(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Quy tắc đếm

Chủ đề Quy tắc đếm trong tài liệu ôn thi Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy theo cấu trúc mới nhất đầy đủ lý thuyết trọng tâm, các dạng bài & bài tập đa dạng từ cơ bản đến nâng cao giúp Giáo viên & học sinh có thêm tài liệu ôn thi ĐGNL HSA, VACT và ĐGTD TSA đạt kết quả cao.

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Quy tắc đếm

Xem thử Tài liệu & Đề thi HSA Xem thử Tài liệu & Đề thi VACT Xem thử Tài liệu & Đề thi TSA Xem thử Tài liệu & Đề thi SPT

Chỉ từ 200k mua trọn bộ Đề thi & Tài liệu ôn thi ĐGNL - ĐGTD năm 2025 của các trường theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận đề thi

I. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ

1. Quy tắc cộng

• Giả sử một công việc nào đó có thể thực hiện theo một trong hai phương án khác nhau:

Phương án 1 có n₁ cách thực hiện.

Phương án 2 có n₂ cách thực hiện.

Khi đó số cách thực hiện công việc là: n₁ + n₂ cách.

Công việc A	Phương án 1: n1 cách	Tổng số cách = n1 + n2
	Phương án 2: n2 cách

• Quy tắc cộng được phát biểu ở trên thực chất là quy tắc đếm số phần tử của hợp hai tập hợp hữu hạn không giao nhau:

Nếu A và B là các tập hợp hữu hạn không giao nhau thì $n\left(A\cup B\right)=n\left(A\right)+n\left(B\right)$.

• Mở rộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong k hành động $A_1,A_2,A_3,\mathrm{...,}{A}_k$. Nếu hành động A₁ có m₁ cách thực hiện, hành động A₂ có m₂ cách thực hiện, ..., hành động A_k có m_k cách thực hiện và các cách thực hiện của các hành động trên không trùng nhau thì công việc đó có $m_1+m_2+m_3+\mathrm{...}+m_k$ cách thực hiện.

2. Quy tắc nhân

• Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai.

Khi đó công việc đó có m.n cách thực hiện.

• Mở rộng: Một công việc được hoàn thành bởi k hành động $A_1,A_2,A_3,\mathrm{...,}{A}_k$ liên tiếp. Nếu hành động A₁ có m₁ cách thực hiện, ứng với mỗi cách thực hiện hành động A₁ có m₂ cách thực hiện hành động A₂, …, có m_k cách thực hiện hành động A_k, thì công việc đó có $m_1\cdot m_2\cdot m_3\cdot \mathrm{...}\cdot m_k$ cách hoàn thành.

II. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Dạng toán: Ứng dụng quy tắc cộng

1.1. Phương pháp giải

Để đếm số cách lựa chọn để thực hiện một công việc A bằng quy tắc cộng, ta thực hiện các bước như sau:

Bước 1: Phân tích xem có bao nhiêu phương án riêng biệt để thực hiện công việc A (có nghĩa công việc A có thể hoàn thành một trong các phương án $A_1,A_2,A_3,\mathrm{...,}{A}_n$).

Bước 2: Đếm số cách chọn $x_1,x_2,x_3\mathrm{,...,}{x}_n$ trong các phương án $A_1,A_2,A_3,\mathrm{...,}{A}_n$.

Bước 3: Dùng quy tắc cộng ta tính được số cách lựa chọn để thực hiện công việc A là:

$x=x_1+x_2+x_3+\mathrm{...}+x_n$.

1.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Một người có 4 cái quần khác nhau, 6 cái áo khác nhau, 3 chiếc cà vạt khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một cái quần hoặc một cái áo hoặc một cái cà vạt?

Điền đáp án

Hướng dẫn giải

Nếu chọn một cái quần thì sẽ có 4 cách.

Nếu chọn một cái áo thì sẽ có 6 cách.

Nếu chọn một cái cà vạt thì sẽ có 3 cách.

Theo quy tắc cộng, ta có 4 + 6 + 3 = 13 cách chọn.

Điền đáp án: 13.

Ví dụ 2. Trong một cuộc thi tìm hiểu về đất nước Việt Nam, ban tổ chức công bố danh sách các đề tài bao gồm: 8 đề tài về lịch sử, 7 đề tài về thiên nhiên, 10 đề tài về con người và 6 đề tài về văn hóa. Mỗi thí sinh được quyền chọn một đề tài. Hỏi mỗi thí sinh có bao nhiêu khả năng lựa chọn đề tài?

A. 20.

B. 3360.

C. 31.

D. 30.

Hướng dẫn giải

Nếu chọn đề tài về lịch sử có 8 cách.

Nếu chọn đề tài về thiên nhiên có 7 cách.

Nếu chọn đề tài về con người có 10 cách.

Nếu chọn đề tài về văn hóa có 6 cách.

Theo quy tắc cộng, ta có 8 + 7 + 10 + 6 = 31 cách chọn. Chọn C.

Ví dụ 3. Có bao nhiêu số tự nhiên có chín chữ số mà các chữ số của nó viết theo thứ tự giảm dần?

A. 5.

B. 15.

C. 55.

D. 10.

Hướng dẫn giải

Vì số có chín chữ số viết theo thứ tự giảm dần nên chỉ có thể là chữ số 9 hoặc chữ số 8 đứng đầu.

Trường hợp 1: số 9 đứng đầu.

Từ các số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 mỗi một lần ta bỏ đi một số ta sẽ lập được 1 số có 9 chữ số viết theo thứ tự giảm dần mà số 9 đứng đầu.

Vậy trường hợp 1 có 9 số được lập.

Trường hợp 2: số 8 đứng đầu.

Vì từ 0 đến 8 có chín chữ số nên ta chỉ lập được 1 số có 9 chữ số viết theo thứ tự giảm đần.

Vậy cả 2 trường hợp có 9 + 1 = 10 số. Chọn D.

2. Dạng toán: Ứng dụng quy tắc nhân

2.1. Phương pháp giải

Để đếm số cách lựa chọn để thực hiện công việc A bằng quy tắc nhân, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Phân tích xem có bao nhiêu công đoạn liên tiếp cần phải tiến hành để thực hiện công việc A (giả sử A chỉ hoàn thành sau khi tất cả các công đoạn $A_1,A_2,A_3,\mathrm{...,}{A}_n$ hoàn thành).

Bước 2: Đếm số cách chọn $x_1,x_2,x_3\mathrm{,...,}{x}_n$ trong các công đoạn $A_1,A_2,A_3,\mathrm{...,}{A}_n$.

Bước 3: Dùng quy tắc nhân ta tính được số cách lựa chọn để thực hiện công việc A là:

$x=x_1\cdot x_2\cdot x_3\cdot \mathrm{...}\cdot x_n$.

Ta thường gặp một số bài toán sau:

! Bài toán 1: Đếm số phương án liên quan đến số.

Khi lập một số tự nhiên $x=\overline{a_1\dots a_n}$ ta cần lưu ý:

* $a_i\in \left\{0;1;2;\dots ;9\right\}$ và $a_1\ne 0$.

* x là số chẵn ⇔ a_n là số chẵn.

* x là số lẻ ⇔ a_n là số lẻ.

* x chia hết cho 3 ⇔ $a_1+a_2+\dots +a_n$ chia hết cho 3.

* x chia hết cho $4\iff \overline{a_{n-1}{a}_n}$ chia hết cho 4.

* x chia hết cho $5\iff a_n\in \left\{0;5\right\}$.

* x chia hết cho 6 ⇔ x là số chẵn và chia hết cho 3.

* x chia hết cho $8\iff \overline{a_{n-2}{a}_{n-1}{a}_n}$ chia hết cho 8.

* x chia hết cho $9\iff a_1+a_2+\dots +a_n$ chia hết cho 9.

* x chia hết cho 11 ⇔ tổng các chữ số ở hàng lẻ trừ đi tổng các chữ số ở hàng chẵn là một số nguyên chia hết cho 11.

* x chia hết cho 25 ⇔ hai chữ số tận cùng là 00, 25, 50, 75.

! Bài toán 2: Đếm số phương án liên quan đến kiến thức thực tế.

! Bài toán 3: Đếm số phương án liên quan đến hình học.

2.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Một đội học sinh giỏi của trường THPT, gồm 5 học sinh khối 12; 4 học sinh khối 11; 3 học sinh khối 10. Số cách chọn ba học sinh trong đó mỗi khối có một em?

A. 12.

B. 220.

C. 60.

D. 3.

Hướng dẫn giải

Để chọn ba học sinh trong đó mỗi khối có một em, ta có:

• Có 5 cách chọn học sinh khối 12.

• Có 4 cách chọn học sinh khối 11.

• Có 3 cách chọn học sinh khối 10.

Vậy theo quy tắc nhân ta có: 5.4.3 = 60 cách. Chọn C.

Ví dụ 2. Các thành phố A, B, C, D được nối với nhau bởi các con đường như hình vẽ. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ A đến D mà qua B và C chỉ một lần?

Điền đáp án

Hướng dẫn giải

• Từ A → B có 4 cách.

• Từ B → C có 2 cách.

• Từ C → D có 3 cách.

Vậy theo quy tắc nhân ta có 4.2.3 = 24 cách.

Điền đáp án: 24.

Ví dụ 3. Biển số xe máy của tỉnh A có 6 kí tự, trong đó kí tự ở vị trí đầu tiên là một chữ cái tiếng Anh, kí tự ở vị trí thứ hai là một chữ số thuộc tập {1;2;3;...;9}, mỗi kí tự ở bốn vị trí tiếp theo là một chữ số thuộc tập {0;1;2;3;...;9}. Hỏi nếu chỉ dùng một mã số tỉnh thì tỉnh A có thể làm được nhiều nhất bao nhiêu biển số xe máy khác nhau?

A. 2 340 000.

B. 234 000.

C. 75.

D. 2 600 000.

Hướng dẫn giải

Giả sử biển số xe là a₁a₂a₃a₄a₅a₆.

• Có 26 cách chọn a₁ (do có 26 chữ cái trong bảng chữ cái tiếng Anh).

• Có 9 cách chọn a₂.

• Có 10 cách chọn a₃.

• Có 10 cách chọn a₄.

• Có 10 cách chọn a₅.

• Có 10 cách chọn a₆.

Vậy theo quy tắc nhân ta có 26.9.10⁴ = 2340000 biển số xe. Chọn A.

III. CÂU HỎI VẬN DỤNG

Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn

Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án đúng nhất.

Câu 1. Một trường THPT được cử một học sinh đi dự trại hè toàn quốc. Nhà trường quyết định chọn một học sinh tiên tiến lớp 11A hoặc lớp 12B. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn, nếu biết rằng lớp 11A có 31 học sinh tiên tiến và lớp 12B có 22 học sinh tiên tiến?

A. 31.

B. 9.

C. 53.

D. 682.

Câu 2. Giả sử từ tỉnh A đến tỉnh B có thể đi bằng các phương tiện: ô tô, tàu hỏa, tàu thủy hoặc máy bay. Mỗi ngày có 10 chuyến ô tô, 5 chuyến tàu hỏa, 3 chuyến tàu thủy và 2 chuyến máy bay. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ tỉnh A đến tỉnh B?

A. 20.

B. 300.

C. 18.

D. 15.

Câu 3. Trên bàn có 8 cây bút chì khác nhau, 6 cây bút bi khác nhau và 10 cuốn tập khác nhau. Một học sinh muốn chọn một đồ vật duy nhất hoặc một cây bút chì hoặc một cây bút bi hoặc một cuốn tập thì số cách chọn khác nhau là

A. 480.

B. 24.

C. 48.

D. 60.

Câu 4. Một người có 4 cái quần, 6 cái áo, 3 chiếc cà vạt. Để chọn mỗi thứ một món thì có bao nhiêu cách chọn bộ “quần - áo - cà vạt” khác nhau?

A. 13.

B. 72.

C. 12.

D. 30.

Câu 5. Trong một trường THPT, khối 11 có 280 học sinh nam và 325 học sinh nữ. Nhà trường cần chọn hai học sinh trong đó có một nam và một nữ đi dự trại hè của học sinh thành phố. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn?

A. 910000.

B. 91000.

C. 910.

D. 625.

................................

................................

................................

Dạng 2. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 16. Một hộp chứa 16 quả cầu gồm sáu quả cầu xanh đánh số từ 1 đến 6, năm quả cầu đỏ đánh số từ 1 đến 5 và năm quả cầu vàng đánh số từ 1 đến 5. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra từ hộp đó 3 quả cầu vừa khác màu vừa khác số.

Điền đáp án

Câu 17. Từ các số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số có 6 chữ số đồng thời thỏa điều kiện: sáu số của mỗi số là khác nhau và trong mỗi số đó tổng của 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng của 3 số sau một đơn vị.

Điền đáp án

................................

................................

................................

Dạng 3. Câu trắc nghiệm đúng sai

Trong mỗi ý a), b), c) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 19. Xếp 6 người A, B, C, D, E, F vào một ghế dài. Ta sẽ có số cách sắp xếp

a) A và F ngồi ở hai đầu ghế là 48 cách.

b) A và F ngồi cạnh nhau là 120 cách.

c) A và F không ngồi cạnh nhau là 240 cách.

................................

................................

................................

Xem thử Tài liệu & Đề thi HSA Xem thử Tài liệu & Đề thi VACT Xem thử Tài liệu & Đề thi TSA Xem thử Tài liệu & Đề thi SPT

Xem thêm tài liệu ôn thi đánh giá năng lực HSA, VACT, đánh giá tư duy TSA hay khác:

• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Tập hợp
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Cấp số cộng. Cấp số nhân
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Giới hạn. Hàm số liên tục
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Lũy thừa - Mũ - Logarit

---