(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Tính đơn điệu của hàm số

Chủ đề Tính đơn điệu của hàm số trong tài liệu ôn thi Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy theo cấu trúc mới nhất đầy đủ lý thuyết trọng tâm, các dạng bài & bài tập đa dạng từ cơ bản đến nâng cao giúp Giáo viên & học sinh có thêm tài liệu ôn thi ĐGNL HSA, VACT và ĐGTD TSA đạt kết quả cao.

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Tính đơn điệu của hàm số

Xem thử Tài liệu & Đề thi HSA Xem thử Tài liệu & Đề thi VACT Xem thử Tài liệu & Đề thi TSA Xem thử Tài liệu & Đề thi SPT

Chỉ từ 200k mua trọn bộ Đề thi & Tài liệu ôn thi ĐGNL - ĐGTD năm 2026 của các trường theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 1133836868 - CT TNHH DAU TU VA DV GD VIETJACK - Ngân hàng MB (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận đề thi

I. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ

1. Tính đơn điệu của hàm số

1.1. Định nghĩa

Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc nửa khoảng và y = f(x) là hàm số xác định trên K. Ta nói:

• Hàm số y = f(x) được gọi là đồng biến trên K nếu $\forall x_1,x_2\in K,x_1<x_2$ thì f(x₁) < f(x₂).

• Hàm số y = f(x) được gọi là nghịch biến trên K nếu $\forall x_1,x_2\in K,x_1<x_2$ thì f(x₁) > f(x₂).

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên tập $K\subset ℝ.$

1.2. Định lí 1

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó:

a) Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì $f^{\text{'}}\left(x\right)\ge 0,\forall x\in K.$

b) Nếu hàm số nghịch biến trên khoảng K thì $f^{\text{'}}\left(x\right)\le 0,\forall x\in K.$

1.3. Định lí 2

Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó:

a) Nếu $f^{\text{'}}\left(x\right)>0,\forall x\in K$ thì hàm số f đồng biến trên K.

b) Nếu $f^{\text{'}}\left(x\right)<0,\forall x\in K$ thì hàm số f nghịch biến trên K.

c) Nếu $f^{\text{'}}\left(x\right)=0,\forall x\in K$ thì hàm số f không đổi trên K.

* Lưu ý: Khoảng K trong định lí trên ta có thể thay thế bởi đoạn hoặc một nửa khoảng. Khi đó phải có thêm giả thuyết “Hàm số liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”.

Chẳng hạn: Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] và f' (x) > 0, $\forall x\in \left(a;b\right)$ thì hàm số f đồng biến trên đoạn [a; b].

Ta thường biểu diễn qua bảng biến thiên như sau:

1.4. Định lí 3. (Mở rộng của định lí 2)

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên $K\subset ℝ.$

• Nếu $f^{\text{'}}\left(x\right)\ge 0,\forall x\in K$ và f' (x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số y = f(x) đồng biến trên K.

• Nếu $f^{\text{'}}\left(x\right)\le 0,\forall x\in K$ và f' (x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên K.

• Nếu $f^{\text{'}}\left(x\right)=0,\forall x\in K$ thì hàm số y = f(x) không đổi trên K.

2. Cực trị của hàm số

2.1. Định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên tập $K\subset ℝ$, trong đó K là một khoảng, một đoạn hoặc nửa khoảng và $x_0\in K.$

• Điểm x₀ gọi là điểm cực đại của hàm số y = f(x) nếu tồn tại một khoảng (a; b) sao cho

$x_0\in \left(a;b\right)\subset K$ và $f\left(x_0\right)>f\left(x\right),\forall x\in \left(a;b\right)\backslash \left\{x_0\right\}.$

Khi đó f(x₀) gọi là giá trị cực đại (hay cực đại) của hàm số y = f(x).

• Điểm x₀ gọi là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) nếu tồn tại một khoảng (a; b) sao cho

$x_0\in \left(a;b\right)\subset K$ và $f\left(x_0\right)<f\left(x\right),\forall x\in \left(a;b\right)\backslash \left\{x_0\right\}.$

Khi đó f(x₀) gọi là giá trị cực tiểu (hay cực tiểu) của hàm số y = f(x).

Điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số được gọi chung là điểm cực trị của hàm số đó; giá trị cực đại (cực đại) và giá trị cực tiểu (cực tiểu) của hàm số được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) của hàm số đó.

Nếu x₀ là điểm cực trị của hàm số y = f(x) thì điểm M (x₀; f(x₀)) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số y = f(x).

2.2. Định lí

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a, b) chứa điểm x₀ và có đạo hàm trên các khoảng (a; x₀) và (x₀; b). Khi đó:

• Nếu f' (x) < 0 với mọi $x\in \left(a;x_0\right)$ và $f^{\text{'}}\left(x\right)>0\forall x\in \left(x_0;b\right)$ thì hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại điểm x₀.

• Nếu f' (x) > 0 với mọi $x\in \left(a;x_0\right)$ và $f^{\text{'}}\left(x\right)<0\forall x\in \left(x_0;b\right)$ thì hàm số y = f(x) đạt cực đại tại điểm x₀.

2.3. Các bước tìm điểm cực trị của hàm số f (x)

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số f (x).

Bước 2. Tính đạo hàm f' (x). Tìm các điểm x_i (i = 1, 2, ... , n) mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.

Bước 3. Sắp xếp các điểm x_i theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên của hàm số f (x) hoặc bảng xét dấu f '(x).

Bước 4. Kết luận về các điểm cực trị của hàm số.

II. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Dạng toán. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số cho trước

1.1. Phương pháp giải

Để tìm khoảng đơn điệu của hàm số cho trước, ta thực hiện như sau:

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số y = f (x).

Bước 2.Tính đạo hàm f'(x). Tìm các điểm x_i (i = 1, 2, ... , n) mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.

Bước 3. Sắp xếp các điểm x_i theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên của f (x) hoặc bảng xét dấu của f'(x).

Bước 4. Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

* Lưu ý: Để phù hợp thi trắc nghiệm các em có thể chi cần xét dấu y' là có thể kết luận được tính đơn điệu của hàm số mà không nhất thiết phải vẽ bảng biến thiên.

1.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Cho hàm số y = x⁴ - 2x². Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; -2)

B. Hàm số đồng biến trên khoảng (−1; 1)

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1; 1)

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; -2)

Hướng dẫn giải

TXĐ: $D=ℝ.$

Ta có y' = 4x³ - 4x; y' = 0 $\iff$ 4x³ - 4x = 0

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng (-1; 0), (1; +∞); hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1), (0; 1). Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞; -2). Chọn D.

Ví dụ 2. Hàm số y = -x³ + 3x² - 2 đồng biến trên khoảng

A. (0; 2).

B. (-∞; 0).

C. (1; 4).

D. (4; +∞).

Hướng dẫn giải

Tập xác định $D=ℝ.$

Ta có: y' = -3x² + 6x; y' = 0

Bảng xét dấu của y' như sau:

Nhìn vào bảng xét dấu của y' ta thấy hàm số y = -x³ + 3x² - 2 đồng biến trên khoảng (0; 2).

Vậy hàm số y = -x³ + 3x² - 2 đồng biến trên khoảng (0; 2). Chọn A.

Ví dụ 3. Hàm số $y=\sqrt{2018x-x^2}$ nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau đây?

A. (1010; 2018).

B. (2018; +∞).

C. (0; 1009).

D. (1; 2018).

Hướng dẫn giải

TXD: D = [0; 2018]

Ta có $y^{\text{'}}={\left(\sqrt{2018x-x^2}\right)}^{\text{'}}=\frac{2018-2x}{2\sqrt{2018x-x^2}}$$=\frac{1009-x}{\sqrt{2018x-x^2}};y^{\text{'}}=0\iff x=1009.$

$y^{\text{'}}<0\iff x\in \left(1009;2018\right)$, suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (1009; 2018), suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng (1010; 2018). Chọn A.

................................

................................

................................

III. CÂU HỎI VẬN DỤNG

Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn

Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án đúng nhất.

Câu 1. Cho hàm số y = x³ - 2x² + x + 1. Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên $\left(\frac{1}{3};1\right).$

B. Hàm số nghịch biến trên $\left(-\infty ;\frac{1}{3}\right).$

C. Hàm số đồng biến trên $\left(\frac{1}{3};1\right).$

D. Hàm số nghịch biến trên $\left(-1;+\infty \right).$

Câu 2. Cho hàm số y = x⁴ - 2x². Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; -2).

B. Hàm số đồng biến trên khoảng (−∞; -2).

C. Hàm số đồng biến trên (−1; 1).

D. Hàm số nghịch biến trên (−1; 1).

Câu 3. Trên khoảng nào sau đây, hàm số $y=\sqrt{-x^2+2x}$ đồng biến?

A. (1; +∞)

B. (1; 2).

C. (0; 1).

D. (−∞; 1)

Câu 4. Cho hàm số $y=\frac{5}{x-2}.$ Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. Hàm số đồng biến trên $ℝ$ \ {2}.

B. Hàm số nghịch biến trên (−2; +∞)

C. Hàm số nghịch biến trên (−∞; 2) và (2; +∞)

D. Hàm số nghịch biến trên $ℝ$.

Câu 5. Quan sát đồ thị của hàm y = f(x) ở hình bên và chọn mệnh đề sai.

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (3; +∞).

B. Hàm số đồng biến trên khoảng (−1; 3).

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; -1).

D. Hàm số đồng biến trên khoảng (0; 2).

................................

................................

................................

Dạng 2. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 21. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y = $\frac{1}{3}$(m² - m) x³ + 2mx² + 3x - 2 đồng biến trên khoảng (−∞; +∞)?

Điền đáp án

Câu 22. Cho hàm số f (x) có đạo hàm f' (x) = x² (x - 1)(m - x² - 3). Có bao nhiêu số nguyên âm m để hàm số y = f (x²) đồng biến trên khoảng (1; +∞)?

Điền đáp án

................................

................................

................................

Dạng 3. Câu trắc nghiệm đúng sai

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 24. Cho hàm số y = $\frac{1}{3}$x³ + (m + 1) x² + (m² + 2m) x - 3, với m là tham số.

a) Tập xác định của hàm số là $ℝ.$

b) Phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt là x₁ = -m và x = -m - 2.

c) Không tồn tại giá trị của tham số m để hàm số đồng biến trên $ℝ.$

d) Hàm số nghịch biến trên (-1; 1) khi và chỉ khi $m\ge -1.$

................................

................................

................................

Xem thử Tài liệu & Đề thi HSA Xem thử Tài liệu & Đề thi VACT Xem thử Tài liệu & Đề thi TSA Xem thử Tài liệu & Đề thi SPT

Xem thêm tài liệu ôn thi đánh giá năng lực HSA, VACT, đánh giá tư duy TSA hay khác:

• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Góc, khoảng cách trong không gian
• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Thể tích của một số hình khối
• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Nguyên hàm - Tích phân
• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Vectơ và phương pháp tọa độ trong không gian
• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Thống kê và xác suất
• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Một số câu hỏi trích trong các đề thi tham khảo

---