(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Tính liên tục của hàm số

Chủ đề Tính liên tục của hàm số trong tài liệu ôn thi Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy theo cấu trúc mới nhất đầy đủ lý thuyết trọng tâm, các dạng bài & bài tập đa dạng từ cơ bản đến nâng cao giúp Giáo viên & học sinh có thêm tài liệu ôn thi ĐGNL HSA, VACT và ĐGTD TSA đạt kết quả cao.

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Tính liên tục của hàm số

Xem thử Tài liệu & Đề thi HSA Xem thử Tài liệu & Đề thi VACT Xem thử Tài liệu & Đề thi TSA Xem thử Tài liệu & Đề thi SPT

Chỉ từ 200k mua trọn bộ Đề thi & Tài liệu ôn thi ĐGNL - ĐGTD năm 2025 của các trường theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận đề thi

I. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ

1. Hàm số liên tục tại một điểm

Định nghĩa 1: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K và x₀ ∈ K. Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại x₀ nếu $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=f\left(x_0\right)$. Hàm số không liên tục tại điểm x₀ được gọi là gián đoạn tại điểm x₀.

2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn

Định nghĩa 2:

• Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.

• Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó liên tục trên khoảng (a;b) và $\underset{x\to a^{+}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(a\right),\underset{x\to b^{-}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(b\right)$.

Nhận xét: Đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một “đường liền” trên khoảng đó.

3. Một số định lí cơ bản

3.1. Định lí 1

a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực ℝ.

b) Hàm số phân thức hữu ti và hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.

3.2. Định lí 2

Giả sử y = f(x) và y = g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x₀. Khi đó:

a) Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) - g(x) và y = f(x).g(x) liên tục tại x₀;

b) Hàm số $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ liên tục tại x₀ nếu $g\left(x_0\right)\ne 0$.

3.3. Định lí 3

Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Nếu $f\left(a\right)\ne f\left(b\right)$ thì với mỗi số thực M nằm giữa f(a) và f(b), tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a;b) sao cho f(c) = M.

* Hệ quả

Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0, thì tồn tại it nhất một điểm c ∈ (a;b) sao cho f(c) = 0.

II. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Dạng toán 1: Hàm số liên tục tại một điểm, trên một tập

1.1. Phương pháp giải

Phương pháp: Sử dụng định nghĩa hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K và x₀ ∈ K.

Hàm số liên tục tại x₀ nếu $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=f\left(x_0\right)$.

* Lưu ý:

• Nếu hàm số muốn liên tục tại x₀ thì trước hết hàm số phải xác định tại điểm đó.

• Hàm số $y=\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right),\text{ khi }x\ne x_0\\ g\left(x\right),\text{ khi }x=x_0\end{array}\right.$ liên tục tại x = x₀ ⇔ $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=g\left(x_0\right)$.

• Hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}f\left(x\right),\text{ khi }x\ge x_0\\ g\left(x\right),\end{array}\right.$ khi x < x₀ liên tục tại điểm x = x₀ khi và chi khi

$\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }g\left(x\right)=f\left(x_0\right)$.

1.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x^3-27}{x^2-x-6}\\ \frac{27}{5}\end{array}\right.$, khi x ≠ 3 khi x = 3. Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x = 3.

Hướng dẫn giải

Hàm số xác định trên ℝ.

Ta có $f\left(3\right)=\frac{27}{5}$;

Vậy hàm số liên tưc tại điểm x = 3.

Ví dụ 2. Cho hàm số . Tìm m đề hàm số liên tục tại điểm x = -1.

Hướng dẫn giải

Hàm số xác định trên ℝ. Tại điểm x = -1

Ví dụ 3. Cho hàm số . Tìm a để hàm số liên tục tại x₀ = 1.

A. −3.

B. 2.

C. $\frac{-2}{3}$.

D. −2.

Hướng dẫn giải

2. Dạng toán 2: Chứng minh phương trình có nghiệm

2.1. Phương pháp giải

Để chứng minh phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên D, ta chứng minh hàm số y = f(x) liên tục trên D và có hai số a, b ∈ D sao cho f(a).f(b) < 0.

2.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Chứng minh rằng phương trình x²⁰²⁴ + 3x⁵ - 1 = 0 có ít nhất một nghiệm.

Hướng dẫn giải

Ta có hàm số f(x) = x²⁰²⁴ + 3x⁵ - 1 liên tục trên ℝ và f(0).f(1) = -3 < 0

Suy ra phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0;1).

Ví dụ 2. Chứng minh rằng phương trình x²sinx + xcosx + 1 = 0 có ít nhất một nghiệm.

Hướng dẫn giải

Ta có hàm số f(x) = x²sinx + xcosx + 1 liên tục trên ℝ và f(0).f(π) = -π + 1 < 0. Suy ra phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0;π).

Ví dụ 3. Chứng minh rằng phương trình $\sqrt{x^5+2x^3+25x^2+14x+2}=3x^2+x+1$ có đúng 5 nghiệm phân biệt.

Hướng dẫn giải

Phương trình đã cho tương đương với x⁵ + 2x³ + 25x² + 14x + 2 = (3x² + x + 1)²

⇔ x⁵ - 9x⁴ - 4x³ + 18x² + 12x + 1 = 0.

Hàm số f(x) = x⁵ - 9x⁴ - 4x³ + 18x² + 12x + 1 liên tục trên ℝ

Ta có: f(-2) = -95 < 0, f(-1) = 1 > 0, $f\left(-\frac{1}{2}\right)=-\frac{19}{32}$ < 0

f(0) = 1 > 0, f(2) = -47 < 0, f(10) = 7921 > 0.

Ví dụ 4. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn $\left\{\begin{array}{l}-8+4a-2b+c>0\\ 8+4a+2b+c<0\end{array}\right.$. Số giao điểm của đồ thị hàm số y = x³ + ax² + bx + c và trục Ox là

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Hướng dẫn giải

Từ (1), (2) và (3) ta suy ra số giao điểm của đồ thị hàm số và trục Ox bằng 3. Chọn D.

III. CÂU HỎI VẬN DỤNG

Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn

Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án đúng nhất.

Câu 1. Cho hàm số Tìm tất cả các giá trị của tham số thực m để hàm số liên tục trên ℝ.

A. m = 3.

B. m = 4.

C. m = 5.

D. m = 6.

Câu 2. Cho hàm số Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A. f(x) liên tục trên ℝ.

B. f(x) liên tục trên ℝ \ {0}.

C. f(x) liên tục trên ℝ \ {1}.

D. f(x) liên tục trên ℝ \ {0;1}.

Câu 3. Cho hàm số Tìm k để f(x) gián đoạn tại x = 1.

A. $k\ne \pm 2$.

B. k ≠ 2.

C. k ≠ -2.

D. $k\ne \pm 1$.

Câu 4. Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\cos \frac{\pi x}{2}\text{ khi }\left|x\right|\le 1\\ \left|x-1\right|\text{ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}khi }\left|x\right|>1\end{array}\right.$. Khẳng định nào sau đây đúng nhất?

A. Hàm số liên tục tại tại x = 1 và x = -1.

B. Hàm số liên tục tại x = 1, không liên tục tại điểm x = -1.

C. Hàm số không liên tục tại tại x = 1 và x = -1.

D. Hàm số liên tục tại x = -1, không liên tục tại điểm x = 1.

Câu 5. Tìm a để các hàm số liên tục tại x = 0.

A. $\frac{1}{2}$.

B. $\frac{1}{4}$.

C. $-\frac{1}{6}$.

D. 1.

Câu 6. Tìm a để các hàm số liên tục tại x = 1.

A. $\frac{1}{2}$.

B. $\frac{1}{4}$.

C. 1.

D. $\frac{3}{4}$.

Câu 7. Cho hàm số , m là tham số. Tìm giá trị của m để hàm số liên tục tại x = 0.

A. $m=\frac{1}{2}$.

B. m = 0.

C. m = 1.

D. $m=-\frac{1}{2}$.

Câu 8. Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\sin x,\left|x\right|\le \frac{\pi }{2}\\ ax+b,\left|x\right|>\frac{\pi }{2}\end{array}\right.$. Giá trị của a, b để hàm số liên tục trên ℝ:

A. $\left\{\begin{array}{l}a=\frac{2}{\pi }\\ b=1\end{array}\right.$.

B. $\left\{\begin{array}{l}a=\frac{2}{\pi }\\ b=2\end{array}\right.$.

C. $\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{\pi }\\ b=0\end{array}\right.$.

D. $\left\{\begin{array}{l}a=\frac{2}{\pi }\\ b=0\end{array}\right.$.

Câu 9. Cho hàm số . Tìm b để f(x) liên tục tại x = 3.

A. $\sqrt{3}$.

B. $-\sqrt{3}$.

C. $\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

D. $-\frac{2\sqrt{3}}{3}$.

Câu 10. Cho hàm số . Tìm a để hàm số liên tục tại x₀ = 1.

A. −3.

B. 2.

C. $\frac{-2}{3}$.

D. −2.

................................

................................

................................

Dạng 2. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 16. Cho hàm số . Giá trị của a để hàm số liên tục tại x₀ = 1 là a = ...

Điền đáp án

Câu 17. Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\sin x\text{\hspace{1em} khi }\cos x\ge 0\\ 1+\cos x\text{ \hspace{0.17em}khi }\cos x<0\end{array}\right.$. Hàm số f(x) có tất cả bao nhiêu điểm gián đoạn trên khoảng (0;2025).

Điền đáp án

................................

................................

................................

Dạng 3. Câu trắc nghiệm đúng sai

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 19. Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình dưới đây:

a) Hàm số liên tục trên ℝ

b) Hàm số liên tục trên (-∞;1).

c) Hàm số liên tục trên (4;+∞).

d) Hàm số gián đoạn liên trên (1;4).

................................

................................

................................

Xem thử Tài liệu & Đề thi HSA Xem thử Tài liệu & Đề thi VACT Xem thử Tài liệu & Đề thi TSA Xem thử Tài liệu & Đề thi SPT

Xem thêm tài liệu ôn thi đánh giá năng lực HSA, VACT, đánh giá tư duy TSA hay khác:

• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Tập hợp
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Đại số tổ hợp
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Cấp số cộng. Cấp số nhân
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Lũy thừa - Mũ - Logarit

---