(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

Chủ đề Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn trong tài liệu ôn thi Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy theo cấu trúc mới nhất đầy đủ lý thuyết trọng tâm, các dạng bài & bài tập đa dạng từ cơ bản đến nâng cao giúp Giáo viên & học sinh có thêm tài liệu ôn thi ĐGNL HSA, VACT và ĐGTD TSA đạt kết quả cao.

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

Xem thử Tài liệu & Đề thi HSA Xem thử Tài liệu & Đề thi VACT Xem thử Tài liệu & Đề thi TSA Xem thử Tài liệu & Đề thi SPT

Chỉ từ 200k mua trọn bộ Đề thi & Tài liệu ôn thi ĐGNL - ĐGTD năm 2026 của các trường theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 1133836868 - CT TNHH DAU TU VA DV GD VIETJACK - Ngân hàng MB (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận đề thi

I. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ

1. Ứng dụng đạo hàm trong tốc độ thay đổi của một đại lượng

• Nếu s = s (t) là hàm vị trí của một vật chuyển động trên một đường thẳng thì v (t) = s' (t) biểu thị vận tốc tức thời của vật (tốc độ thay đổi của độ dịch chuyển theo thời gian). Tốc độ thay đổi tức thời của vận tốc theo thời gian là gia tốc tức thời của vật. Vậy a (t) = v' (t) = s'' (t).

• Nếu C = C (t) là nồng độ của một chất tham gia phản ứng hóa học tại thời điểm t thì C' (t) biểu thị tốc độ phản ứng tức thời (tốc độ thay đổi nồng độ) của chất đó tại thời điểm t.

• Nếu P = P (t) là số lượng cá thể trong một quần thể động vật hoặc thực vật tại thời điểm t thì P' (t) biểu thị tốc độ tăng trưởng tức thời của quần thể tại thời điểm t.

2. Ứng dụng đạo hàm trong bài toán tối ưu kinh tế, xã hội

• Nếu C = C (x) là hàm chi phí, tức là tổng chi phí khi sản xuất x đơn vị hàng hoá thì C' (x) (gọi là chi phí biên) biểu thị tốc độ thay đổi tức thời của chi phí đối với số lượng đơn vị hàng hoá được sản xuất.

• Gọi p (x) là giá bán mỗi đơn vị mà công ty có thể tính nếu bán x đơn vị. Khi đó, p được gọi là hàm cầu (hay hàm giá) và chúng ta mong đợi đó là một hàm giảm của x.

• Nếu x đơn vị được bán và giá mỗi đơn vị là p (x) thì tổng doanh thu là R (x) = x.p (x) và R (x) được gọi là hàm doanh thu.

• Đạo hàm R' (x) của hàm doanh thu được gọi là hàm doanh thu biên và là tốc độ thay đổi của doanh thu đối với số lượng đơn vị sản phẩm bán ra.

• Nếu x đơn vị được bán, thì tổng lợi nhuận là P (x) = R (x) - C (x) và P (x) được gọi là hàm lợi nhuận.

Hàm lợi nhuận biên là đạo hàm P' (x) của hàm lợi nhuận.

3. Ứng dụng đạo hàm cho các bài toán tối ưu trong các mô hình toán học

Chọn ẩn x phù hợp từ mô hình hình học, biểu diễn các yếu tố liên quan đến diện tích, thể tích được hàm số theo yêu cầu bài toán. Tìm điều kiện cho x, khảo sát hàm số và trả lời yêu cầu của bài toán.

II. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Phương pháp giải

• Phương pháp chung:

Bước 1: Chọn ẩn phù hợp

+ Đặt cái gì là ẩn? → Cần đặt làm sao để thiết lập được đại lượng cần tìm giá trị Min, Max là dễ dàng, thuận lợi.

+ Đặt bao nhiêu ẩn?

Bước 2: Thiết lập đại lượng cần tìm Min, Max theo các ẩn đã chọn, từ giả thiết rút thế về hàm 1 ẩn.

Bước 3: Tìm Min, Max hàm số bằng phương pháp khảo sát hàm số, hoặc dùng bất đẳng thức, Casio.

• Một số bất đẳng thức cơ bản:

+ Bất đẳng thức AM – GM cho hai số thực không âm

$a+b\ge 2\sqrt{ab}\iff$$4ab\le {\left(a+b\right)}^2\iff {\left(a-b\right)}^2\ge 0.$

+ Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho các số thực a, b, c, d

${\left(ax+by\right)}^2\le \left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right).$

Dấu “=” xảy ra khi $\frac{a}{x}\text{=}\frac{b}{y}\text{.}$

• Một số bổ đề cơ bản dùng trong các bài toán hai biến

$xy\le \frac{{\left(x+y\right)}^2}{4}\le \frac{\left(x^2+y^2\right)}{2}$ và $x^2+xy+y^2\ge \frac{3}{4}{\left(x+y\right)}^2;$

$x^3+y^3\ge \frac{\left(x+y\right)\left(x^2+y^2\right)}{2}$$\ge \frac{{\left(x+y\right)}^3}{4}\ge xy\left(x+y\right);$

Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân số $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge \frac{4}{x+y}.$

2. Ví dụ

Ví dụ 1. Người ta tiêm một loại thuốc vào mạch máu ở cánh tay phải của một bệnh nhân. Sau thời gian là t giờ, nồng độ thuốc hấp thu trong máu của bệnh nhân đó được xác định theo công thức $C\left(t\right)=\frac{0,28t}{t^2+4}$ (0 < t < 24). Hỏi sau bao nhiêu giờ thì nồng độ thuốc hấp thu trong máu của bệnh nhân đó là cao nhất?

A. 24 giờ.

B. 4 giờ.

C. 2 giờ.

D. 1 giờ.

Hướng dẫn giải

Yêu cầu bài toán: Tìm giá trị của t $\in$ (0; 24) để $C\left(t\right)=\frac{0,28t}{t^2+4}$ đạt giá trị lớn nhất.

Xét hàm số $C\left(t\right)=\frac{0,28t}{t^2+4}$ trên (0; 24), có $C^{\text{'}}\left(t\right)=\frac{0,28\left(t^2+4\right)-0,28t\cdot 2t}{{\left(t^2+4\right)}^2}$$=\frac{-0,28t^2+1,12}{{\left(t^2+4\right)}^2}.$

Phương trình C' (t) = 0

Tính C (2) = 0,07.

Suy ra $\underset{\left(0;24\right)}{\max }C\left(t\right)$ = C (2) = 0,07.

Vậy sau 2 giờ thì nồng độ hấp thu là cao nhất. Chọn C.

Ví dụ 2. Người ta giới thiệu một loại thuốc kích thích sự sinh sản của một loại vi khuẩn. Sau ít phút, số vi khuẩn được xác định theo công thức N (t) = 1000 + 30t² - t³ (0 ≤ t ≤ 30). Hỏi sau bao nhiêu phút thì số vi khuẩn lớn nhất?

A. 10 phút.

B. 20 phút.

C. 30 phút.

D. 15 phút.

Hướng dẫn giải

Yêu cầu bài toán: Tìm giá trị của t ∈ [0; 30] để N (t) = 1000 + 30t² - t³ đạt giá trị lớn nhất.

Xét hàm số N (t) = 1000 + 30t² - t³ trên [0; 30], có N' (t) = 60t - 3t².

Phương trình Tính

Suy ra $\underset{\left(0;30\right)}{\max }N\left(t\right)$ = N (20) = 5000.

Vậy sau 20 phút thì số vi khuẩn là lớn nhất. Chọn B.

Ví dụ 3. Người ta cần xây một hồ chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng $\frac{500}{3}{\text{m}}^{\text{3}}\text{.}$ Đáy hồ là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công để xây hồ là 500 000 đồng / m². Hãy xác định kích thước của hồ nước để chi phí thuê nhân công thấp nhất, khi đó chi phí đó là:

A. 74 triệu đồng.

B. 75 triệu đồng.

C. 76 triệu đồng.

D. 77 triệu đồng.

Hướng dẫn giải

Giả sử khối hộp chữ nhật là ABCD.A'B'C'D' và AB = x, AD = 2x và AA' = h (x, h > 0).

Ta có V = x.2x.h $\iff 2x^{2}h=\frac{500}{3}\iff h=\frac{250}{3x^2}.$

Diện tích cần xây là S = 2x² + 2 (xh + 2xh) = 2x² + 6xh.

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của $S=2x^2+\frac{500}{x}$ với x > 0.

Ta có $2x^2+\frac{250}{x}+\frac{250}{x}\ge 3\sqrt[3]{2x^2\cdot \frac{250}{x}\cdot \frac{250}{x}}$$\iff 2x^2+\frac{250}{x}+\frac{250}{x}\ge 150.$

Dấu đẳng thức xảy ra khi $2x^2=\frac{250}{x}\iff x=5.$

S nhỏ nhất là 150 khi x = 5.

Số tiền chi phí là: 150.500 000 = 75 000 000 đồng hay 75 triệu đồng. Chọn B.

Ví dụ 4. Một ông nông dân có 2 400 m hàng rào và muốn rào lại cánh đồng hình chữ nhật tiếp giáp với một con sông. Ông không cần rào cho phía giáp bờ sông. Hỏi ông có thể rào được cánh đồng với diện tích lớn nhất là bao nhiêu?

A. 360 000 m².

B. 702 000 m².

C. 630 000 m².

D. 720 000 m².

Hướng dẫn giải

Gọi hai kích thước của hình chữ nhật là x và y, với 2x + y = 2400 (0 < x, y < 2400).

Diện tích của mảnh vườn hình chữ nhật là:

$S=xy=\frac{1}{2}2x\cdot y\stackrel{AM-GM}{\le }\frac{{\left(2x+y\right)}^2}{8}$$=\frac{{2400}^2}{8}=720000.$

Vậy ông nông dân có thể rào được cánh đồng với diện tích lớn nhất là 720 000 m². Chọn D.

Ví dụ 5. Một cửa sổ có hình dạng như hình bên, bao gồm: một hình chữ nhật ghép với nửa hình tròn có tâm nằm trên cạnh của hình chữ nhật. Biết rằng tổng độ dài đường viền cho phép của cửa sổ là 4 m. Hỏi diện tích lớn nhất của cửa sổ là bao nhiêu?

A. $S=\frac{4}{4+\pi }.$

B. $S=\frac{8}{4+\pi }.$

C. $S=\frac{4}{8+\pi }.$

D. $S=\frac{8}{8+\pi }.$

Hướng dẫn giải

Gọi

Suy ra $\pi R+2\left(R+x\right)=4$$\iff x=\frac{4-\left(\pi +2\right)R}{2}$ và $S_{\text{nht}}=AB\cdot BC=2Rx;$$S_{\text{hcn}}=\frac{\pi R^2}{2}.$

Tổng diện tích của cửa sổ là

$S=2Rx+\frac{\pi R^2}{2}$$=2R\cdot \frac{4-\left(\pi +2\right)R}{2}+\frac{\pi R^2}{2}$$=R\left[4-\left(\pi +2\right)R\right]+\frac{\pi R^2}{2}$

$=4R-\left(2+\frac{\pi }{2}\right)R^2=$$\frac{8}{4+\pi }-{\left(\sqrt{\frac{8}{4+\pi }}-R\sqrt{2+\frac{\pi }{2}}\right)}^2$$\le \frac{8}{4+\pi }.$

Do đó diện tích lớn nhất của cửa sổ là $S=\frac{8}{4+\pi }.$ Chọn B.

................................

................................

................................

III. CÂU HỎI VẬN DỤNG

Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn

Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án đúng nhất.

Câu 1. Một vật chuyển động theo quy luật $s=-\frac{1}{3}{t}^3+6t^2$ với t (giây) là khoảng thời gian tính từ khi vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian 9 giây kể từ khi bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu?

A. 24 (m/s).

B. 27 (m/s).

C. 144 (m/s).

D. 36 (m/s).

Câu 2. Cho số a > 0. Trong số các tam giác vuông có tổng một cạnh góc vuông và cạnh huyền bằng a, tam giác có diện tích lớn nhất bằng

A. $\frac{\sqrt{3}}{3}{a}^2.$

B. $\frac{\sqrt{3}}{6}{a}^2.$

C. $\frac{\sqrt{3}}{9}{a}^2.$

D. $\frac{\sqrt{3}}{18}{a}^2.$

Câu 3. Một loại thuốc được dùng cho một bệnh nhân và nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân được giám sát bởi bác sĩ. Biết rằng nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân sau khi tiêm vào cơ thể trong t giờ được cho bởi công thức $c\left(t\right)=\frac{t}{t^2+1}$ (mg/ L). Sau khi tiêm thuốc bao lâu thì nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân cao nhất?

A. 4 giờ.

B. 1 giờ.

C. 3 giờ.

D. 2 giờ.

Câu 4. Ông A muốn mua một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích bằng 100 m² để làm khu vườn. Hỏi người đó phải mua mảnh đất có kích thước như thế nào để chi phí xây dựng bờ rào là ít tốn kém nhất?

A. 10 m × 10 m.

B. 4 m × 25 m.

C. 5 m × 20 m.

D. 25 m × 8 m.

Câu 5. Một công ty muốn thiết kế một loại hộp có dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông sao cho thể tích khối hộp được tạo thành là 8 dm³ và diện tích toàn phần đạt giá trị nhỏ nhất. Độ dài cạnh đáy của mỗi hộp muốn thiết kế là

A. $2\sqrt[3]{2}$ dm.

B. 2 dm.

C. 4 dm.

D. $2\sqrt{2}$ dm.

................................

................................

................................

Dạng 2. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 16. Một công ty chuyên sản xuất dụng cụ thể thao nhận được đơn đặt hàng sản xuất 8000 quả bóng rổ. Công ty có một số máy móc, mỗi máy có khả năng sản xuất 30 bóng rổ trong một giờ. Chi phí thiết lập mỗi máy là 200 nghìn đồng. Sau khi thiết lập, quá trình sản xuất sẽ diễn ra hoàn toàn tự động và chỉ cần có người giám sát. Chi phí trả cho người giám sát là 192 nghìn đồng mỗi giờ. Công ty cần sử dụng bao nhiêu máy móc để chi phí hoạt động đạt mức thấp nhất?

Điền đáp án

Câu 17. Một bài báo trong tạp chí xã hội học phát biểu rằng nếu một chương trình chăm sóc sức khỏe đặc biệt cho người già được khởi xướng, thì t năm sau khi nó được khởi động, n ngàn người già có thể trực tiếp nhận được các phúc lợi, trong đó $n=\frac{t^3}{3}-6t^2+32t\left(0\le t\le 12\right)$. Với giá trị nào của t thì số người nhận phúc lợi tối đa là bao nhiêu?

Điền đáp án

................................

................................

................................

Dạng 3. Câu trắc nghiệm đúng sai

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 19. Từ một tấm bìa hình vuông ABCD có cạnh bằng MA² = MB² + MC² người ta cắt bỏ bốn tam giác cân bằng nhau là AMB, BNC, CPD và DQA. Với phần còn lại người ta gấp lên và ghép lại để thành hình chóp tứ giác đều.

Gọi cạnh đáy của mô hình là x (cm) với x > 0.

a) Chiều cao của hình chóp là $\sqrt{1250-25\sqrt{2}x}.$

b) Điều kiện của x là: 0 < x < $25\sqrt{2}.$

c) Thể tích của khối chóp bằng $\frac{1}{3}.\sqrt{1250x^3-25\sqrt{2}{x}^4}.$

d) Khi cạnh đáy của khối chóp bằng $3\sqrt{2}$ dm thì thể tích của khối chóp là lớn nhất.

................................

................................

................................

Xem thử Tài liệu & Đề thi HSA Xem thử Tài liệu & Đề thi VACT Xem thử Tài liệu & Đề thi TSA Xem thử Tài liệu & Đề thi SPT

Xem thêm tài liệu ôn thi đánh giá năng lực HSA, VACT, đánh giá tư duy TSA hay khác:

• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Góc, khoảng cách trong không gian
• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Thể tích của một số hình khối
• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Nguyên hàm - Tích phân
• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Vectơ và phương pháp tọa độ trong không gian
• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Thống kê và xác suất
• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Một số câu hỏi trích trong các đề thi tham khảo

---