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{9n^2+2n}-\sqrt[3]{8n^3+6n+1}-n\right)$.

A. $-\frac{1}{6}$.

B. $\frac{1}{6}$.

C. $\frac{1}{3}$.

D. $-\frac{1}{3}$.

Câu 3. Tính giới hạn $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n^2+\sqrt[3]{n^3+1}+n\sqrt{n}}{n\sqrt{n^2+1}+3}$.

A. $\frac{1}{2}$.

B. $\frac{1}{3}$.

C. $\frac{2}{3}$.

D. 1.

Câu 4. Tính giới hạn $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{{\left(n-\sqrt{n^2-1}\right)}^5+{\left(n+\sqrt{n^2-1}\right)}^5}{n^5}$.

A. 64.

B. 32.

C. 16.

D. 128.

Câu 5. Tính giới hạn sau: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(-2n^2+5n\right)\left(3^n-2^n\right)$.

A. -∞.

B. 5.

C. -5.

D. +∞.

Câu 6. Tính giới hạn sau: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{3n^3}{-n^2+1}$.

A. -∞.

B. 3.

C. -3.

D. +∞.

Câu 7. Tính giới hạn sau: $\underset{n\to +\infty }{\lim }n\left[\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n}}}-\sqrt{n}\right]$.

A. -∞.

B. 1.

C. -1.

D. +∞.

Câu 8. Tính giới hạn sau: $\underset{n\to +\infty }{\lim }n\left(\sqrt{n^2+2n+3}-\sqrt[3]{n+n^3}\right)$.

A. -∞.

B. $\frac{1}{2}$.

C. -2.

D. +∞.

Câu 9. Tính giới hạn sau: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt[3]{n^6-7n^3-5n+8}}{n+2}$.

A. -∞.

B. -7.

C. 1.

D. +∞.

Câu 10. Tính giới hạn sau: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(n^2-2\cos 3n+2\right)$.

A. -∞.

B. 3.

C. -1.

D. +∞.

................................

................................

................................

Dạng 2. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 16. Tính giới hạn sau $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{\sin \frac{\pi n}{6}}{3n^2+1}$.

Điền đáp án

Câu 17. Tổng sau có dạng: .

Tính A + b + c.

Điền đáp án

................................

................................

................................

Dạng 3. Câu trắc nghiệm đúng sai

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 19. Cho dãy tổng $S_n=\frac{1}{2\cdot 4}+\frac{1}{4\cdot 6}+\dots +\frac{1}{2n\left(2n+2\right)}$.

a) $S_1=\frac{1}{8}$.

b) $S_2=\frac{1}{6}$.

c) $S_n=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2n+2}\right)$.

d) $\underset{n\to +\infty }{\lim }{S}_n=\frac{1}{2}$.

................................

................................

................................

Xem thử Tài liệu & Đề thi HSA Xem thử Tài liệu & Đề thi VACT Xem thử Tài liệu & Đề thi TSA Xem thử Tài liệu & Đề thi SPT

Xem thêm tài liệu ôn thi đánh giá năng lực HSA, VACT, đánh giá tư duy TSA hay khác:

• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Tập hợp
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Đại số tổ hợp
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Cấp số cộng. Cấp số nhân
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Lũy thừa - Mũ - Logarit

---