Giải phương trình lượng giác cơ bản - Toán lớp 11

Giải phương trình lượng giác cơ bản

A. Phương pháp giải

+ Nếu α là một nghiệm của phương trình sinx= m thì phương trình này có hai họ nghiệm là:

Giải phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11

Chú ý: phương trình sinx= m chỉ có nghiệm khi: - 1 ≤ m ≤ 1.

+ Nếu α là một nghiệm của phương trình cosx=m thì phương trình đã cho có hai họ nghiệm:Giải phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11

+ Nếu α là một nghiệm của phương trình tanx= m thì phương trình này có nghiệm là: x= α+kπ

+ Nếu α là một nghiệm của phương trình cot x = m thì phương trình này có nghiệm là: x= α+kπ

+ Các trường hợp đặc biệt :

• Sinx=0 ⇔ x=kπ

• Sinx= 1 ⇔ x= π/2+k2π

• Sinx= -1 ⇔ x= (-π)/2+k2π

• cos= 0 ⇔ x= π/2+kπ

• cosx= 1 ⇔ x=k2π

• cosx=- 1 ⇔ x= π+k2π

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Hỏi x=7π/3 là nghiệm của phương trình nào sau đây?

A. 2sinx - √3=0.

B. 2sinx+ √3=0.

C. 2cosx- √3=0

D.2cosx+ √3=0.

Lời giải

Chọn A

Cách 1.

Với x=7π/3 , suy ra Giải phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11 .

Cách 2. Thử x=7π/3 lần lượt vào các phương trình.

Ví dụ 2. Giải phương trình sin(2x/3- π/3)=0.

A. x=kπ (k∈Z)

B.Giải phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11 .

C. Giải phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11 .

D. Giải phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11 .

Lời giải.

Chọn D.

Ta có : sin(2x/3- π/3)=0.

⇔ 2x/3- π/3=kπ (k∈Z)

⇔ 2x/3= π/3+kπ ⇔ x= π/2+ k3π/2 ( k∈Z).

Ví dụ 3. Với giá trị nào của x thì giá trị của các hàm số y= sin3x và y= sinx bằng nhau?

A. Giải phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11

B. Giải phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11

C. Giải phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11

D. Giải phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11

Lời Giải.

Chọn B.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị: sin 3x= sinx

Giải phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11

Ví dụ 4. Giải phương trình cot(3x-1)= -√3

A. Giải phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11

B. Giải phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11

C. Giải phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11

D. Giải phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11

Lời Giải.

Chọn A.

Ta có cot(3x-1)= -√3 ⇒ cot(3x-1)= cot(-π/6) .

⇔ 3x-1= (-π)/6+kπ ⇔ x= 1/3- π/(18 )+k. π/3 = 1/3+ 5π/(18 )+(k-1). π/3

Đặt k- 1=l suy ra nghiệm phương trình x= 1/3+ 5π/(18 )+l. π/3

Ví dụ 5. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình tanx = 1?

A. sinx= √2/2

B. sinx= √2/2

C. cotx= 1

D.cot2x = 1

Lời giải

Chọn C.

Ta có: tanx=1 ⇒ x= π/4+kπ ( k∈Z).

Xét đáp án C, ta có cotx=1 ⇒ x= π/4+kπ ( k∈Z).

Cách 2. Ta có đẳng thức tanx=1/cotx . Kết hợp giả thiết tanx=1, ta được cotx=1. Vậy hai phương trình tanx= 1 và cotx= 1 là tương đương.

Ví dụ 6. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình cosx= m+ 1 có nghiệm?

A. 1

B. 2

C. 3

D. Vô số.

Lời giải

Chọn C.

Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình cosx= a.

+ Phương trình có nghiệm khi |a| ≤ 1.

+Phương trình vô nghiệm khi |a| > 1.

Do đó, phương trình cosx= m+ 1 có nghiệm khi và chỉ khi

Giải phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11

Vậy có 3 giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm.

Ví dụ 7. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình cos(2x- π/3)-m=2 có nghiệm. Tính tổng T của các phần tử trong S.

A. T= 6

B. T=3

C. T= - 3

D. T= - 6

Lời giải

Chọn D.

Phương trình cos(2x- π/3)-m=2 ⇔ cos(2x- π/3)= m+2.

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:

- 1 ≤ m+2 ≤ 1 ⇔ - 3 ≤ m ≤ -1.

Mà m nguyên nên m∈{-3;-2;-1}

Suy ra: T= - 3+ ( -2)+ (-1)= - 6

Ví dụ 8. Giải phương trình: tan⁡(π/3+x)=tan π/4

A. -π/12+kπ

B. π/12+kπ

C. -π/3+kπ

D. -π/4+kπ

Lời giải

Ta có: tan⁡(π/3+x)=tan π/4

⇔ π/3+x= π/4+kπ ( k∈Z)

⇔ x= π/4- π/3+kπ= (-π)/12+kπ

Chọn D .

Ví dụ 9. Giải phương trình: cos⁡((x+ π)/4)= 1/2

A. x= π/3+4kπ hoặc x= (- π)/3+k4π)

B. x= π/12+4kπ hoặc x= (- π)/12+k4π)

C. x= π/3+4kπ hoặc x= (- 7π)/3+k4π)

D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có: cos⁡((x+ π)/4)= 1/2 hay cos⁡((x+ π)/4)= cos π/3

Giải phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11

Chọn C

Ví dụ 10. Giải phương trình : sinx= 2/5

A. x= α+k2π hoặc x= - α+k2π

B. x= α+k2π hoặc x= π+ α+k2π

C. x= α+kπ hoặc x= π- α+kπ

D. x= α+k2π hoặc x= π- α+k2π

Với sinα= 2/5

Lời giải

Vì - 1 < 2/5 < 1 nên có số α để sinα = 2/5

Khi đó sinx= 2/5 ⇔ sinx= sinα nên x= α+k2π hoặc x= π- α+k2π

Chọn D

Ví dụ 11. Giải phương trình tanx= 2

A. 2+ kπ

B. arctan 2+ kπ

C.2+ k2π

D. arctan 2+ k 2π

Lời giải

Ta có: tanx = 2 ⇒ x= arctan2+ kπ ( k∈Z)

Chọn B.

Ví dụ 12. Giải phương trình : cot⁡(π/3+x)=cot(π+x)/2

A. π/3+ k4π

B. π/3+ k2π

C. π/3+ kπ

D. π/6+ kπ

Lời giải

Ta có: cot⁡(π/3+x)=cot (π+x)/2

⇒ π/3+x= (π+x)/2+kπ với k∈Z

⇒ x- x/2= π/2- π/3+kπ

⇒ x/2= π/6+kπ x=π/3+ k2π

Chọn B.

Ví dụ 13. Giải phương trình cos(400+ x)= cos( 800 –x)

A. x= 200+ k. 1800

B. x= 200+ k. 3600

C. x= - 400+ k.1800

D. Cả A và C đúng

Lời giải

Ta có: cos( 400+ x) = cos( 800 – x)

Giải phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11

Chọn A.

Ví dụ 14. Giải phương trình: cos(x+ 100) = 1/3

A. Giải phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11

B. Giải phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11

C. Giải phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11

D. Giải phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11

Lời giải

Ta có: cos( x+100) = 1/3

Giải phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11

Chọn C.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:Giải phương trình cos(π/3-x)=0

A. - π/2+l2π

B. - π/3+l2π

C. π/6+l2π

D. - π/6+l2π

Ta có: cos(π/3-x)=0

⇒ cos(π/3-x) = cos π/2

⇒ π/3-x= π/2 + k2π

⇒ -x= π/2- π/3+k2π

⇒ - x= π/6+k2π ⇒ x= - π/6- k2π

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là x= - π/6 + l2π ( với l= - k và nguyên )

Chọn D.

Câu 2:Phương trình: sin( 2x/3- π/3)=0 có nghiệm là:

A.Giải phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11

B.x=kπ .

C.Giải phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11

D.Giải phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11

Chọn D.

sin( 2x/3- π/3)=0 ⇒ 2x/3- π/3=kπ

⇒ 2x/3 = π/3+ kπ ⇒ x= π/2+k3π/2

Câu 3:Nghiệm của phương trình: sinx.(2cosx-√3)=0 là:

A.Giải phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11

B.Giải phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11

C.Giải phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11

D.Giải phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11

Chọn A

D.Giải phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11

Câu 4:Cho phương trình sin(x-100) = 2m+ 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm ?

A. 1

B.2

C. 3

D .4

Ta có: phương trình sin(x-100)= 2m+1 có nghiệm khi và chỉ khi:

- 1 ≤ 2m+1 ≤ 1

⇒ -2 ≤ 2m ≤ 0 ⇔ - 1 ≤ m ≤ 0

⇒ có hai giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm là m= -1 hoặc m = 0

Chọn B.

Câu 5:Giải phương trình sinx= -1/3

A.Giải phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11

B.Giải phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11

C.Giải phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11

D.Giải phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11

Chọn C.

Ta có: sinx=-1/3

D.Giải phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11

Câu 6:Giải phương trình cot x = 3

A. arccot 3 + k. π ( k∈Z)

B. arctan 3 + k. π ( k∈Z)

C. arccot 3 + k. 2π ( k∈Z)

D. - arccot 3 + k. π ( k∈Z)

Ta có: cotx = 3

⇒ x= arccot 3 + k. π ( k∈Z)

Chọn A.

Câu 7:Giải phương trình cos(x+ π)/3= (- 1)/2

A.Giải phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11

B.Giải phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11

C.Giải phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11

D.Giải phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11

Chọn B

Giải phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11

Câu 8:Giải phưởng trình sinx=sin⁡(2x- π/3)

A.Giải phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11

B.Giải phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11

C.Giải phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11

D.Giải phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11

Chọn D.

Giải phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11

Câu 9:

Câu 10:Giải phương trình tanx=(- √3)/3

A. - π/6+kπ

B. π/6+kπ

C. - π/3+kπ

D. π/3+k2π

Ta có: tanx= (- √3)/3

⇒ tanx= tan(- π)/6

⇒ x= - π/6+kπ

Chọn A.

Câu 11:Giải phương trình cot( x- π/2)=cot⁡( (π/4-x)

A. 3π/8+kπ

B. 3π/8+kπ/2

C. 3π/4+kπ/2

D. 3π/4+kπ

Ta có: cot( x- π/2)=cot⁡( (π/4-x))

⇒ x- π/2= π/4-x+kπ

⇒ 2x= 3π/4+kπ ⇒ x= 3π/8+kπ/2

Chọn B.

Câu 12:Giải phương trình tanx = cot( x+ π/3)

A. π/12+ kπ

B. π/6+ kπ/2

C. π/12- kπ/2

D. π/3+ kπ

Lời giải

Ta có: tanx= cot( x+ π/3)

⇒ cot⁡(π/2-x) = cot⁡(x+ π/3)

⇒ π/2- x = x+ π/3+kπ

⇒ - 2x= (-π)/6+kπ

⇒ x= π/12- kπ/2

Chọn C.

Câu 13:Giải phương trình sinx = cosx

A. π/4+k2π

B. π/4+kπ

C. π/2+kπ

D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có: sinx = cosx

⇒ sinx= sin(π/2-x)

Giải phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11 .

Chọn B.

Câu 14:Nghiệm của phương trình sin3x= cosx là:

A.Giải phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11 .

B.Giải phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11 .

C.Giải phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11 .

D.Giải phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11 .

Lời giải

Chọn A.

Ta có: sin3x= cosx

Giải phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11 .

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, soạn văn, văn mẫu.... Tải App để chúng tôi phục vụ tốt hơn.

Tải App cho Android hoặc Tải App cho iPhone

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 11 Đại số, Giải tích và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số, Giải tích 11 và Hình học 11.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.