Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản (hay, chi tiết)

Bài viết Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản.

Phương pháp giải phương trình lượng giác cơ bản (hay, chi tiết)

A. Phương pháp giải

+ Nếu α là một nghiệm của phương trình sinx= m thì phương trình này có hai họ nghiệm là:

Chú ý: phương trình sinx= m chỉ có nghiệm khi: - 1 ≤ m ≤ 1.

+ Nếu α là một nghiệm của phương trình cosx=m thì phương trình đã cho có hai họ nghiệm:

+ Nếu α là một nghiệm của phương trình tanx= m thì phương trình này có nghiệm là: x= α+kπ

+ Nếu α là một nghiệm của phương trình cot x = m thì phương trình này có nghiệm là: x= α+kπ

+ Các trường hợp đặc biệt :

• Sinx=0 ⇔ x=kπ

• Sinx= 1 ⇔ x= π/2+k2π

• Sinx= -1 ⇔ x= (-π)/2+k2π

• cos= 0 ⇔ x= π/2+kπ

• cosx= 1 ⇔ x=k2π

• cosx=- 1 ⇔ x= π+k2π

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Hỏi x=7π/3 là nghiệm của phương trình nào sau đây?

A. 2sinx - √3=0.

B. 2sinx+ √3=0.

C. 2cosx- √3=0

D.2cosx+ √3=0.

Lời giải

Chọn A

Cách 1.

Với x=7π/3 , suy ra .

Cách 2. Thử x=7π/3 lần lượt vào các phương trình.

Ví dụ 2. Giải phương trình sin(2x/3- π/3)=0.

A. x=kπ (k∈Z)

B. .

C. .

D. .

Lời giải.

Chọn D.

Ta có : sin(2x/3- π/3)=0.

⇔ 2x/3- π/3=kπ (k∈Z)

⇔ 2x/3= π/3+kπ ⇔ x= π/2+ k3π/2 ( k∈Z).

Ví dụ 3. Với giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y= sin3x và y= sinx bằng nhau?

A.

B.

C.

D.

Lời Giải.

Chọn B.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị: sin 3x= sinx

Ví dụ 4. Giải phương trình cot(3x-1)= -√3

A.

B.

C.

D.

Lời Giải.

Chọn A.

Ta có cot(3x-1)= -√3 ⇒ cot(3x-1)= cot(-π/6) .

⇔ 3x-1= (-π)/6+kπ ⇔ x= 1/3- π/(18 )+k. π/3 = 1/3+ 5π/(18 )+(k-1). π/3

Đặt k- 1=l suy ra nghiệm phương trình x= 1/3+ 5π/(18 )+l. π/3

Ví dụ 5. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình tanx = 1?

A. sinx= √2/2

B. sinx= √2/2

C. cotx= 1

D.cot2x = 1

Lời giải

Chọn C.

Ta có: tanx=1 ⇒ x= π/4+kπ ( k∈Z).

Xét đáp án C, ta có cotx=1 ⇒ x= π/4+kπ ( k∈Z).

Cách 2. Ta có đẳng thức tanx=1/cotx . Kết hợp giả thiết tanx=1, ta được cotx=1. Vậy hai phương trình tanx= 1 và cotx= 1 là tương đương.

Ví dụ 6. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình cosx= m+ 1 có nghiệm?

A. 1

B. 2

C. 3

D. Vô số.

Lời giải

Chọn C.

Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình cosx= a.

+ Phương trình có nghiệm khi |a| ≤ 1.

+Phương trình vô nghiệm khi |a| > 1.

Do đó, phương trình cosx= m+ 1 có nghiệm khi và chỉ khi

Vậy có 3 giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm.

Ví dụ 7. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình cos(2x- π/3)-m=2 có nghiệm. Tính tổng T của các phần tử trong S.

A. T= 6

B. T=3

C. T= - 3

D. T= - 6

Lời giải

Chọn D.

Phương trình cos(2x- π/3)-m=2 ⇔ cos(2x- π/3)= m+2.

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:

- 1 ≤ m+2 ≤ 1 ⇔ - 3 ≤ m ≤ -1.

Mà m nguyên nên m∈{-3;-2;-1}

Suy ra: T= - 3+ ( -2)+ (-1)= - 6

Ví dụ 8. Giải phương trình: tan⁡(π/3+x)=tan π/4

A. -π/12+kπ

B. π/12+kπ

C. -π/3+kπ

D. -π/4+kπ

Lời giải

Ta có: tan⁡(π/3+x)=tan π/4

⇔ π/3+x= π/4+kπ ( k∈Z)

⇔ x= π/4- π/3+kπ= (-π)/12+kπ

Chọn D .

Ví dụ 9. Giải phương trình: cos⁡((x+ π)/4)= 1/2

A. x= π/3+4kπ hoặc x= (- π)/3+k4π)

B. x= π/12+4kπ hoặc x= (- π)/12+k4π)

C. x= π/3+4kπ hoặc x= (- 7π)/3+k4π)

D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có: cos⁡((x+ π)/4)= 1/2 hay cos⁡((x+ π)/4)= cos π/3

Chọn C

Ví dụ 10. Giải phương trình : sinx= 2/5

A. x= α+k2π hoặc x= - α+k2π

B. x= α+k2π hoặc x= π+ α+k2π

C. x= α+kπ hoặc x= π- α+kπ

D. x= α+k2π hoặc x= π- α+k2π

Với sinα= 2/5

Lời giải

Vì - 1 < 2/5 < 1 nên có số α để sinα = 2/5

Khi đó sinx= 2/5 ⇔ sinx= sinα nên x= α+k2π hoặc x= π- α+k2π

Chọn D

Ví dụ 11. Giải phương trình tanx= 2

A. 2+ kπ

B. arctan 2+ kπ

C.2+ k2π

D. arctan 2+ k 2π

Lời giải

Ta có: tanx = 2 ⇒ x= arctan2+ kπ ( k∈Z)

Chọn B.

Ví dụ 12. Giải phương trình : cot⁡(π/3+x)=cot(π+x)/2

A. π/3+ k4π

B. π/3+ k2π

C. π/3+ kπ

D. π/6+ kπ

Lời giải

Ta có: cot⁡(π/3+x)=cot (π+x)/2

⇒ π/3+x= (π+x)/2+kπ với k∈Z

⇒ x- x/2= π/2- π/3+kπ

⇒ x/2= π/6+kπ x=π/3+ k2π

Chọn B.

Ví dụ 13. Giải phương trình cos(40⁰+ x)= cos( 80⁰ –x)

A. x= 20⁰+ k. 180⁰

B. x= 20⁰+ k. 360⁰

C. x= - 40⁰+ k.180⁰

D. Cả A và C đúng

Lời giải

Ta có: cos( 40⁰+ x) = cos( 80⁰ – x)

Chọn A.

Ví dụ 14. Giải phương trình: cos(x+ 10⁰) = 1/3

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Ta có: cos( x+10⁰) = 1/3

Chọn C.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:Giải phương trình cos(π/3-x)=0

A. - π/2+l2π

B. - π/3+l2π

C. π/6+l2π

D. - π/6+l2π

Lời giải:

Ta có: cos(π/3-x)=0

⇒ cos(π/3-x) = cos π/2

⇒ π/3-x= π/2 + k2π

⇒ -x= π/2- π/3+k2π

⇒ - x= π/6+k2π ⇒ x= - π/6- k2π

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là x= - π/6 + l2π ( với l= - k và nguyên )

Chọn D.

Câu 2:Phương trình: sin( 2x/3- π/3)=0 có nghiệm là:

A.

B.x=kπ .

C.

D.

Lời giải:

Chọn D.

sin( 2x/3- π/3)=0 ⇒ 2x/3- π/3=kπ

⇒ 2x/3 = π/3+ kπ ⇒ x= π/2+k3π/2

Câu 3:Nghiệm của phương trình: sinx.(2cosx-√3)=0 là:

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Chọn A

D.

Câu 4:Cho phương trình sin(x-10⁰) = 2m+ 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm ?

A. 1

B.2

C. 3

D .4

Lời giải:

Ta có: phương trình sin(x-10⁰)= 2m+1 có nghiệm khi và chỉ khi:

- 1 ≤ 2m+1 ≤ 1

⇒ -2 ≤ 2m ≤ 0 ⇔ - 1 ≤ m ≤ 0

⇒ có hai giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm là m= -1 hoặc m = 0

Chọn B.

Câu 5:Giải phương trình sinx= -1/3

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Chọn C.

Ta có: sinx=-1/3

D.

Câu 6:Giải phương trình cot x = 3

A. arccot 3 + k. π ( k∈Z)

B. arctan 3 + k. π ( k∈Z)

C. arccot 3 + k. 2π ( k∈Z)

D. - arccot 3 + k. π ( k∈Z)

Lời giải:

Ta có: cotx = 3

⇒ x= arccot 3 + k. π ( k∈Z)

Chọn A.

Câu 7:Giải phương trình cos(x+ π)/3= (- 1)/2

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Chọn B

Câu 8:Giải phưởng trình sinx=sin⁡(2x- π/3)

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Chọn D.

Câu 9:

Lời giải:

Câu 10:Giải phương trình tanx=(- √3)/3

A. - π/6+kπ

B. π/6+kπ

C. - π/3+kπ

D. π/3+k2π

Lời giải:

Ta có: tanx= (- √3)/3

⇒ tanx= tan(- π)/6

⇒ x= - π/6+kπ

Chọn A.

Câu 11:Giải phương trình cot( x- π/2)=cot⁡( (π/4-x)

A. 3π/8+kπ

B. 3π/8+kπ/2

C. 3π/4+kπ/2

D. 3π/4+kπ

Lời giải:

Ta có: cot( x- π/2)=cot⁡( (π/4-x))

⇒ x- π/2= π/4-x+kπ

⇒ 2x= 3π/4+kπ ⇒ x= 3π/8+kπ/2

Chọn B.

Câu 12:Giải phương trình tanx = cot( x+ π/3)

A. π/12+ kπ

B. π/6+ kπ/2

C. π/12- kπ/2

D. π/3+ kπ

Lời giải:

Lời giải

Ta có: tanx= cot( x+ π/3)

⇒ cot⁡(π/2-x) = cot⁡(x+ π/3)

⇒ π/2- x = x+ π/3+kπ

⇒ - 2x= (-π)/6+kπ

⇒ x= π/12- kπ/2

Chọn C.

Câu 13:Giải phương trình sinx = cosx

A. π/4+k2π

B. π/4+kπ

C. π/2+kπ

D. Đáp án khác

Lời giải:

Lời giải

Ta có: sinx = cosx

⇒ sinx= sin(π/2-x)

.

Chọn B.

Câu 14:Nghiệm của phương trình sin3x= cosx là:

A. .

B. .

C. .

D. .

Lời giải:

Lời giải

Chọn A.

Ta có: sin3x= cosx

.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Tìm nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản trên khoảng (đoạn)
• Phương trình quy về phương trình lượng giác cơ bản
• Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác
• Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác
• Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác
• Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác
• Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn

---