(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Tiệm cận của đồ thị hàm số

Chủ đề Tiệm cận của đồ thị hàm số trong tài liệu ôn thi Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy theo cấu trúc mới nhất đầy đủ lý thuyết trọng tâm, các dạng bài & bài tập đa dạng từ cơ bản đến nâng cao giúp Giáo viên & học sinh có thêm tài liệu ôn thi ĐGNL HSA, VACT và ĐGTD TSA đạt kết quả cao.

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Tiệm cận của đồ thị hàm số

Xem thử Tài liệu & Đề thi HSA Xem thử Tài liệu & Đề thi VACT Xem thử Tài liệu & Đề thi TSA Xem thử Tài liệu & Đề thi SPT

Chỉ từ 450k mua trọn bộ Đề thi & Tài liệu ôn thi ĐGNL - ĐGTD năm 2026 của các trường theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 1133836868 - CT TNHH DAU TU VA DV GD VIETJACK - Ngân hàng MB (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận đề thi

I. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ

1. Đường tiệm cận ngang

Định nghĩa: Đường thẳng y = m được gọi là một đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số f(x) nếu:

$\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=m$ hoặc $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=m.$

Đường thẳng y = m là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) được minh hoạ như hình vẽ dưới đây.

Nhận xét: Như vậy để tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số ta đi tính giới hạn của hàm số đó tại vô cực.

* Lưu ý:

- Việc tính giới hạn hàm số tại vô cực có thể thực hiện bằng máy tính Casio với lệnh CALC (lệnh tính giá trị biểu thức).

+ Nếu $x\to +\infty \Rightarrow$ CALC: x = 10⁵.

+ Nếu $x\to -\infty \Rightarrow$ CALC: x = -10⁵.

- Đọc kết quả giới hạn trên Casio:

${10}^n\left(n\ge 3\right)\iff +\infty ;$

$-{10}^n\left(n\ge 3\right)\iff -\infty ;$

${10}^{-n}\left(n\ge 3\right)\iff 0;$

$-{10}^{-n}\left(n\ge 3\right)\iff 0.$

2. Đường tiệm cận đứng

Định nghĩa: Đường thẳng x = a gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:

$\underset{x\to a^{-}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty ,$ $\underset{x\to a^{+}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty ,$ $\underset{x\to a^{-}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty ,$ $\underset{x\to a^{+}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty .$

Đường thẳng x = a là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) được minh hoạ như hình vẽ dưới đây.

* Lưu ý:

- Điều kiện cần để x = x₀ là tiệm cận đứng là x₀ phải là nghiệm của mẫu số (tại x₀ hàm số không xác định) (trừ một số trường hợp loại hàm số khác như: Hàm số logarit).

- Việc tính giới hạn của hàm số tại ${x_0}^{-};{x_0}^{+}$ có thể thực hiện bằng Casio với lệnh CALC (Lệnh tính giá trị biểu thức).

+ Nếu $x\to {x_0}^{-}\Rightarrow$ CALC: x = x₀ - 10^-5.

+ Nếu $x\to x_0^{+}\Rightarrow$ CALC: x = x + 10^-5.

- Đặc biệt đối với hàm số bậc nhất trên bậc nhất $y=\frac{ax+b}{cx+d}\left(C\right)$ thì đồ thị hàm số luôn có 2 đường tiệm cận gồm 1 tiệm cận đứng $x=-\frac{d}{c}$, và 1 tiệm cận ngang $y=\frac{a}{c}.$

3. Đường tiệm cận xiên

Định nghĩa: Đường thẳng y = ax + b (a ≠ 0) gọi là đường tiệm cận xiên (hay tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu:

$\underset{x\to -\infty }{\lim }[f\left(x\right)-\left(ax+b\right)]=0$ hoặc $\underset{x\to +\infty }{\lim }[f\left(x\right)-\left(ax+b\right)]=0.$

Đường thẳng y = ax + b là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) được minh hoạ như hình bên dưới:

* Lưu ý: Đối với hàm số phân thức $f\left(x\right)=\frac{a{x}^2+bx+c}{mx+n}$ ta có thể chia đa thức để biến đổi về dạng

$f\left(x\right)=a^{\text{'}}x+b^{\text{'}}+\frac{e}{mx+n}$ với e ≠ 0.

Suy ra y = a'x + b' là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

II. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Dạng toán: Tìm tiệm cận của đồ thị đã tường minh

1.1. Phương pháp giải

Cho hàm số y = f(x). Để tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số thì ta làm như sau:

• Các bước tìm đường tiệm cận ngang:

Bước 1: Tính giới hạn $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)$ và $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right).$

Bước 2: Xem ở “vị trí” nào ra kết quả hữu hạn thì ta kết luận có tiệm cận ngang ở “vị trí” đó.

• Các bước tìm đường tiệm cận đứng:

Bước 1: Tìm nghiệm của mẫu, giả sử nghiệm đó là x = x₀.

Bước 2: Tính giới hạn một bên tại x = x₀. Nếu xảy ra $\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\infty$ hoặc $\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\infty$ thì ta kết luận x = x₀ là đường tiệm cận đứng.

• Tìm đường tiệm cận xiên: Có thể tìm hệ số a, b trong phương trình của đường tiệm cận xiên y = ax + b theo công thức sau: $a=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x},$ $b=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-ax\right]$ hoặc $a=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x},$$b=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-ax\right]$

1.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{2}{x-1}$ là đường thẳng

A. x = 1.

B. y = 2.

C. x = 0.

D. y = 0.

Hướng dẫn giải

Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2}{x-1}=0;\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2}{x-1}=0.$

Vậy đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Chọn D.

Ví dụ 2. Đồ thị hàm số $y=\frac{x+2}{1-2x}$ có đường tiệm cận đứng là

A. $y=-\frac{1}{2}.$

B. $x=-\frac{1}{2}.$

C. x = 2.

D. $x=\frac{1}{2}.$

Hướng dẫn giải

Ta có Theo đề bài, Chọn D.

Ví dụ 3. Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{\sqrt{x+9}-3}{x^2+x}$ là

A. 1.

B. 2.

C. 0.

D. 3.

Hướng dẫn giải

Tập xác định của hàm số: D = [-9; +∞) \ {0; -1}.

Ta có $\underset{x\to {(-1)}^{+}}{\lim }y=\underset{x\to {(-1)}^{-}}{\lim }\frac{\sqrt{x+9}-3}{x^2+x}=+\infty$ và $\underset{x\to {(-1)}^{-}}{\lim }y=\underset{x\to {(-1)}^{-}}{\lim }\frac{\sqrt{x+9}-3}{x^2+x}=-\infty .$

⇒ TCĐ: x = -1.

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{\sqrt{x+9}-3}{x^2+x}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x}{\left(x^2+x\right)(\sqrt{x+9}+3)}$$=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{(x+1)(\sqrt{x+9}+3)}=\frac{1}{6}$

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{\sqrt{x+9}-3}{x^2+x}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{x}{\left(x^2+x\right)(\sqrt{x+9}+3)}$$=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{1}{(x+1)(\sqrt{x+9}+3)}=\frac{1}{6}$

⇒ x = 0 không là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng. Chọn A.

Ví dụ 4. Tìm đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $f\left(x\right)=\frac{x^2+3x}{x-2}.$

A. y = 2x - 5.

B. y = x - 2.

C. y = x + 5.

D. y = x - 5.

Hướng dẫn giải

Ta có:

$a=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2+3x}{x\left(x-2\right)}=1$;

$b=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-x\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{5x}{x-2}=5$

Vậy đường thẳng y = x + 5 là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho khi $x\to +\infty$

Tương tự do $a=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f\left(x\right)}{x}=1$ và $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-x\right]=5$ nên đường thẳng y = x + 5 là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho khi $x\to -\infty$. Chọn C.

Ví dụ 5. Cho hàm số $y=\frac{2x^2-3x-1}{x-2}$. Tiệm cận xiên của đồ thì hàm số là đường thẳng:

A. y = 2x - 1.

B. y = 2x + 1.

C. y = 2x - 3.

D. y = 2x + 3.

Hướng dẫn giải

Chia tử thức cho mẫu thức ta được Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là đường thẳng có phương trình y = 2x + 1. Chọn B.

................................

................................

................................

III. CÂU HỎI VẬN DỤNG

Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn

Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án đúng nhất.

Câu 1. Cho hàm số y = f(x) có $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=1$ và $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)=-1.$ Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

A. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng x = 1 và x = -1.

B. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang.

C. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang.

D. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y = 1 và y = -1.

Câu 2. Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{x+1}{x+3}$ là

A. x = -1.

B. x = 1.

C. x = -3.

D. x = 3.

Câu 3. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{4x+1}{x-1}$ là

A. $y=\frac{1}{4}.$

B. y = 4.

C. y = 1.

D. y = -1.

Câu 4. Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau:

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là:

A. 2.

B. 3.

C. 4.

D. 1.

Câu 5. Cho hàm số f(x) có bảng biến thiên như sau:

Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là

A. 1.

B. 2.

C. 4.

D. 3.

................................

................................

................................

Dạng 2. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 16. Cho hàm số $y=\frac{x^2+\left(m-1\right)x+m^2-2m+1}{1-x}$, m là tham số thực. Có bao nhiêu giá trị của m để đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng $\frac{1}{2}.$

Điền đáp án

Câu 17. Gọi S là tập các giá trị nguyên của m sao cho đồ thị hàm số $y=\frac{2019x}{\sqrt{17x^2-1}-m\left|x\right|}$ có bốn đường tiệm cận (bao gồm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang). Tính số phần tử của tập S.

Điền đáp án

................................

................................

................................

Dạng 3. Câu trắc nghiệm đúng sai

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 19. Cho hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{n{x}^2+1}{mx+1}$ (mn ≠ 0) có đồ thị (C) như hình vẽ:

a) $\frac{n}{m}=-\frac{1}{4}.$

b) $m=-\frac{1}{2}.$

c) m + n = 3.

d) $\underset{x\to +\infty }{\lim }[f\left(x\right)-\frac{1}{2}x]=0.$

................................

................................

................................

Xem thử Tài liệu & Đề thi HSA Xem thử Tài liệu & Đề thi VACT Xem thử Tài liệu & Đề thi TSA Xem thử Tài liệu & Đề thi SPT

Xem thêm tài liệu ôn thi đánh giá năng lực HSA, VACT, đánh giá tư duy TSA hay khác:

• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Góc, khoảng cách trong không gian
• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Thể tích của một số hình khối
• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Nguyên hàm - Tích phân
• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Vectơ và phương pháp tọa độ trong không gian
• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Thống kê và xác suất
• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Một số câu hỏi trích trong các đề thi tham khảo

---