(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Nhị thức newton

HOT Ra mắt Sách tổng ôn 12 (2k8) toán, văn, anh.... (từ 80k/1 cuốn)

Chủ đề Nhị thức newton trong tài liệu ôn thi Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy theo cấu trúc mới nhất đầy đủ lý thuyết trọng tâm, các dạng bài & bài tập đa dạng từ cơ bản đến nâng cao giúp Giáo viên & học sinh có thêm tài liệu ôn thi ĐGNL HSA, VACT và ĐGTD TSA đạt kết quả cao.

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Nhị thức newton

Xem thử Tài liệu & Đề thi HSA Xem thử Tài liệu & Đề thi VACT Xem thử Tài liệu & Đề thi TSA Xem thử Tài liệu & Đề thi SPT

Chỉ từ 200k mua trọn bộ Đề thi & Tài liệu ôn thi ĐGNL - ĐGTD năm 2025 của các trường theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận đề thi

Quảng cáo

I. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ

1. Công thức nhị thức Newton

• Công thức khai triển (a + b)ⁿ với n ∈ {4;5}:

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Nhị thức newton

• Mở rộng: Khai triển (a + b)ⁿ được cho bởi công thức sau:

Với a, b là các số thực và n là số nguyên dương, ta có

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Nhị thức newton

Quy ước a⁰ = b⁰ = 1.

Công thức trên được gọi là công thức nhị thức Newton (viết tắt là Nhị thức Newton).

Trong biểu thức ở VP của công thức (1):

+ Số các hạng tử là n + 1.

+ Số các hạng tử có số mũ của a giảm dần từ n đến 0, số mũ của b tăng dần từ 0 đến nhưng tổng các số mũ của a và b trong mỗi hạng tử luôn bằng n.

+ Các hệ số của mỗi hạng tử cách đều hai hạng tử đầu và cuối thì bằng nhau.

+ Số hạng thứ k (số hạng tổng quát) của khai triển là: $T_{k + 1} = C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$ .

Hệ quả:

Với a = b = 1, thì ta có $2^{n} = C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + \dots + C_{n}^{n}$ .

Với a = 1; b = 1, ta có $0 = C_{n}^{0} - C_{n}^{1} + \dots + {(- 1)}^{k} C_{n}^{k} + \dots + {(- 1)}^{n} C_{n}^{n}$ .

2. Một số dạng khai triển thường gặp

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Nhị thức newton

II. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Dạng toán: Tiếp cận khai triển nhị thức Newton

1.1. Phương pháp giải

• Vận dụng công thức.

• Áp dụng hệ quả.

1.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Viết khai triển theo công thức nhị thức Newton với biểu thức (x - y)⁵.

A. $x^{5} - 5 x^{4} y + 10 x^{3} y^{2} - 10 x^{2} y^{3} + 5 x y^{4} - y^{5}$ .

B. $x^{5} - 5 x^{4} y - 10 x^{3} y^{2} - 10 x^{2} y^{3} - 5 x y^{4} + y^{5}$ .

C. $x^{5} + 5 x^{4} y + 10 x^{3} y^{2} + 10 x^{2} y^{3} + 5 x y^{4} + y^{5}$ .

D. $x^{5} + 5 x^{4} y - 10 x^{3} y^{2} + 10 x^{2} y^{3} - 5 x y^{4} + y^{5}$ .

Lời giải

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Nhị thức newton

Ví dụ 2. Từ khai triển biểu thức (x + 1)¹⁰ thành đa thức. Tổng các hệ số của đa thức là:

A. 1 023.

B. 512.

C. 1 024.

D. 2 048.

Hướng dẫn giải

Xét khai triển $f (x) = {(x + 1)}^{10} = \sum_{k = 0}^{10} C_{10}^{k} \cdot x^{k}$ .

Gọi S là tổng các hệ số trong khai triển thì ta có S = f(1) = ${(1 + 1)}^{10} = 2^{10} = 1024$ . Chọn C.

2. Dạng toán: Tìm hệ số trong khai triển nhị thức Newton

2.1. Phương pháp giải

Áp dụng công thức khai triển:

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Nhị thức newton

Số hạng tổng quát của khai triển là: $T_{k + 1} = C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$ .

Hệ số là phần không chứa biến trong số hạng.

2.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Hệ số lớn nhất trong khai triển ${(\frac{1}{4} + \frac{3}{4} x)}^{4}$ là:

A. $\frac{27}{128}$ .

B. $\frac{9}{32}$ .

C. $\frac{27}{32}$ .

D. $\frac{27}{64}$ .

Hướng dẫn giải

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Nhị thức newton

Ví dụ 2. Biết hệ số của x² trong khai triển của (1 - 3x)ⁿ là 90. Tìm n.

A. n = 7.

B. n = 6.

C. n = 8.

D. n = 5.

Hướng dẫn giải

Số hạng thứ k + 1 trong khai triển của (1 - 3x)ⁿ là: $T_{k + 1} = C_{n}^{k} {(- 3)}^{k} x^{k}$ .

Số hạng chứa x² ứng với k = 2.

Ta có: $C_{n}^{2} {(- 3)}^{2} = 90$ ⇔ $C_{n}^{2} = 10$ ⇔ $\frac{n!}{2! (n - 2)!} = 10$ ⇔ n(n - 1) = 20 ⇔ $[\begin{array}{l} n = 5 \\ n = - 4 (L) \end{array}$ .

Vậy n = 5. Chọn D.

Ví dụ 3. Tìm hệ số của x⁵ trong khai triển $P (x) = {(x + 1)}^{6} + {(x + 1)}^{7} + ... + {(x + 1)}^{12}$ .

A. 1716.

B. 1715.

C. 1287.

D. 1711.

Hướng dẫn giải

Xét nhị thức ${(x + 1)}^{n} = {(1 + x)}^{n}$ có số hạng tổng quát là $C_{n}^{k} x^{k}$ . Ta có:

Hệ số của x⁵ trong (1 + x)⁶ là $C_{6}^{5}$ .

Hệ số của x⁵ trong (1 + x)⁷ là $C_{7}^{5}$ .

Hệ số của x⁵ trong (1 + x)¹² là $C_{12}^{5}$ .

Vậy hệ số của x⁵ trong khai triển P(x) là $C_{6}^{5} + C_{7}^{5} + ... + C_{12}^{5} = 1715$ . Chọn B.

3. Dạng toán: Tìm số hạng trong khai triển nhị thức Newton

3.1. Phương pháp giải

Áp dụng công thức khai triển:

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Nhị thức newton

Số hạng tổng quát của khai triển là: $T_{k - 1} = C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$ .

3.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển ${(x^{2} + \frac{1}{x^{3}})}^{5}$ .

A. 10.

B. 20.

C. 5.

D. 1.

Hướng dẫn giải

Số hạng tổng quát trong khai triển ${(x^{2} + \frac{1}{x^{3}})}^{5}$ là: $T_{k} = C_{5}^{k} {(x^{2})}^{5 - k} \cdot {(\frac{1}{x^{3}})}^{k} = C_{5}^{k} x^{10 - 5 k}$ .

Số hạng cần tìm không chứa x nên ta có: 10 - 5k = 0 ⇔ k = 2.

Vậy số hạng không chứa x trong khai triển là $T_{2} = C_{5}^{2} = 10$ . Chọn A.

Ví dụ 2. Tìm số hạng chứa x³ trong khai triển ${(x - \frac{1}{2 x})}^{9}$ .

A. $- \frac{1}{8} C_{9}^{3} x^{3}$ .

B. $\frac{1}{8} C_{9}^{3} \cdot x^{3}$ .

C. $- C_{9}^{3} \cdot x^{3}$ .

D. $C_{9}^{3} x^{3}$ .

Hướng dẫn giải

Số hạng thứ k + 1 trong khai triển là: $T_{k + 1} = C_{9}^{k} x^{9 - k} \cdot {(- \frac{1}{2 x})}^{k} = C_{9}^{k} \cdot {(- \frac{1}{2})}^{k} x^{9 - 2}$ .

Số hạng chứa x³ có giá trị k thỏa mãn: 9 - 2k = 3 ⇔ k = 3.

Vậy số hạng chứa x³ trong khai triển là: $- \frac{1}{8} C_{9}^{3} x^{3}$ . Chọn A.

4. Dạng toán: Tính tổng của các tổ hợp và ứng dụng

4.1. Phương pháp giải

Sử dụng các hệ quả vào bài toán.

4.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Tổng $T = C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + C_{n}^{2} + C_{n}^{2} + \dots .. + C_{n}^{n}$ bằng

A. 2^{n - 1.}

B. 2^{n - 1}.

C. 2ⁿ.

D. 0.

Hướng dẫn giải

Theo khai triển nhị thức Newton ${(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$ .

Với a = b = 1, ta có $2^{n} = {(1 + 1)}^{n} = C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + \dots + C_{n}^{n - 1} + C_{n}^{n}$ . Chọn C.

Ví dụ 2. Với n ≥ 4, tổng $T = C_{n}^{0} + C_{n}^{2} + C_{n}^{4} + \dots + C_{n}^{2 k} + \dots$ bằng

A. 2^{n - 1.}

B. 2^{n - 1}.

C. 2ⁿ.

D. 2ⁿ - 1.

Hướng dẫn giải

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Nhị thức newton

Ví dụ 3. Cho n ∈ ℕ*, tính tổng .

Điền đáp án

Hướng dẫn giải

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Nhị thức newton

5. Dạng toán: Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của ${(x + Δ x)}^{4}, {(x + Δ x)}^{5}$ để tính gần đúng và ứng dụng (nếu có)

5.1. Phương pháp giải

Ta có khai triển và tính giá trị gần đúng dùng 2 số hạng đầu tiên như sau:

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Nhị thức newton

5.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển ${(x + Δ x)}^{5}$ để tính gần đúng số (2,01)⁵. Tìm số đó.

A. 32,808.

B. 32,80804.

C. 32,8.

D. 32,8080401.

Hướng dẫn giải

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Nhị thức newton

Ví dụ 2. Số dân ở thời điểm hiện tại của một tỉnh là 1 triệu người. Tỉ lệ tăng dân số hàng năm của tỉnh đó là 5%. Sử dụng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của lũy thừa (a + b)ⁿ, hỏi sau bao nhiêu năm thì số dân của tỉnh đó là 1,2 triệu người?

Điền đáp án

Hướng dẫn giải

Gọi A là số dân ban đầu, ra là tỉ lệ tăng dân số hàng năm, A_n là số dân của tỉnh đó sau n năm.

Khi đó A_n = A(1 + r)ⁿ, với r = 5% là tỉ lệ tăng dân số hàng năm.

Theo giả thiết:

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Nhị thức newton

Vậy sau khoảng 4 năm thì số dân của tỉnh đó là 1,2 triệu người.

Điền đáp án: 4.

III. CÂU HỎI VẬN DỤNG

Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn

Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án đúng nhất.

Câu 1. Tính tổng các hệ số trong khai triển nhị thức Newton của (1 - 2x)⁴.

A. 1.

B. -1.

C. 81.

D. -81.

Câu 2. Gọi n là số nguyên dương thỏa mãn $A_{n}^{3} + 2 A_{n}^{2} = 48$ . Tìm hệ số của x³ trong khai triển nhị thức Newton của (1 - 3x)ⁿ.

A. -108.

B. 81.

C. 54.

D. -12.

Câu 3. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của ${(\frac{1}{x} + x^{3})}^{4}$ .

A. 1.

B. 4.

C. 6.

D. 12.

Câu 4. Tìm hệ số của đơn thức a³b² trong khai triển nhị thức (a + 2b)⁵.

A. 160.

B. 80.

C. 20.

D. 40.

Câu 5. Biết ${(1 + \sqrt[3]{2})}^{4} = a_{0} + a_{1} \sqrt[3]{2} + a_{2} \sqrt[3]{4}$ . Tính a₁a₂.

A. a₁a₂ = 24.

B. a₁a₂ = 8.

C. a₁a₂ = 54.

D. a₁a₂ = 36.

................................

Dạng 2. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 16. Biết hệ số của số hạng chứa x² trong khai triển (1 + 4x)ⁿ là 3 040. Số tự nhiên n bằng bao nhiêu?

Điền đáp án

Câu 17. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển ${(2 x - \frac{1}{x^{2}})}^{6}, x \neq 0$ .

Điền đáp án

................................

Dạng 3. Câu trắc nghiệm đúng sai

Trong mỗi ý a), b) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 19. Một người có 500 triệu đồng gửi tiết kiệm ngân hàng với lãi suất 7,2%/ năm. Với giả thiết sau mỗi tháng người đó không rút tiền thì số tiền lãi được nhập vào số tiền ban đầu. Đây được gọi là hình thức lãi kép. Biết số tiền cả vốn lẫn lãi T₀ sau n tháng được tính bởi công thức T = T₀(1 + r)ⁿ, trong đó T₀ là số tiền gửi lúc đầu và r là lãi suất của một tháng. Dùng hai số hạng đầu tiên trong khai triển của nhị thức Newton để tính, ta được:

a) Sau 6 tháng số tiền người đó nhận được lớn hơn 515 triệu đồng.

b) Để số tiền nhận được lớn hơn 600 triệu cả gốc và lãi từ 500 triệu gốc thì người đó phải gửi ít nhất là 3 năm.

................................

Xem thử Tài liệu & Đề thi HSA Xem thử Tài liệu & Đề thi VACT Xem thử Tài liệu & Đề thi TSA Xem thử Tài liệu & Đề thi SPT

Xem thêm tài liệu ôn thi đánh giá năng lực HSA, VACT, đánh giá tư duy TSA hay khác:

HOT 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT, ĐGNL các trường ĐH fle word có đáp án (2025).

Sách VietJack thi THPT quốc gia 2025 cho 2k7:

TÀI LIỆU FILE WORD DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12

+ Bộ giáo án, đề thi tốt nghiệp THPT, DGNL các trường các trường có lời giải chi tiết 2025 tại https://tailieugiaovien.com.vn/

+ Hỗ trợ zalo: VietJack Official

+ Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

500+ đề thi thử tốt nghiệp THPT Quốc gia form 2025

( 128 tài liệu )

100+ đề thi ĐGNL ĐHQG Hà Nội, Tp.Hồ Chí Minh...

( 84 tài liệu )

Đề thi giữa kì, cuối kì 12

( 143 tài liệu )

Bài giảng Powerpoint Văn, Sử, Địa 12....

( 31 tài liệu )

Chuyên đề dạy thêm Toán, Lí, Hóa ...12

( 104 tài liệu )

Đề thi HSG 12

( 4 tài liệu )

xem tất cả

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.