(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Giới hạn hàm số

Chủ đề Giới hạn hàm số trong tài liệu ôn thi Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy theo cấu trúc mới nhất đầy đủ lý thuyết trọng tâm, các dạng bài & bài tập đa dạng từ cơ bản đến nâng cao giúp Giáo viên & học sinh có thêm tài liệu ôn thi ĐGNL HSA, VACT và ĐGTD TSA đạt kết quả cao.

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Giới hạn hàm số

Xem thử Tài liệu & Đề thi HSA Xem thử Tài liệu & Đề thi VACT Xem thử Tài liệu & Đề thi TSA Xem thử Tài liệu & Đề thi SPT

Chỉ từ 200k mua trọn bộ Đề thi & Tài liệu ôn thi ĐGNL - ĐGTD năm 2025 của các trường theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận đề thi

I. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ

1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

Giả sử (a;b) là một khoảng chứa điểm x₀ và hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;b), có thể trừ điểm x₀. Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới x₀ nếu với dãy số (x_n) bất kì, $x_n\in (a;b),x_n\ne x_0$ và $x_n\to x_0$, ta có $f\left(x_n\right)\to L$, kí hiệu $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=L$ hay $f\left(x_n\right)\to L$ khi $x\to x_0$.

Tương tự đối với dãy số, ta có các quy tắc tính giới hạn của hàm số tại một điểm như sau:

a) Nếu $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=L$ và $\underset{x\to x_0}{\lim }g\left(x\right)=M$ thì

Lưu ý: $\underset{x\to x_0}{\lim }c=c$ với c là hằng số.

            $\underset{x\to x_0}{\lim }{x}^n=x_0^n,\forall n\in \mathbb{N}$.

b) Nếu f(x) ≥ 0 với mọi $x\in (a;b)\backslash \left\{x_0\right\}$ và $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=L$ thì L ≥ 0 và $\underset{x\to x_0}{\lim }\sqrt{f\left(x\right)}=\sqrt{L}$.

* Giới hạn một bên:

• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (x₀;b). Ta nói số L là giới hạn bên phải của f(x) khi x → x₀ nếu với dãy số (x_n) bất kì thoả mãn x₀ < x_n < b và x_n → x₀, ta có $f\left(x_n\right)\to L$, kí hiệu $\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=L$.

• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;x₀). Ta nói số L là giới hạn bên trái của f(x) khi x → x₀ nếu với dãy số (x_n) bất kì thoả mãn a < x_n < x₀ và x_n → x₀, ta có $f\left(x_n\right)\to L$, kí hiệu $\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=L$.

2. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;+∞). Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là số L khi x → +∞ nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n > a và x_n → +∞, ta có $f\left(x_n\right)\to L$, kí hiệu $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=L$ hay f(x) → L khi x → +∞.

• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (-∞;b). Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là số L khi x → -∞ nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n < b và x_n → -∞, ta có $f\left(x_n\right)\to L$, kí hiệu $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=L$ hay f(x) → L khi x → -∞.

Chú ý:

• Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn tại một điểm cũng đúng cho giới hạn hữu hạn tại vô cực.

• Với c là hằng số, ta có: $\underset{x\to +\infty }{\lim }c=c,\underset{x\to -\infty }{\lim }c=c$.

• Với k là một số nguyên dương, ta có: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x^k}=\mathrm{0,}\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{x^k}=0$.

3. Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm

a) Giới hạn vô cực

Giả sử khoảng (a;b) chứa x₀ và hàm số y = f(x) xác định trên (a;b) \ {x₀}. Ta nói hàm số f(x) có giới hạn +∞ khi x → x₀ nếu với dãy số (x_n) bất kì, $x_n\in (a;b)\backslash \left\{x_0\right\},x_n\to x_0$, ta có $f\left(x_n\right)\to +\infty$, kí hiệu $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$.

Ta nói hàm số f(x) có giới hạn -∞ khi x → x₀, kí hiệu $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$, nếu $\underset{x\to x_0}{\lim }[-f(x\left)\right]=+\infty$.

• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (x₀;b). Ta nói hàm số f(x) có giới hạn +∞ khi x → x₀ về bên phải nếu với dãy số (x_n) bất kì thoả mãn $x_0<x_n<b,x_n\to x_0$, ta có $f\left(x_n\right)\to +\infty$, kí hiệu $\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$.

• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a;x₀). Ta nói hàm số f(x) có giới hạn +∞ khi x → x₀ về bên trái nếu với dãy số (x_n) bất kì thoả mãn $a<x_n<x_0,x_n\to x_0$, ta có $f\left(x_n\right)\to +\infty$, kí hiệu $\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$.

• Các giới hạn một bên $\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ và $\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ được định nghĩa tương tự.

Chú ý. Các giới hạn $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$, $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$, $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ và $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ được định nghĩa tương tự như giới hạn của hàm số f(x) tại vô cực. Chẳng hạn: Ta nói hàm số y = f(x), xác định trên khoảng (a;+∞), có giới hạn là -∞ khi x → +∞ nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n > a và x_n → +∞, ta có $f\left(x_n\right)\to -\infty$, kí hiệu $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ hay f(x) → -∞ khi x → +∞. Một số giới hạn đặc biệt:

+) $\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^k=+\infty$ với k nguyên dương;

+) $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^k=+\infty$ với k là số nguyên chẵn;

+) $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^k=-\infty$ với k là số nguyên lẻ.

b) Một số quy tắc tính giới hạn vô cực

Chú ý các quy tắc tính giới hạn hữu hạn không còn đúng cho giới hạn vô cực.

Ta có một số quy tắc tính giới hạn của tích và thương hai hàm số khi một trong hai hàm số đó có giới hạn vô cực.

• Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x)g(x).

Giả sử $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=L\ne 0$ và $\underset{x\to x_0}{\lim }g\left(x\right)=+\infty$ (hoặc -∞). Khi đó $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)g\left(x\right)$ được tính theo quy tắc cho trong bảng sau:

• Quy tắc tìm giới hạn của thương $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$.

Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp $x\to x_0^{+},x\to x_0$.

II. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Dạng toán 1: Giới hạn hàm số dạng vô định

1.1. Phương pháp giải

Bài toán tìm giới hạn của hàm số dạng hữu tỷ:

$L=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}$ trong đó Q(x₀) = 0 và P(x₀) = 0.

Phương pháp làm mất dạng vô định $\frac{0}{0}$ bằng cách phân tích tử mẫu về dạng:

$L=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\left(x-x_0\right)\cdot f\left(x\right)}{\left(x-x_0\right)\cdot g\left(x\right)}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$.

Chú ý:

• Nếu tam thức bậc hai ax² + bx + c có hai nghiệm x₁, x₂ thì ax² + bx + c = (x - x₁)(x - x₂).

• aⁿ - bⁿ = (a - b)$\left(a^{n-1}+a^{n-2}b+\dots +a{b}^{n-2}+b^{n-1}\right)$.

• $L=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}$ với P(x₀) =Q(x₀) = 0 và P(x), Q(x) là các biểu thức chứa căn thức ta tách ghép hợp lý để nhân liên hợp đưa về dạng trên.

1.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Tìm giới hạn $A=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^3-3x^2+2}{x^2-4x+3}$.

Hướng dẫn giải

Ví dụ 2. Tìm giới hạn $B=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^4-5x^2+4}{x^3-8}$.

Hướng dẫn giải

Ví dụ 3. Tìm giới hạn $A=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^n-1}{x^m-1}\left(m,n\in {\mathbb{N}}^{*}\right)$.

Hướng dẫn giải

Ví dụ 4. Tìm giới hạn $I=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2(\sqrt{3x+1}-1)}{x}$.

Hướng dẫn giải

Ví dụ 5. Cho $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f\left(x\right)+1}{x-1}=-1$. Tính $I=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\left(x^2+x\right)f\left(x\right)+2}{x-1}$.

Hướng dẫn giải

Ví dụ 6. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a + b = 2020 và $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{x^2+ax+1}-\sqrt{bx+1}}{x}=1010$. Tìm a, b.

Hướng dẫn giải

Ví dụ 7. Cho m, n là các số thực khác 0. Nếu giới hạn $\underset{x\to -5}{\lim }\frac{x^2+mx+n}{x+5}=3$, hãy tính m.n.

Hướng dẫn giải

Vì $\underset{x\to -5}{\lim }\frac{x^2+mx+n}{x+5}=3$ nên x = -5 là nghiệm của phương trình x² + mx + n = 0

=> -5m + n + 25 = 0 ⇔ n = -25 + 5m.

Khi đó $\underset{x\to -5}{\lim }\frac{x^2+mx+n}{x+5}$ = $\underset{x\to -5}{\lim }\frac{x^2+mx+5m-25}{x+5}$ = $\underset{x\to -5}{\lim }(x-5+m)$ = m - 10

⇔ m = 13 ⇔ n = 40 => m.n = 520.

Ví dụ 8. Cho hàm số y = f(x) xác định trên ℝ thỏa mãn $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f\left(x\right)-16}{x-2}=12$. Tính giới hạn $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\sqrt[3]{5f\left(x\right)-16}-4}{x^2+2x-8}$.

Hướng dẫn giải

Theo giả thiết có $\underset{x\to 2}{\lim }\left(f\right(x)-16)=0\iff \underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=16$.

2. Dạng toán 2: Tìm giới hạn của hàm số dạng vô định

2.1. Phương pháp giải

Bài toán tìm giới hạn dạng $L=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ trong đó $f\left(x\right);g\left(x\right)\to \pm \infty$, khi $x\to \pm \infty$.

Phương pháp:

Bước 1. Chia tử và mẫu cho xⁿ với n là số mũ cao nhất của biến ở mẫu (Hoặc phân tích thành tích chứa nhân từ xⁿ rồi giản ước).

Bước 2. Nếu f(x) hoặc g(x) có chứa biến x trong dấu căn thì đưa x^k ra ngoài dấu căn (Với k là mũ cao nhất của biến x trong dấu căn), sau đó chia tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của x (thường là bậc cao nhất ở mẫu).

Bước 3. Sử dụng các kết quả sau đây để tính.

Các giới hạn đặc biệt:

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }c=c;\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{c}{x^k}=0$ với C là hằng số và k ∈ ℕ;

$\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^k=+\infty$ với k nguyên dương; $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^k=-\infty$ với k lẻ, $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^k=+\infty$ với k chẵn.

2.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Tính giới hạn $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^4+7}{x^4+1}$.

Hướng dẫn giải

Chia cả tử và mẫu cho x⁴, ta được: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^4+7}{x^4+1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1+\frac{7}{x^4}}{1+\frac{1}{x^4}}=1$.

Ví dụ 2. Tìm giới hạn $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x-\sqrt{3x^2+2}}{5x+\sqrt{x^2+2}}$.

Hướng dẫn giải

Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x-\sqrt{3x^2+2}}{5x+\sqrt{x^2+2}}$ = $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2-\sqrt{3+\frac{2}{x^2}}}{5+\sqrt{1+\frac{2}{x^2}}}=\frac{2-\sqrt{3}}{6}$.

Ví dụ 3. Tìm giới hạn $A=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x\sqrt{x^2+1}-2x+1}{\sqrt[3]{2x^3-2}+1}$.

Hướng dẫn giải

$A=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x\sqrt{x^2+1}-2x+1}{\sqrt[3]{2x^3-2}+1}$ = $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2\left(\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}-\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}\right)}{x\left(\sqrt[3]{2-\frac{2}{x^3}}+\frac{1}{x}\right)}=+\infty$.

3. Dạng toán 3: Tìm giới hạn của hàm số dạng vô định ∞ - ∞ và 0.∞

3.1. Phương pháp giải

Bài toán 1.

Tính giới hạn dạng $L=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(f\right(x)-g(x\left)\right)$, trong đó $f\left(x\right);g\left(x\right)\to +\infty$, khi $x\to \pm \infty$ hoặc $f\left(x\right);g\left(x\right)\to -\infty$, khi $x\to \pm \infty$.

Bài toán 2.

Tính giới hạn dạng $L=\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)$, trong đó $f\left(x\right)\to 0;g\left(x\right)\to \pm \infty$, khi $x\to \pm \infty$.

Phương pháp: Ta sử dụng phương pháp nhân thêm lượng liên hợp và đưa về giới hạn dạng $\frac{\infty }{\infty }$.

3.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Tìm giới hạn $E=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2-x+1}-x\right)$.

Hướng dẫn giải

Đây là giới hạn dạng ∞ - ∞, để tính giới hạn này ta nhân liên hợp của tử sau đó chia cả tử và mẫu cho x. Lưu ý khi x → +∞ thì $\sqrt{x^2}=\left|x\right|=x$.

Ta có: $E=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-x+1}{\sqrt{x^2-x+1}+x}=-\frac{1}{2}$.

Ví dụ 2. Tìm giới hạn $F=\underset{x\to -\infty }{\lim }x\left(\sqrt{4x^2+1}+2x\right)$.

Hướng dẫn giải

Đây là giới hạn dạng ∞ - ∞, để tính giới hạn này ta nhân liên hợp của tử sau đó chia cả tử và mẫu cho x. Lưu ý khi x → -∞ thì $\sqrt{x^2}=\left|x\right|=-x$.

Ta có: $F=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x}{\sqrt{4x^2+1}-2x}=-\frac{1}{4}$.

Ví dụ 3. Tìm giới hạn $A=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt[3]{x^3+2x^2+1}-2\sqrt{x^2-x}+x\right)$.

Hướng dẫn giải

Ví dụ 4. Tìm số thực a thỏa mãn $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{a\sqrt{2x^2+3}+2023}{2x+2024}=\frac{1}{2}$.

Hướng dẫn giải

Ví dụ 5. Tìm hai số thực a và b thỏa mãn $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{4x^2-3x+1}{2x+1}-ax-b\right)=0$.

Hướng dẫn giải

III. CÂU HỎI VẬN DỤNG

Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn

Mỗi câu hỏi thi sinh chỉ chọn một phương án đúng nhất.

Câu 1. Tính giới hạn $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2x-\sqrt{3x+1}}{x^2-1}$, ta được kết quả là

A. 0.

B. $\frac{4}{3}$.

C. $\frac{5}{8}$.

D. 2.

Câu 2. Tìm giới hạn $D=\underset{x\to +\infty }{\lim }x\left(\sqrt{9x^2+1}-3x\right)$ được kết quả là

A. $-\frac{1}{6}$.

B. $\frac{1}{6}$.

C. $-\frac{1}{3}$.

D. $\frac{1}{3}$.

Câu 3. Tìm giới hạn $E=\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^2\left(\sqrt[3]{x^3+2}-x\right)$ được kết quả là

A. $-\frac{1}{6}$.

B. $-\frac{2}{3}$.

C. $\frac{2}{3}$.

D. $-\frac{1}{3}$.

Câu 4. Tìm giới hạn $G=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt[3]{x^3-3x^2}+\sqrt{x^2-2x}\right)$ được kết quả là

A. 0.

B. 1.

C. $-\frac{5}{2}$.

D. −2.

Câu 5. Tìm giới hạn $H=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt[4]{16x^4+3x+1}-\sqrt{4x^2+2}\right)$ được kết quả là

A. +∞.

B. -∞.

C. $\frac{4}{3}$.

D. 0.

Câu 6. Kết quả giới hạn $J=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+x+1}-2\sqrt[3]{x^3+x^2-1}+x\right)=-\frac{a}{b}$, với $\frac{a}{b}$ là phân số dương tối giản. Tổng a + b bằng

A. 7.

B. 5.

C. 6.

D. 8.

Câu 7. Kết quả giới hạn $K=\underset{x\to +\infty }{\lim }x\left(\sqrt{x^2+2x}-\sqrt[3]{x^3+3x^2}\right)=\frac{a}{b}$, với $\frac{a}{b}$ là phân số dương tối giản. Tổng a + b bằng

A. 3.

B. 5.

C. 4.

D. 2.

Câu 8. Cho a, b là các số dương. Biết $M=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\sqrt{4x^2-ax}+\sqrt[3]{8x^3+b{x}^2+5}\right)=\frac{2}{3}$. Giá trị lớn nhất của ab.

A. $\frac{8}{9}$.

B. $\frac{16}{3}$.

C. $\frac{3}{8}$.

D. $\frac{8}{3}$.

Câu 9. Tính giới hạn $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^m-x^n}{x-1},m,n\in \mathbb{N}$ ta được kết quả là

A. +∞.

B. m - n.

C. m.

D. mn.

Câu 10. Biết $\underset{x\to 8}{\lim }\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt[3]{x+19}}{\sqrt[4]{x+8}-2}=\frac{a}{b}$ trong đó $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản, a và b là các số nguyên dương. Tổng a + b bằng

A. 137.

B. 138.

C. 139.

D. 140.

................................

................................

................................

Dạng 2. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 16. Tìm giới hạn $A=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{{(2x+1)}^3{(x+2)}^{2020}}{\left(3-2x^4\right){(1-x)}^{2019}}$ được kết quả là...

Điền đáp án

Câu 17. Cho $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f\left(x\right)+1}{x+1}=-1$ và $I=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\left(x^2+x\right)f\left(x\right)+2}{x+4}=\frac{a}{b}$ (a, b nguyên tố cùng nhau). Tính a + b.

Điền đáp án

................................

................................

................................

Dạng 3. Câu trắc nghiệm đúng sai

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 19. Cho hàm số y = f(x) xác định bởi $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^3-1}{x-1}\text{\hspace{0.33em}\hspace{0.17em}khi\hspace{0.33em}\hspace{0.33em}}x>1\\ ax+2\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}khi\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}x\le 1\end{array}\right.$.

a) f(x) = 8.

b) $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=-a+2$.

c) $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=3$.

d) a = 0 thì hàm số y = f(x) có giới hạn hữu hạn khi x → 1.

................................

................................

................................

Xem thử Tài liệu & Đề thi HSA Xem thử Tài liệu & Đề thi VACT Xem thử Tài liệu & Đề thi TSA Xem thử Tài liệu & Đề thi SPT

Xem thêm tài liệu ôn thi đánh giá năng lực HSA, VACT, đánh giá tư duy TSA hay khác:

• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Tập hợp
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Đại số tổ hợp
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Cấp số cộng. Cấp số nhân
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Lũy thừa - Mũ - Logarit

---