(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

HOT Ra mắt Sách tổng ôn 12 (2k8) toán, văn, anh.... (từ 80k/1 cuốn)

Chủ đề Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp trong tài liệu ôn thi Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy theo cấu trúc mới nhất đầy đủ lý thuyết trọng tâm, các dạng bài & bài tập đa dạng từ cơ bản đến nâng cao giúp Giáo viên & học sinh có thêm tài liệu ôn thi ĐGNL HSA, VACT và ĐGTD TSA đạt kết quả cao.

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

Xem thử Tài liệu & Đề thi HSA Xem thử Tài liệu & Đề thi VACT Xem thử Tài liệu & Đề thi TSA Xem thử Tài liệu & Đề thi SPT

Chỉ từ 200k mua trọn bộ Đề thi & Tài liệu ôn thi ĐGNL - ĐGTD năm 2025 của các trường theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận đề thi

Quảng cáo

I. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ

1. Hoán vị

Cho tập hợp A có n phần tử (n ≥ 1).

Mỗi cách sắp xếp n phần tử của A theo một thứ tự gọi là một hoán vị các phần tử đó (gọi tắt là hoán vị của A hay của n phần tử).

Kí hiệu P_n là số hoán vị của n phần tử.

Người ta chứng minh được rằng: Số các hoán vị của n phần tử (n ≥ 1) bằng

P_n = n.(n - 1).(n - 2)....2.1.

Chú ý:

+ Kí hiệu $n! = n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2) \cdot \dots \cdot 2 \cdot 1$ và đọc là n giai thừa hoặc giai thừa của n. Khi đó, P_n = n!.

+ Quy ước: 0! = 1.

+ Nếu bài toán sắp xếp n người (vật) theo vòng tròn, có nghĩa phần tử đầu tiên và phần tử cuối cùng trùng nhau. Vậy ta sẽ có đây là hoán vị của (n - 1) phần tử, khi đó, số cách sắp xếp là (n - 1)!.

2. Chỉnh hợp

Cho tập hợp A có n phần tử (n ≥ 1) và số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n.

Mỗi cách lấy k phần tử của A và sắp xếp chúng theo một thứ tự gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đó.

Quảng cáo

Kí hiệu $A_{n}^{k}$ là số chỉnh hợp chập k của n phần tử.

Người ta chứng minh được rằng: Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử 1 ≤ k ≤ n bằng

$A_{n}^{k} = n (n - 1) (n - 2) \dots (n - k + 1) = \frac{n!}{(n - k)!}$ .

Nhận xét: Mỗi hoán vị của n phần tử cũng chính là chỉnh hợp chập n của n phần tử đó. Ta có $P_{n} = A_{n}^{n}, n \geq 1$ .

3. Tổ hợp

Cho tập hợp A có n phần tử (n ≥ 1).

Mỗi tập con gồm k phần tử1 ≤ k ≤ n của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.

Kí hiệu $C_{n}^{k}$ là số tổ hợp chập k của n phần tử (1 ≤ k ≤ n).

Người ta chứng minh được rằng: Số các tổ hợp chập k của n phần tử (1 ≤ k ≤ n) bằng

$C_{n}^{k} = \frac{A_{n}^{k}}{k!} = \frac{n (n - 1) (n - 2) \dots (n - k + 1)}{k!} = \frac{n!}{k! (n - k)!}$ .

Chú ý:

+ Người ta quy ước $C_{n}^{0} = 1$ .

+ Khác với chỉnh hợp, trong tổ hợp k phần tử đang xét không có yếu tố thứ tự.

Quảng cáo

II. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Dạng toán: Bài toán chỉ sử dụng hoán vị (hoặc chỉnh hợp hoặc tổ hợp)

1.1. Phương pháp giải

Bước 1: Phân biệt rõ bài toán sử dụng hoán vị, chỉnh hợp, hay tổ hợp dựa vào định nghĩa.

Bước 2: Xét các trường hợp của bài toán, tính riêng từng cách chọn (có thể áp dụng quy tắc đếm).

Bước 3: Thay giá trị theo công thức tính số các hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp và sử dụng máy tính đưa ra kết quả.

1.2. Ví dụ

Dạng 1. Chỉ sử dụng hoán vị

Ví dụ 1. Cho A = {1; 2; 3; 4}. Từ A lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau?

A. 32.

B. 24.

C. 256.

D. 1.

Hướng dẫn giải

Mỗi số tự nhiên tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được lập từ tập A là hoán vị của 4 phần tử.

Vậy có 4! = 24 số cần tìm. Chọn B.

Quảng cáo

Ví dụ 2. Có bao nhiêu cách xếp 5 sách Văn khác nhau và 7 sách Toán khác nhau trên một kệ sách dài nếu các sách Văn phải xếp kề nhau?

A. 5! ∙ 8!.

B. 5! ∙ 7!.

C. 2 ∙ 5! ∙ 7!.

D. 12!.

Hướng dẫn giải

Vì các sách Văn phải xếp kề nhau nên ta xem 5 cuốn sách Văn là một phần tử.

Xếp 7 cuốn sách toán lên kệ có 7! cách.

Giữa 7 cuốn sách Toán có 8 khoảng trống, ta xếp phần tử chứa 5 cuốn sách Văn vào 8 vị trí đó có 8 cách.

5 cuốn sách Văn có thể hoán đổi vị trí cho nhau ta được 5! cách.

Vậy số cách sắp xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 8 ∙ 7! ∙ 5! = 8! ∙ 5!. Chọn A.

Ví dụ 3. Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 nữ sinh, 3 nam sinh thành một hàng dọc sao cho các bạn nam và nữ ngồi xen kẽ?

A. 6.

B. 144.

C. 720.

D. 72.

Hướng dẫn giải

Đánh số thứ tự các vị trí theo hàng dọc từ 1 đến 6.

Trường hợp 1: Nam đứng trước, nữ đứng sau.

• Xếp nam (vào các vị trí đánh số 1, 3, 5): Có 3! = 6 cách.

• Xếp nữ (vào các vị trí đánh số 2, 4, 6): Có 3! = 6 cách.

Vậy trường hợp này có: 6 ∙ 6 = 36 cách.

Trường hợp 2: Nữ đứng trước, nam đứng sau.

• Xếp nữ (vào các vị trí đánh số 1, 3, 5): Có 3! = 6 cách.

• Xếp nam (vào các vị trí đánh số 2, 4, 6): Có 3! = 6 cách.

Vậy trường hợp này có: 6 ∙ 6 = 36 cách.

Theo quy tắc cộng ta có: 36 + 36 = 72 cách sắp xếp 3 nữ sinh, 3 nam sinh thành một hàng dọc sao cho các bạn nam và nữ ngồi xen kẽ. Chọn D.

Dạng 2. Chỉ sử dụng chỉnh hợp

Ví dụ 1. Cho tập A = {1; 2; 3; 5; 7; 9}. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số đôi một khác nhau?

A. 720.

B. 360.

C. 120.

D. 24.

Hướng dẫn giải

Tập A gồm có 6 phần tử là những số tự nhiên khác 0.

Từ tập A có thể lập được $A_{6}^{4} = 360$ số tự nhiên gồm bốn chữ số đôi một khác nhau. Chọn B.

Ví dụ 2. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số khác nhau.

A. 500.

B. 405.

C. 360.

D. 328.

Hướng dẫn giải

Xét hai trường hợp.

TH1: Chữ số tận cùng là 0 có 1 cách chọn chữ số tận cùng.

Có $A_{9}^{2}$ cách chọn hai chữ số đầu.

Do đó có 1 ∙ $A_{9}^{2}$ = 72 số.

TH2: Chữ số tận cùng là 2, 4, 6, 8 có 4 cách chọn chữ số tận cùng.

Có 8 cách chọn chữ số đầu tiên.

Có 8 cách chọn chữ số ở giữa.

Do đó có 4 ∙ 8 ∙ 8 = 256 số.

Vậy có 72 + 256 = 328 số thỏa mãn bài toán. Chọn D.

Ví dụ 3. Từ các chữ số của tập hợp {0; 1; 2; 3; 4; 5}, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau mà trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 0?

A. 504.

B. 480.

C. 720.

D. 120.

Hướng dẫn giải

Cách 1: Gọi số cần tìm là $n = \bar{a b c d e}$ .

Có 4 vị trí xếp số 0 vì a ≠ 0.

a, b, c, d được chọn trong 5 số còn lại và sắp, có $A_{5}^{4} = 120$ cách.

Vậy số các số cần tìm 4 ∙ 120 = 480.

Cách 2: Gọi số cần tìm là $n = \bar{a b c d e}$ .

Có 5 vị trí xếp số 0 (kể cả vị trí đầu tiên), 4 vị trí còn lại chọn 4 trong 5 số và sắp, nên có $5 \cdot A_{5}^{4} = 600$ số.

Các số có dạng $\bar{0 b c d e}$ là $A_{5}^{4} = 120$ số.

Vậy số các số cần tìm là 600 –120 = 480. Chọn B.

Dạng 3. Chỉ sử dụng tổ hợp

Ví dụ 1. Trong hộp có 5 quả cầu đỏ và 7 quả cầu xanh kích thước giống nhau. Lấy ngẫu nhiên 5 quả cầu từ hộp. Hỏi có bao nhiêu khả năng lấy được số quả cầu đỏ nhiều hơn số quả cầu xanh.

A. 245.

B. 3 480.

C. 246.

D. 3 360.

Hướng dẫn giải

Lấy ngẫu nhiên 5 quả cầu từ hộp 12 quả cầu, để số quả cầu đỏ nhiều hơn số quả cầu xanh, những trường hợp có thể xảy ra là

Trường hợp 1: 5 cầu đỏ. Số khả năng: $C_{5}^{5}$ = 1 khả năng.

Trường hợp 2: 4 cầu đỏ, 1 cầu xanh. Số khả năng: $C_{5}^{4} \cdot C_{7}^{1}$ = 35 khả năng.

Trường hợp 3: 3 cầu đỏ, 2 cầu xanh. Số khả năng: $C_{5}^{3} \cdot C_{7}^{2}$ = 210 khả năng.

Áp dụng quy tắc cộng: có tất cả: 35 + 210 + 1 = 246 khả năng. Chọn C.

Ví dụ 2. Cho đa giác đều 36 đỉnh. Hỏi có bao nhiêu hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong 36 đỉnh của đa giác đều?

A. 306.

B. 153.

C. 9.

D. 58 905.

Hướng dẫn giải

Do đa giác đều 36 đỉnh có 18 đường chéo qua tâm.

Mặt khác cứ 2 đường chéo qua tâm ứng với một hình chữ nhật có 4 đỉnh là đỉnh của đa giác.

Vậy số hình chữ nhật là $C_{18}^{2}$ = 153. Chọn B.

Bài toán tổng quát:

Do đa giác đều 2n (n ∈ ℕ, n ≥ 2) đỉnh có n đường chéo qua tâm.

Mặt khác cứ 2 đường chéo qua tâm ứng với một hình chữ nhật có 4 đỉnh là đỉnh của đa giác.

Vậy số hình chữ nhật là $C_{n}^{2}$ .

Ví dụ 3. Có 10 đội bóng thi đấu theo thể thức vòng tròn một lượt, thắng được điểm, hòa 1 điểm, thua 0 điểm. Kết thúc giải đấu, tổng cộng số điểm của tất cả 10 đội là 130. Hỏi có bao nhiêu trận hòa?

A. 7.

B. 8.

C. 5.

D. 6.

Hướng dẫn giải

Vì 10 đội bóng thi đấu theo thể thức vòng tròn một lượt nên số trận đấu là $C_{10}^{2}$ = 45 (trận).

Gọi số trận hòa là x, số không hòa là 45 − x (trận).

Tổng số điểm mỗi trận hòa là 2, tổng số điểm của trận không hòa là 3(45 − x).

Theo đề bài ta có phương trình 2x + 3(45 − x) =130, suy ra x = 5.

Vậy có 5 trận hòa.

2. Dạng toán: Bài toán kết hợp hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp

2.1. Phương pháp giải

Thực hành với các bài toán độc lập để xác định rõ các trường hợp.

• Phân loại câu hỏi: Có sắp xếp thứ tự hay không, nếu có thì sắp xếp bao nhiêu phần tử.

• Xác định dạng toán: dạng toán chữ số, sắp xếp đồ vật, hình học, ...

Phân biệt hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp:

Câu hỏi phân loại	Hoán vị	Chỉnh hợp	Tổ hợp
1. Có sắp xếp thứ tự hay không?	Có	Có	Không
2. Số phần tử sắp xếp?	Tất cả n phần tử	Chỉ có k phần tử trong n

2.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau trong đó luôn có mặt hai chữ số 1 và 6.

A. 408.

B. 720.

C. 480.

D. 120.

Hướng dẫn giải

Chọn 3 chữ số khác nhau từ các số trong tập hợp {2; 3; 4; 5}: có $C_{4}^{3}$ cách.

Sau đó, sắp xếp 5 chữ số đã chọn: có 5! cách.

Vậy có cả $C_{4}^{3} \cdot 5!$ = 480 số có 5 chữ số khác nhau và luôn có mặt số 1 và số 6. Chọn C.

Ví dụ 2. Có bao nhiêu số tự nhiên có tám chữ số trong đó có ba chữ số 0, không có hai chữ số 0 nào đứng cạnh nhau và các chữ số khác chỉ xuất hiện nhiều nhất một lần.

A. 786 240.

B. 846 000.

C. 907 200.

D. 151 200.

Hướng dẫn giải

Chọn ra 5 chữ số khác 0 trong 9 chữ số (từ 1 đến 9) và sắp xếp chúng theo thứ tự có $A_{9}^{5}$ cách.

Để hai chữ số 0 không đứng cạnh nhau ta có 6 vị trí để xếp (do 5 chữ số vừa chọn tạo ra 6 vị trí).

Do chữ số 0 không thể xếp ở đầu nên còn 5 vị trí để xếp số 0.

Khi đó xếp 3 số 0 vào 5 vị trí nên có $C_{5}^{3}$ cách.

Vậy có $A_{9}^{5} C_{5}^{3}$ = 151 200 số cần tìm. Chọn D.

Ví dụ 3. Có bao nhiêu cách chia hết 4 đồ vật khác nhau cho 3 người, biết rằng mỗi người nhận được ít nhất 1 đồ vật.

A. 36.

B. 3.

C. 12.

D. 72.

Hướng dẫn giải

Có hai người mà mỗi người nhận một đồ vật và một người nhận hai đồ vật.

Chọn hai người để mỗi người nhận một đồ vật: có $C_{3}^{2}$ cách chọn.

Chọn hai đồ vật trao cho hai người: có $A_{4}^{2}$ cách chọn.

Hai đồ vật còn lại trao cho người cuối cùng.

Vậy số cách chia là: $C_{3}^{2} \cdot A_{4}^{2}$ = 36 cách. Chọn A.

III. CÂU HỎI VẬN DỤNG

Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn

Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án đúng nhất.

Câu 1. Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau?

A. $A_{n}^{k} = k! C_{n}^{n - k}$ .

B. $C_{n}^{k} = k \cdot A_{n}^{k}$ .

C. $A_{n}^{k} = k \cdot C_{n}^{k}$ .

D. $C_{n}^{k} = k! A_{n}^{k}$ .

Câu 2. Trong một dạ hội cuối năm ở một cơ quan, ban tổ chức phát ra 100 vé xổ số đánh số từ 1 đến 100 cho 100 người. Xổ số có 4 giải: 1 giải nhất, 1 giải nhì, 1 giải ba, 1 giải tư. Kết quả là việc công bố ai trúng giải nhất, giải nhì, giải ba, giải tư. Hỏi có bao nhiêu kết quả có thể nếu biết rằng người giữ vé số 47 trúng một trong bốn giải?

A. 3 766 437.

B. 3 764 637.

C. 3 764 367.

D. 3 764 376.

Câu 3. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số khác nhau đôi một, trong đó chữ số 2 đứng liền giữa hai chữ số 1 và 3?

A. 249.

B. 7440.

C. 3204.

D. 2942.

Câu 4. Cho mặt phẳng chứa đa giác đều (H) có 20 cạnh. Xét tam giác có 3 đỉnh được lấy từ các đỉnh của (H). Hỏi có bao nhiêu tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của (H).

A. 1 440.

B. 360.

C. 1 120.

D. 816.

Câu 5. Cho 10 điểm phân biệt A₁, A₂, ..., A₁₀ trong đó có 4 điểm A₁, A₂, A₃, A₄thẳng hàng, ngoài ra không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh được lấy trong 10 điểm trên?

A. 96 tam giác.

B. 60 tam giác.

C. 116 tam giác.

D. 80 tam giác.

................................

Dạng 2. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 16. Một nhóm 6 bạn học sinh mua vé vào rạp chiếu phim. Các bạn mua 6 vé gồm 3 vé mang số ghế chẵn, 3 vé mang số ghế lẻ và không có hai vé nào cùng số. Trong sáu bạn thì hai bạn muốn ngồi bên ghế chẵn, hai bạn muốn ngồi bên ghế lẻ, hai bạn còn lại không có yêu cầu gì. Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ để thỏa mãn các yêu cầu của tất cả các bạn đó?

Điền đáp án

Câu 17. Có 4 cặp vợ chồng được xếp ngồi trên một chiếc ghế dài có 8 chỗ. Biết rằng mỗi người vợ chỉ ngồi cạnh chồng của mình hoặc ngồi cạnh một người phụ nữ khác. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi thỏa mãn.

Điền đáp án

................................

Dạng 3. Câu trắc nghiệm đúng sai

Trong mỗi ý a), b), c) ở mỗi câu, thi sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 19. Một câu lạc bộ cờ vua có 10 bạn nam và 7 bạn nữ. Huấn luyện viên muốn chọn 4 bạn đi thi đấu cờ vua.

a) Có 210 cách chọn 4 bạn nam đi thi.

b) Có 420 cách chọn 4 bạn không phân biệt nam, nữ.

c) Có 945 cách chọn 4 bạn, trong đó có 2 bạn nam và 2 bạn nữ.

................................

Xem thử Tài liệu & Đề thi HSA Xem thử Tài liệu & Đề thi VACT Xem thử Tài liệu & Đề thi TSA Xem thử Tài liệu & Đề thi SPT

Xem thêm tài liệu ôn thi đánh giá năng lực HSA, VACT, đánh giá tư duy TSA hay khác:

HOT 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT, ĐGNL các trường ĐH fle word có đáp án (2025).

Sách VietJack thi THPT quốc gia 2025 cho 2k7:

TÀI LIỆU FILE WORD DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12

+ Bộ giáo án, đề thi tốt nghiệp THPT, DGNL các trường các trường có lời giải chi tiết 2025 tại https://tailieugiaovien.com.vn/

+ Hỗ trợ zalo: VietJack Official

+ Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

500+ đề thi thử tốt nghiệp THPT Quốc gia form 2025

( 128 tài liệu )

100+ đề thi ĐGNL ĐHQG Hà Nội, Tp.Hồ Chí Minh...

( 84 tài liệu )

Đề thi giữa kì, cuối kì 12

( 143 tài liệu )

Bài giảng Powerpoint Văn, Sử, Địa 12....

( 31 tài liệu )

Chuyên đề dạy thêm Toán, Lí, Hóa ...12

( 104 tài liệu )

Đề thi HSG 12

( 4 tài liệu )

xem tất cả

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.