(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Xác suất

Chủ đề Xác suất trong tài liệu ôn thi Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy theo cấu trúc mới nhất đầy đủ lý thuyết trọng tâm, các dạng bài & bài tập đa dạng từ cơ bản đến nâng cao giúp Giáo viên & học sinh có thêm tài liệu ôn thi ĐGNL HSA, VACT và ĐGTD TSA đạt kết quả cao.

(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Xác suất

Xem thử Tài liệu & Đề thi HSA Xem thử Tài liệu & Đề thi VACT Xem thử Tài liệu & Đề thi TSA Xem thử Tài liệu & Đề thi SPT

Chỉ từ 200k mua trọn bộ Đề thi & Tài liệu ôn thi ĐGNL - ĐGTD năm 2026 của các trường theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 1133836868 - CT TNHH DAU TU VA DV GD VIETJACK - Ngân hàng MB (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận đề thi

I. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ

1. Quy tắc đếm

1.1. Quy tắc cộng

Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động:

– Hành động thứ nhất có m cách thực hiện;

– Hành động thứ hai có n cách thực hiện (các cách thực hiện của cả hai hành động là khác nhau đôi một).

→ Khi đó số cách hoàn thành công việc là: m + n cách.

* Chú ý: Quy tắc cộng có thể mở rộng cho một công việc được hoàn thành bởi một trong k hành động ($k\in \mathbb{N}$, k > 2).

Nếu A và B là các tập hợp hữu hạn không giao nhau thì: n (A $\cup$ B) = n (A) + n (B).

1.2. Quy tắc nhân

Một công việc phải hoàn qua hai công đoạn liên tiếp nhau:

– Công đoạn một có m cách thực hiện;

– Với mỗi cách thực hiện công đoạn một, có n cách thực hiện công đoạn hai.

→ Khi đó số cách hoàn thành công việc là: m.n cách.

* Chú ý: Quy tắc nhân có thể mở rộng cho một công việc được hoàn thành bởi k hành động liên tiếp ($k\in \mathbb{N}$, k > 2).

2. Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

2.1. Hoán vị

Cho tập hợp A gồm n phần tử ($n\in {\mathbb{N}}^{*}$). Mỗi kết quả của sự sắp xếp n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.

Số các hoán vị của n phần tử là: $P_n=n\left(n-1\right)\cdot \mathrm{...}\cdot 2\cdot 1=n!.$

2.2. Chỉnh hợp

Cho tập hợp A gồm n phần tử và một số nguyên k với $1\le k\le n$. Mỗi kết quả của việc lấy k phần tử từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.

Kí hiệu $A_n^k$ là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử ($1\le k\le n$).

Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử là: $A_n^k=n\left(n-1\right)\cdot \mathrm{...}\cdot \left(n-k+1\right)$ hay $A_n^k=\frac{n!}{\left(n-k\right)!}.$

2.3. Tổ hợp

Cho tập hợp A gồm n phần tử và một số nguyên k với $1\le k\le n$. Mỗi tập con gồm k phần tử được lấy ra từ n phần tử của tập hợp A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đó.

Kí hiệu $C_n^k$ là số các tổ hợp chập k của n phần tử $\left(0\le k\le n\right).$

Số các tổ hợp chập k của n phần tử với $1\le k\le n$ là: $C_n^k=\frac{A_n^k}{k!}.$

Quy ước: 0! = 1, $C_n^0=1$. Khi đó, ta có: $C_n^k=\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}\left(0\le k\le n\right)\text{.}$

3. Xác suất

3.1. Các bước tính xác suất (theo định nghĩa xác suất cổ điển)

Bước 1. Xác định không gian mẫu $\Omega$ rồi tính số phần tử của $\Omega$, tức là đếm số kết quả có thể của phép thử T.

Bước 2. Xác định tập con A mô tả biến cố A rồi tính số phần tử của A, tức là đếm số kết quả thuận loại cho A.

Bước 3. Lấy kết quả của bước 2 chia cho $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}.$

Nhận xét: Việc tính số kết quả có thể (bước 1) thường dễ dàng hơn hiều so với việc tính số kết quả thuận lợi cho A (bước 2). Để giải quyết tốt các bài toán xác suất ta cần nắm chắc phần tổ hợp trước.

Từ định nghĩa cổ điển về xác suất ta suy ra: $P\left(\varnothing \right)=0;P\left(\Omega \right)=1;$ $0\le P\left(A\right)\le 1.$

* Lưu ý: Các kí hiệu n ($\Omega$), n (A) được hiểu tương đương với |$\Omega$|, |$\Omega$_A| là số phần tử của không gian mẫu và của tập hợp thuận lợi cho biến cố A.

Bảng đọc ngôn ngữ biến cố

Kí hiệu	Ngôn ngữ biến cố
$A\subset \Omega$	A là biến cố
A = $\varnothing$	A là biến cố không
A = $\Omega$	A là biến cố chắc chắn
C = A $\cup$ B	C là biến cố hợp: “A hoặc B”
C = A $\cap$ B	C là biến cố giao: “A và B”
A B = $\varnothing$	A và B xung khắc
B = $\overline{A}$	A và B đối nhau

3.2. Các phương pháp tính xác suất

• Tính xác suất bằng định nghĩa: Công thức tính xác suất của biến cố A: $P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}.$

• Quy tắc cộng xác suất:

* Nếu hai biến cố A, B xung khắc nhau thì P (A $\cup$ B) = P (A) + P (B).

* Nếu các biến cố A₁, A₂, A₃, ..., A_k xung khắc nhau thì

$P\left(A_1\cup A_2\cup \dots \cup A_k\right)$ = P (A₁) + P (A₂) + ... + P (A_k).

Vì $A\cup \overline{A}=\Omega$ và $A\cap \overline{A}=\varnothing$ nên theo công thức cộng xác suất thì $1=P\left(\Omega \right)=P\left(A\right)+P\left(\overline{A}\right).$

• Công thức tính xác suất biến cố đối:

Xác suất của biến cố $\overline{A}$ của biến cố A là: P ($\overline{A}$) = 1 - P (A).

• Quy tắc nhân xác suất:

* Nếu A và B là hai biến cố độc lập thì P (AB) = P (A).P (B).

* Một cách tổng quát, nếu k biến cố A₁, A₂, A₃, ..., A_k là độc lập thì

P (A₁A₂A₃ ... A_k) = P (A₁).P (A₂). ... .P (A_k).

* Lưu ý: Nếu A và B độc lập thì A và $\overline{B}$ độc lập, B và $\overline{A}$ độc lập, $\overline{B}$ và $\overline{A}$ độc lập. Do đó nếu A và B độc lập thì ta còn có các đẳng thức:

P (A$\overline{B}$) = P (A).P ($\overline{B}$)

P ($\overline{A}$B) = P ($\overline{A}$).P (B)

P ($\overline{AB}$) = P ($\overline{A}$).P ($\overline{B}$)

Nếu một trong các đẳng thức trên bị vi phạm thì hai biến cố A và B không độc lập với nhau.

4. Xác suất có điều kiện

Cho hai biến cố A và B. Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất của A với điều kiện B, kí hiệu là P (A| B). Nếu P (B) > 0 thì $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(B\right)}.$

Từ định nghĩa của xác suất có điều kiện, suy ra: nếu P (B) > 0 thì $P\left(A\cap B\right)$ = P (B).P (A| B).

* Chú ý:

• Công thức nhân xác suất: Với hai biến cố A và B bất kì thì

$P\left(A\cap B\right)$ = P (A).P (B| A) = P (B).P (A| B).

• Cho hai biến cố A và B với P (B) > 0. Khi đó, ta có: $P\left(A|B\right)=\frac{n\left(A\cap B\right)}{n\left(B\right)}.$

• Cho hai biến cố A và B với 0 < P (A) < 1, 0 < P (B) < 1. Khi đó, A và B là hai biến cố độc lập khi và chỉ khi P (A) = P (A| B) = P (A| $\overline{B}$) và P (B) = P (B| A) = P (B| $\overline{A}$) .

5. Công thức xác suất toàn phần. Công thức Bayes

5.1. Công thức xác suất toàn phần

Cho hai biến cố A và B với 0 < P (B) < 1, ta có công thức xác suất toàn phần:

$P\left(A\right)=P\left(A\cap B\right)+P\left(A\cap \overline{B}\right)$ = P (B)^.P (A| B) + $P\left(\overline{B}\right)\cdot P\left(A|\overline{B}\right).$

5.2. Công thức Bayes

Cho hai biến cố A và B với P (A) > 0, P (B) > 0 ta có: $P\left(B|A\right)=\frac{P\left(B\right)\cdot P\left(A|B\right)}{P\left(A\right)}.$

Nhận xét: Với P (A) > 0, 0 < P (B) < 1 thì ta có

$P\left(A\right)=P\left(A\cap B\right)+P\left(A\cap \overline{B}\right)$ = P (B)^.P (A| B) + $P\left(\overline{B}\right)\cdot P\left(A|\overline{B}\right).$

Nên công thức Bayes còn có dạng

$P\left(B|A\right)=\frac{P\left(B\right)\cdot P\left(A|B\right)}{P\left(B\right)\cdot P\left(A|B\right)+P\left(\overline{B}\right)\cdot P\left(A|\overline{B}\right)}.$

II. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1. Dạng toán: Sử dụng định nghĩa để tính xác suất

1.1. Phương pháp giải

Bước 1. Xác định biến cố của các xác suất, có thể gọi tên các biến cố A; B; C; D để biểu diễn.

Bước 2. Tìm mối quan hệ giữa các biến cố vừa đặt tên, biểu diễn biến cố trung gian và quan trọng nhất là biến cố đề bài đang yêu cầu tính xác suất thông qua các biến cố ở bước 1.

Bước 3. Sử dụng các mối quan hệ vừa xác định ở bước 2 để chọn công thức cộng hay công thức nhân phù hợp.

1.2. Ví dụ

Ví dụ 1. Một con xúc xắc cân đối đồng chất được gieo 5 lần. Xác suất để tổng số chấm ở hai lần gieo đầu bằng số chấm ở lần gieo thứ ba:

A. $\frac{10}{216}.$

B. $\frac{15}{216}.$

C. $\frac{16}{216}.$

D. $\frac{12}{216}.$

Hướng dẫn giải

Số phần tử không gian mẫu: $n\left(\Omega \right)=6\cdot 6\cdot 6\cdot 6\cdot 6=6^5.$

Bộ kết quả của 3 lần gieo thỏa yêu cầu là: (1; 1; 2); (1; 2; 3); (2; 1; 3); (1; 3; 4); (3; 1; 4); (2; 2; 4); (1; 4; 5); (4; 1; 5); (2; 3; 5); (3; 2; 5); (1; 5; 6); (5; 1; 6); (2; 4; 6); (4; 2; 6); (3; 3; 6).

Nên n (A) = 15.6.6 $\Rightarrow P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{15\cdot 6\cdot 6}{6^5}=\frac{15}{216}.$ Chọn B.

Ví dụ 2. Có 2 hộp bút chì màu. Hộp thứ nhất có có 5 bút chì màu đỏ và 7 bút chì màu xanh. Hộp thứ hai có có 8 bút chì màu đỏ và 4 bút chì màu xanh. Chọn ngẫu nhiên mỗi hộp một cây bút chì. Xác suất để có 1 cây bút chì màu đỏ và 1 cây bút chì màu xanh là:

A. $\frac{19}{36}.$

B. $\frac{17}{36}.$

C. $\frac{5}{12}.$

D. $\frac{7}{12}.$

Hướng dẫn giải

Gọi A là biến cố: “có 1 cây bút chì màu đỏ và 1 cây bút chì màu xanh”.

Không gian mẫu: $n\left(\Omega \right)=C_{12}^1\cdot C_{12}^1=144.$

Số cách chọn được 1 bút đỏ ở hộp 1,1 bút xanh ở hộp 2 là: $C_5^1\cdot C_4^1.$

Số cách chọn được 1 bút đỏ ở hộp 2,1 bút xanh ở hộp 1 là: $C_8^1\cdot C_7^1.$

$\Rightarrow n\left(A\right)=C_5^1\cdot C_4^1+C_8^1\cdot C_7^1=76$$\Rightarrow P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{76}{144}=\frac{19}{36}$. Chọn A.

Ví dụ 3. Có 4 hành khách bước lên một đoàn tàu gồm 4 toa. Mỗi hành khách độc lập với nhau và chọn ngẫu nhiên một toa. Tính xác suất để 1 toa có 3 người, một toa có 1 người, 2 toa còn lại không có ai.

A. $\frac{5}{16}.$

B. $\frac{7}{16}.$

C. $\frac{1}{8}.$

D. $\frac{3}{16}.$

Hướng dẫn giải

Không gian mẫu: $n\left(\Omega \right)=4\cdot 4\cdot 4\cdot 4=256.$

Chọn 1 toa để xếp 3 người có 4 cách chọn; xếp 3 người vào toa đó có: $C_4^3=4$ cách.

Chọn 1 toa để xếp 1 người có 3 cách chọn.

Tổng số cách chọn thỏa mãn là: n (A) = 4.4.3 = 48 cách.

Vậy xác suất là: $P\left(A\right)=\frac{n\left(\Omega \right)}{n\left(A\right)}=\frac{48}{256}=\frac{3}{16}.$ Chọn D.

................................

................................

................................

III. CÂU HỎI VẬN DỤNG

Dạng 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án chọn

Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án đúng nhất.

Câu 1. Một người chọn ngẫu nhiên 2 chiếc giày từ 5 đôi giày cỡ khác nhau. Tính xác suất để 2 chiếc giày được chọn tạo thành một đôi.

A. $\frac{1}{2}.$

B. $\frac{1}{10}.$

C. $\frac{7}{9}.$

D. $\frac{1}{9}.$

Câu 2. Có 4 hành khách bước lên một đoàn tàu gồm 4 toa. Mỗi hành khách độc lập với nhau và chọn ngẫu nhiên một toa. Tính xác suất để 1 toa có 3 người, một toa có 1 người, 2 toa còn lại không có ai.

A. $\frac{5}{16}.$

B. $\frac{7}{16}.$

C. $\frac{1}{8}.$

D. $\frac{3}{16}.$

Câu 3. Có hai hộp, mỗi hộp chứa 5 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 5. Rút ngẫu nhiên từ mỗi hộp một tấm thẻ. Tính xác suất để 2 thẻ rút ra đều ghi số chẵn.

A. $\frac{2}{5}.$

B. $\frac{21}{25}.$

C. $\frac{4}{9}.$

D. $\frac{4}{25}.$

Câu 4. Một hộp có 4 quả cầu xanh, 3 quả cầu đỏ và 2 quả cầu vàng. Chọn ngẫu nhiên 2 quả cầu. Tính xác suất để chọn được 2 quả cầu khác màu.

A. $\frac{17}{18}.$

B. $\frac{1}{18}.$

C. $\frac{5}{18}.$

D. $\frac{13}{18}.$

Câu 5. Gọi S là tập các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau được tạo từ tập E = {1; 2; 3; 4; 5}. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S. Tính xác suất để số được chọn là một số chẵn.

A. $\frac{3}{4}.$

B. $\frac{2}{5}.$

C. $\frac{3}{5}.$

D. $\frac{1}{2}.$

................................

................................

................................

Dạng 2. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 16. Tại bệnh viện bỏng Hà Nội, có 70% bệnh nhân bị bỏng do nhiệt và 30% bệnh nhân bị bỏng là do hóa chất. Biết rằng tỷ lệ biến chứng do bỏng nhiệt là 30% còn bỏng do hóa chất có tỷ lệ biến chứng là 50%. Tính xác suất biến chứng chung của toàn bệnh nhân bỏng.

Điền đáp án

Câu 17. Cho tập hợp A = {1; 2; 3; ...; 10}. Chọn ngẫu nhiên ba số từ A. Tìm xác suất để trong ba số chọn ra không có hai số nào là hai số nguyên liên tiếp.

Điền đáp án

................................

................................

................................

Dạng 3. Câu trắc nghiệm đúng sai

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 19. Trường THPT X có 8 giáo viên Toán gồm có 3 nữ và 5 nam, 4 giáo viên Vật lý nam.

a) Có 3 cách chọn một giáo viên nữ.

b) Có 1 320 cách lập một đoàn công tác gồm 3 giáo viên trong đó có 1 trưởng đoàn, 1 phó đoàn và 1 thành viên.

c) Có 95 040 cách lập một đoàn công tác gồm 5 giáo viên trong đó có 1 trưởng đoàn, 1 phó đoàn và 3 thành viên.

d) Có 80 cách chọn ra một đoàn công tác gồm 3 người có đủ 2 môn Toán và Vật lý và phải có giáo viên nam và giáo viên nữ trong đoàn.

................................

................................

................................

Xem thử Tài liệu & Đề thi HSA Xem thử Tài liệu & Đề thi VACT Xem thử Tài liệu & Đề thi TSA Xem thử Tài liệu & Đề thi SPT

Xem thêm tài liệu ôn thi đánh giá năng lực HSA, VACT, đánh giá tư duy TSA hay khác:

• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Góc, khoảng cách trong không gian
• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Thể tích của một số hình khối
• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Nguyên hàm - Tích phân
• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Vectơ và phương pháp tọa độ trong không gian
• (Ôn thi ĐGNL HSA) Chuyên đề: Một số câu hỏi trích trong các đề thi tham khảo

---