(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Ứng dụng cấp số cộng - cấp số nhân vào thực tế

Chủ đề Ứng dụng cấp số cộng - cấp số nhân vào thực tế trong tài liệu ôn thi Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy theo cấu trúc mới nhất đầy đủ lý thuyết trọng tâm, các dạng bài & bài tập đa dạng từ cơ bản đến nâng cao giúp Giáo viên & học sinh có thêm tài liệu ôn thi ĐGNL HSA, VACT và ĐGTD TSA đạt kết quả cao.

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Ứng dụng cấp số cộng - cấp số nhân vào thực tế

Xem thử Tài liệu & Đề thi HSA Xem thử Tài liệu & Đề thi VACT Xem thử Tài liệu & Đề thi TSA Xem thử Tài liệu & Đề thi SPT

Chỉ từ 200k mua trọn bộ Đề thi & Tài liệu ôn thi ĐGNL - ĐGTD năm 2025 của các trường theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận đề thi

I. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Dạng toán 1: Lãi đơn

1.1. Phương pháp giải

Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi đơn r% /kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn (n ∈ ℕ*) là: $S_n=A+nAr\%=A\left(1+nr\%\right)$.

1.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Tính theo phương thức lãi đơn, để sau 2,5 năm rút được cả vốn lẫn lãi số tiền là 10892000 đồng với lãi suất $\frac{5}{3}\%$ một quý thì bạn phải gửi tiết kiệm số tiền bao nhiêu?

A. 9 336 000.

B. 10 456 000.

C. 617 000.

D. 2 108 000.

Hướng dẫn giải

Đây là bài toán lãi đơn với chu kỳ là một quý.

Vậy 2,5 năm ứng với 10 chu kỳ.

Với x là số tiền gửi tiết kiệm, ta có: $10892000=x\left(1+10\cdot \frac{5}{3.100}\right)$ => x = 9336000. Chọn A.

Ví dụ 2. Bạn Lan gửi 1500 USD với lãi suất đơn cố định theo quý. Sau 3 năm, số tiền bạn ấy nhận được cả gốc lẫn lãi là 2320 USD. Hỏi lãi suất tiết kiệm là bao nhiêu một quý? (làm tròn đến hàng phần nghìn).

A. 0,182.

B. 0,046.

C. 0,015.

D. 0,037.

Hướng dẫn giải

Đây là bài toán lãi đơn, chu kỳ là một quý. Áp dụng công thức, ta có: 2320 = 1500(1 + 12r%) bấm máy tính ta được lãi suất là r% ≈ 0,046 một quý. Chọn B.

2. Dạng toán 2: Lãi kép

2.1. Phương pháp giải

Khách hàng gửi vào ngân hàng A đồng với lãi kép r% /kì hạn thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n kì hạn (n ∈ ℕ*) là: $S_n=A{\left(1+r\%\right)}^n$.

2.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Bà Mai gửi tiết kiệm ngân hàng Vietcombank số tiền 50 triệu đồng với lãi suất 0,79% một tháng, theo phương thức lãi kép. Tính số tiền cả vốn lẫn lãi bà Mai nhận được sau 2 năm?

A. 60 393 000 đồng.

B. 50 793 000 đồng.

C. 50 790 000 đồng.

D. 59 480 000 đồng.

Hướng dẫn giải

Đây là bài toán lãi kép với chu kỳ là một tháng, ta áp dụng công thức A(1 + r)ⁿ với A = 50 triệu đồng, r% = 0,79% và n = 2.12 = 24 tháng.

Số tiền bà Mai nhận được sau 2 năm là: $50{\left(1+\mathrm{0,0079}\right)}^{24}\approx \mathrm{60,393}$ (triệu đồng) = 60 393 000 (đồng).

Chọn A.

Ví dụ 2. Chị Thanh gửi ngân hàng 155 triệu đồng, với lãi suất 1,02% một quý. Hỏi sau một năm số tiền lãi chị nhận được là bao nhiêu?

A. 161 421 000 đồng.

B. 6 324 000 đồng.

C. 1 581 000 đồng.

D. 6 421 000 đồng.

Hướng dẫn giải

Số tiền lãi chính là tổng số tiền cả gốc lẫn lãi trừ đi số tiền gốc, nên ta có tiền lãi là

$155\cdot {\left(1+\mathrm{0,0102}\right)}^4-155\approx \mathrm{6,421}$ (triệu đồng) = 6 421 000 (đồng). Chọn D.

3. Dạng toán 3: Gửi tiết kiệm hàng tháng

3.1. Phương pháp giải

Đầu mỗi tháng khách hàng gửi vào ngân hàng số tiền A đồng với lãi kép r% / tháng thì số tiền khách hàng nhận được cả vốn lẫn lãi sau n tháng (n ∈ ℕ*) (nhận tiền cuối tháng, khi ngân hàng đã tính lãi) là S_n. Từ đó ta có công thức tổng quát $S_n=\frac{A}{r}\left[{\left(1+r\%\right)}^n-1\right]\left(1+r\%\right)$.

3.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Đầu mỗi tháng ông Mạnh gửi ngân hàng 580 000 đồng với lãi suất 0,7%/ tháng. Sau 10 tháng thì số tiền ông Mạnh nhận được cả gốc lẫn lãi (sau khi ngân hàng đã tính lãi tháng cuối cùng) là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Sau 10 tháng thì số tiền cả gốc và lãi mà ông Mạnh nhận được là:

Ví dụ 2. Đầu mỗi tháng thầy Quân gửi ngân hàng 3 000 000 đồng với lãi suất 0,6% / tháng. Hỏi ít nhất sau bao nhiêu tháng thì thầy Quân thu được số tiền cả gốc và lãi trên 100 triệu đồng?

Hướng dẫn giải

Số tiền cả gốc và lãi mà thầy Quân nhận được sau n tháng là:

Vậy sau ít nhất 31 tháng thì thầy Quân sẽ thu được cả gốc và lãi là trên 100 triệu đồng.

4. Dạng toán 4: Vay trả góp

4.1. Phương pháp giải

Vay từ ngân hàng số tiền A đồng với lãi kép r%/tháng. Sau đúng 1 tháng kể từ ngày vay bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ cách nhau đúng 1 tháng, số tiền hoàn nợ là a đồng. Từ đó số tiền cần trả hàng tháng để sau n tháng hết nợ là: $a=\frac{Ar\%\cdot {\left(1+r\%\right)}^n}{{\left(1+r\%\right)}^n-1}$.

4.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Chị Minh vay số tiền 50 triệu đồng với lãi suất là 1,15%/tháng trong vòng 4 năm. Hỏi hàng tháng chị Minh phải trả góp với số tiền bao nhiêu để sau 4 năm thì hết nợ.

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức vay trả góp ta có: $a=\frac{Ar\%\cdot {\left(1+r\%\right)}^n}{{\left(1+r\%\right)}^n-1}$ = $\frac{50\cdot \mathrm{1,15}\%\cdot {\mathrm{1,0115}}^{48}}{{\mathrm{1,0115}}^{48}-1}\approx \mathrm{1,36}$.

Vậy hàng tháng chị Minh phải trả góp số tiền là 1,36 triệu đồng thì sau 4 năm sẽ hết nợ.

5. Dạng toán 5: Một số dạng toán thực tế khác

5.1. Phương pháp giải

Vận dụng linh hoạt các công thức đã học của cấp số cộng và cấp số nhân để thực hiện giải toán.

5.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Một loại vi khuẩn sau mỗi phút số lượng tăng gấp đôi biết rằng sau 5 phút người ta đếm được có 64 000 con hỏi sau bao nhiêu phút thì có được 2 048 000 con.

A. 10.

B. 11.

C. 26.

D. 50.

Hướng dẫn giải

Số lượng vi khuẩn tăng lên là cấp số nhân (u_n) với công bội q = 2.

Ta có u₆ = 64000 => u₁.q⁵ = 64000 => u₁ = 2000.

Sau n phút thì số lượng vi khuẩn là u_n+1.

u_n+1 = 2048000 => u₁.qⁿ = 2048000 => 2000.2ⁿ = 2048000 => n = 10.

Vậy sau 10 phút thì có được 2 048 000 con. Chọn A.

Ví dụ 2. Một du khách vào chuồng đua ngựa đặt cược theo tỉ lệ đặt 1 ăn 2 (nghĩa là đặt 10 000 đồng thì khi thắng số tiền thu về là 20 000 đồng), lần đầu đặt 20 000 đồng, mỗi lần sau tiền đặt gấp đôi số tiền lần đặt trước. Người đó thua 9 lần liên tiếp và thắng ở lần thứ 10. Hỏi du khách trên thắng hay thua bao nhiêu tiền?

A. Hòa vốn.

B. Thua 20 000 đồng.

C. Thắng 20 000 đồng.

D. Thua 40 000 đồng.

Hướng dẫn giải

Số tiền đặt cược cho mỗi lần của du khách là một cấp số nhân (u_n) với u₁ = 20 000 và công bội q = 2.

Số tiền đặt cược ở lần thứ 10 là u₁₀ = u₁.q⁹.

Số tiền du khách này thắng ở lần đặt cược thứ 10 là: 2u₁₀.

Tổng số tiền du khách này tham gia trong 10 lần đặt cược là: $S_{10}=\frac{u_1\left(1-q^{10}\right)}{1-q}$.

Sau 10 lần đặt cược số tiền người này thu được là:

$2u_{10}-S_{10}=2\cdot 20000\cdot 2^9-20\left(2^{10}-1\right)=20000$.

Vậy cuối cùng người du khách đó thắng được số tiền là 20 000 đồng. Chọn C.

II. CÂU HỎI VẬN DỤNG

Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn

Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án đúng nhất.

Câu 1. Dân số thế giới cuối năm 2010, ước tính 7 tỉ người. Hỏi với mức tăng trưởng dân số 1,5% mỗi năm thì cuối năm 2020 dân số thế giới là bao nhiêu?

A. 8,12 tỉ người.

B. 8,05 tỉ người.

C. 8 tỉ người.

D. 8,10 tỉ người.

Câu 2. Giả sử cứ sau một năm diện tích rừng của nước ta giảm x phần trăm diện tích hiện có. Hỏi sau 4 năm diện tích rừng của nước ta sẽ là bao nhiêu lần diện tích hiện nay?

A. $1-\frac{4x}{100}$.

B. $1-\frac{x^4}{100}$.

C. ${\left(1-\frac{x}{100}\right)}^4$.

D. $1-{\left(\frac{x}{100}\right)}^4$.

Câu 3. Một bể nước có dung tích 1000 lít. Người ta mở vòi cho nước chảy vào bể, ban đầu bể cạn nước. Trong giờ đầu vận tốc nước chảy vào bể là 1 lít/1phút. Trong các giờ tiếp theo vận tốc nước chảy giờ sau gấp đôi giờ liền trước. Hỏi sau khoảng thời gian bao lâu thì bể đầy nước (kết quả gần đúng nhất).

A. 3,14 giờ.

B. 4,64 giờ.

C. 4,14 giờ.

D. 3,64 giờ.

Câu 4. Một gia đình cần khoan một cái giếng để lấy nước. Họ thuê một đội khoan giếng nước. Biết giá của mét khoan đầu tiên là 80 000 đồng, kể từ mét khoan thứ hai giá của mỗi mét khoan tăng thêm 5 000 đồng so với giá của mét khoan trước đó. Biết cần phải khoan sâu xuống 50 m mới có nước. Hỏi phải trả bao nhiêu tiền để khoan cái giếng đó?

A. 10 125 000 đồng.

B. 52 500 000 đồng.

C. 52 500 000 đồng.

D. 4 000 000 đồng.

Câu 5. Trong tháng 12, lớp 11A dự kiến quyên góp tiền để đi làm từ thiện như sau: ngày đầu tiên quyên góp, mỗi bạn bỏ 2000 đồng vào lợn, từ ngày thứ hai trở đi mỗi bạn bỏ vào lợn hơn ngày liền trước đó 500 đồng. Hỏi sau 28 ngày lớp 11A quyên góp được bao nhiêu tiền? Biết lớp có 40 bạn.

A. 8 800 000 đồng.

B. 9 800 000 đồng.

C. 10 800 000 đồng.

D. 10 800 000 đồng.

Câu 6. Tế bào E. Coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20 phút lại phân đối một lần. Giả sử 1 tế bào E. Coli khối lượng khoảng 15 ∙ 10^-15g. Hỏi sau 2 ngày khối lượng do 1 tế bào vi khuẩn sinh ra là bao nhiêu? (chọn đáp án chính xác nhất).

A. 2,34 ∙ 10²⁹ (g).

B. 3,36 ∙ 10²⁹ (g).

C. 2,25 ∙ 10²⁶ (kg).

D. 3,35 ∙ 10²⁶ (kg).

Câu 7. Tính đến đầu năm 2011, dân số toàn tỉnh Bình Phước đạt gần 905 300, mức tăng dân số là 1,37% mỗi năm. Tỉnh thực hiện tốt chủ trương 100% trẻ em đúng độ tuổi đều vào lớp 1. Đến năm học 2024-2025 ngành giáo dục của tỉnh cần chuẩn bị bao nhiêu phòng học cho học sinh lớp 1, mỗi phòng dành cho 35 học sinh? (Giả sử trong năm sinh của lứa học sinh vào lớp 1 đó toàn tỉnh có 2 400 người chết, số trẻ tử vong trước 6 tuổi không đáng kể)

A. 458.

B. 222.

C. 459.

D. 221.

Câu 8. Ông An bắt đầu đi làm với mức lương khởi điểm là 1 triệu đồng một tháng. Cứ sau 3 năm thì ông An được tăng lương 40%. Hỏi sau tròn 20 năm đi làm tổng tiền lương ông An nhận được là bao nhiêu (làm tròn đến hai chữ số thập phân sau dấu phẩy)?

A. 726,74 triệu đồng.

B. 71674 triệu đồng.

C. 858,72 triệu đồng.

D. 768,37 triệu đồng.

Câu 9. Ông A gửi 120 triệu đồng tiền vào ngân hàng với lãi suất 6%/ năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau 10 năm, tổng số tiền mà ông A nhận được là bao nhiêu, giả định trong khoảng thời gian này lãi suất không thay đổi và ông A không rút tiền ra? (Lấy kết quả gần đúng đến hàng phần trăm)

A. 215,10 triệu đồng.

B. 214,90 triệu đồng.

C. 224,10 triệu đồng.

D. 234,90 triệu đồng.

Câu 10. Trong thời gian liên tục 25 năm, một người lao động luôn gửi đúng 4 000 000 đồng vào một ngày cố định của tháng ở ngân hàng M với lãi suất không thay đổi trong suốt thời gian gửi tiền là 0,6% tháng. Gọi A đồng là số tiền người đó có được sau 25 năm. Hỏi mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. 3 450 000 000 < A < 3 500 000 000.

B. 3 500 000 000 < A < 3 550 000 000.

C. 3 400 000 000 < A < 3 450 000 000.

D. 3 350 000 000 < A < 3 400 000 000.

................................

................................

................................

Dạng 2. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 16. Bạn An chơi trò chơi xếp các que diêm thành tháp theo quy tắc thể hiện như hình vẽ. Để xếp được tháp có 10 tầng thì bạn An cần đúng bao nhiêu que diêm?

Điền đáp án

Câu 17. Trên bàn cờ có nhiều ô vuông, người ta đặt 7 hạt dẻ vào ô đầu tiên, sau đó đặt vào ô thứ hai số hạt dẻ nhiều hơn ô thứ nhất là 5, tiếp tục đặt vào ô thứ ba số hạt dẻ nhiều hơn ô thứ hai là 5, ... và cứ thế tiếp tục đến ô thứ n. Biết rằng đặt hết số ô trên bàn cờ người ta phải sử dụng 25 450 hạt dẻ. Hỏi bàn cờ có bao nhiêu ô?

Điền đáp án

................................

................................

................................

Dạng 3. Câu trắc nghiệm đúng sai

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 19. Cho tứ giác ABCD có bốn góc tạo thành một cấp số nhân có công bội bằng 2.

a) Số đo góc nhỏ nhất bằng 24°.

b) Số đo góc lớn nhất bằng 196°.

c) Tổng số đo góc lớn nhất với góc nhỏ nhất bằng 220°.

d) Số đo góc lớn nhất trừ cho số đo góc nhỏ nhất bằng 168°.

................................

................................

................................

Xem thử Tài liệu & Đề thi HSA Xem thử Tài liệu & Đề thi VACT Xem thử Tài liệu & Đề thi TSA Xem thử Tài liệu & Đề thi SPT

Xem thêm tài liệu ôn thi đánh giá năng lực HSA, VACT, đánh giá tư duy TSA hay khác:

• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Tập hợp
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Đại số tổ hợp
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Giới hạn. Hàm số liên tục
• (Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Lũy thừa - Mũ - Logarit

---