Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác

Bài viết Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác.

Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác

A. Phương pháp giải

+ Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác là phương trình có dạng :

a.sin2x + b.sinx + c= 0 (với a ≠ 0)

Tương tự các phương trình a.cos2 x+ b. cosx+ c=0; a. tan2 x + b.tanx + c= 0 và

a.cot2x + b.cotx+ c= 0 ( với a ≠ 0) là các phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác.

+ Xét phương trình: a.sin2 x+ b.sinx+ c= 0 (a ≠ 0) ( các phương trình khác làm tương tự).

• Bước 1: Đặt sinx= t ( - 1 ≤ t ≤ 1). Phương trình đã cho có dạng: at2 + bt+ c= 0 (*)

• Bước 2. Giải phương trình(*) – chú ý chỉ lấy những giá trị của t thỏa mãn -1 ≤ t ≤ 1. Từ đó suy ra: sinx= ....

• Bước 3. Áp dụng cách giải phương trình lượng giác cơ bản

⇒ Nghiệm của phương trình đã cho

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Giải phương trình: sin²x – 2sinx= 0

A . x= k.π

B. x= k2π

C. π/2+kπ

D. Cả A và C đúng

Lời giải

Ta có: sin² x- 2sinx = 0 (*)

Đặt t= sinx (-1 ≤ t ≤ 1); khi đó (*) trở thành:

t² -2t= 0

Với t=0 ta có; sinx= 0

⇒ x= k.π

Chọn A.

Ví dụ 2. Giải phương trình : 2sin²x + 3sinx + 1= 0

Lời giải

Ta có; 2sin2 x+ 3sinx +1= 0 (*)

Đặt t= sinx với - 1 ≤ t ≤ 1; khi đó (*) trở thành:

Chọn D.

Ví dụ 3. Giải phương trình 2cos² x- 1= 0

A.

B.

C. Cả A và B đúng

D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có: 2cos² x – 1= 0 ⇒ cos²x = 1/2

Chọn C.

Ví dụ 4. Giải phương trình : 3cos²x + 3cosx- 6= 0

A.k.π

B.π/2+k.π

C. π/4+k2π

D. π/2+k.2π

Lời giải

Ta có; 3cos²x+ 3cosx- 6= 0 (*).

Đặt cosx= t (-1 ≤ t ≤ 1 ); khi đó phương trình (*) trở thành:

3t² + 3t- 6=0

Với t= 1 ta có; cosx= 1

⇒ x= k.π

Chọn A.

Ví dụ 5. Giải phương trình tan² x+ 3tanx – 4= 0

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Ta có: tan² x+ 3tanx – 4= 0 ( *)

Đặt t= tanx; khi đó phương trình (*) trở thành: t² +3t – 4=0

Chọn B.

Ví dụ 6. Giải phương trình: tan² x- √3 tanx=0

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Ta có; tan²x- √3 tanx=0 (*)

Đặt tanx= t; khi đó phương trình (*) trở thành:

t²- √3 t=0

Chọn D.

Ví dụ 7. Giải phương trình : tanx.cot(π/2- x) = 1

A.

B.

C.

D.Đáp án khác

Lời giải

Ta có: tanx.cot (90⁰- x) = 1

⇒ tanx. tanx= 1

Chọn C.

Ví dụ 8. Giải phương trình: 4cot² x - 8cotx+ 4= 0

A.arccot⁡2+kπ

B. π/4+kπ

C. π/2+kπ

D. arccot 4+ k.π

Lơì giai

Ta có: 4cot²x- 8cotx + 4= 0 (*)

Đặt t= cotx; khi đó phương trình(*) trở thành:

4t² – 8t + 4= 0

⇒ t= 1 ⇒ cot x= 1

⇒ x= π/4+kπ

Chọn B.

Ví dụ 9. Giải phương trình: tan² x +10tanx+ 35= 0

A. kπ

B. π/4+kπ

C. π/2+kπ

D. phương trình vô nghiệm

Lời giải

Ta có: tan²x+ 10tanx + 35=0 (*)

Đặt t=tanx; khi đó phương trình trên trở thành:

t² + 10t + 35= 0

⇒ Phương trình này vô nghiệm

⇒ Phương trình(*) vô nghiệm

⇒ phương trình đã cho vô nghiệm

Chọn C.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Giải phương trình: 2sin² x + sinx – 1= 0 .

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Ta có: 2sin² x+ sinx – 1= 0

Đặt t= sinx (-1 ≤ t ≤ 1) ; khi đó phương trình trên trở thành:

Chọn A.

Câu 2:Giải phương trình √2tan² x+ √6 tanx=0

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Điều kiện: cosx ≠ 0 hay x ≠ π/2+kπ

Ta có: √2tan²x + √6 tanx=0 (*)

Đặt t= tanx; khi đó phương trình (*) trở thành:

Chọn B.

Câu 3:Giải phương trình: √3.sin²x- √6=0

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

Ta có: √3.sin² x- √6=0 (*)

Đặt t= sinx (-1 ≤ t ≤ 1); khi đó phương trình (*) trở thành:

√3t²-√6 = 0

Suy ra phương trình đã cho vô nghiệm.

Chọn D.

Câu 4:Biết rằng phương trình : √5cos² x-√5/2=0 có nghiệm là x= aπ/4+kbπ với k∈Z. Tính a+ b?

A. 1

B.2

C. 3

D.4

Lời giải:

x= π/4+kπ ⇒ a= 1 và b=1 nên a+ b= 2.

Chọn B.

Câu 5:Giải phương trình : sin² x+ sinx – 6=0?

A.

B.

C.

D.Vô nghiệm

Lời giải:

Ta có: sin²x + sinx – 6=0 (*)

Đặt t= sinx (-1 ≤ t ≤ 1) khi đó phương trình (*) trở thành

t² + t – 6= 0

⇒ Phương trình (*) vô nghiệm.

Chọn D.

Câu 6:Giải phương trình : √3.tan²x -(√3+1).tanx+1=0

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Điều kiện: cosx ≠ 0 hay x ≠ π/2+kπ

Ta có: √3.tan² x-(√3+1).tanx+1=0

Đặt t= tanx; phương trình trên trở thành;

√3.t²-( √3+1).t+1=0

Chọn C.

Câu 7:Giải phương trình : cot²x-( √3+ 1/√3)cotx+1=0

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Chọn C.

Câu 8:Giải phương trình : 2sin² 2x+ 2√2sin 2x+1= 0 ?

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Ta có: 2sin² 2x+ 2√2sin 2x+1= 0 (*)

Đặt t= sin2x (-1 ≤ t ≤ 1)khi đó phương trình (*) trở thành:

2t²+2√2 t+1=0

Chọn A.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Giải phương trình lượng giác cơ bản
• Tìm nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản trên khoảng (đoạn)
• Phương trình quy về phương trình lượng giác cơ bản
• Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác
• Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác
• Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác
• Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn

---