Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác - Toán lớp 11

Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác

A. Phương pháp giải

+ Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác là phương trình có dạng :

a.sin2x + b.sinx + c= 0 (với a ≠ 0)

Tương tự các phương trình a.cos2 x+ b. cosx+ c=0; a. tan2 x + b.tanx + c= 0 và

a.cot2x + b.cotx+ c= 0 ( với a ≠ 0) là các phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác.

+ Xét phương trình: a.sin2 x+ b.sinx+ c= 0 (a ≠ 0) ( các phương trình khác làm tương tự).

• Bước 1: Đặt sinx= t ( - 1 ≤ t ≤ 1). Phương trình đã cho có dạng: at2 + bt+ c= 0 (*)

• Bước 2. Giải phương trình(*) – chú ý chỉ lấy những giá trị của t thỏa mãn -1 ≤ t ≤ 1. Từ đó suy ra: sinx= ....

• Bước 3. Áp dụng cách giải phương trình lượng giác cơ bản

⇒ Nghiệm của phương trình đã cho

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Giải phương trình: sin2x – 2sinx= 0

A . x= k.π

B. x= k2π

C. π/2+kπ

D. Cả A và C đúng

Lời giải

Ta có: sin2 x- 2sinx = 0 (*)

Đặt t= sinx (-1 ≤ t ≤ 1); khi đó (*) trở thành:

t2 -2t= 0

Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Với t=0 ta có; sinx= 0

⇒ x= k.π

Chọn A.

Ví dụ 2. Giải phương trình : 2sin2x + 3sinx + 1= 0

Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Lời giải

Ta có; 2sin2 x+ 3sinx +1= 0 (*)

Đặt t= sinx với - 1 ≤ t ≤ 1; khi đó (*) trở thành:

Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Chọn D.

Ví dụ 3. Giải phương trình 2cos2 x- 1= 0

A.Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

B.Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

C. Cả A và B đúng

D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có: 2cos2 x – 1= 0 ⇒ cos2x = 1/2

Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Chọn C.

Ví dụ 4. Giải phương trình : 3cos2x + 3cosx- 6= 0

A.k.π

B.π/2+k.π

C. π/4+k2π

D. π/2+k.2π

Lời giải

Ta có; 3cos2x+ 3cosx- 6= 0 (*).

Đặt cosx= t (-1 ≤ t ≤ 1 ); khi đó phương trình (*) trở thành:

3t2 + 3t- 6=0

Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Với t= 1 ta có; cosx= 1

⇒ x= k.π

Chọn A.

Ví dụ 5. Giải phương trình tan2 x+ 3tanx – 4= 0

A.Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

B.Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

C.Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

D.Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Lời giải

Ta có: tan2 x+ 3tanx – 4= 0 ( *)

Đặt t= tanx; khi đó phương trình (*) trở thành: t2 +3t – 4=0

Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Chọn B.

Ví dụ 6. Giải phương trình: tan2 x- √3 tanx=0

A.Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

B.Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

C.Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

D.Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Lời giải

Ta có; tan2x- √3 tanx=0 (*)

Đặt tanx= t; khi đó phương trình (*) trở thành:

t2- √3 t=0

Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Chọn D.

Ví dụ 7. Giải phương trình : tanx.cot(π/2- x) = 1

A.Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

B.Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

C.Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

D.Đáp án khác

Lời giải

Ta có: tanx.cot (900- x) = 1

⇒ tanx. tanx= 1

Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Chọn C.

Ví dụ 8. Giải phương trình: 4cot2 x - 8cotx+ 4= 0

A.arccot⁡2+kπ

B. π/4+kπ

C. π/2+kπ

D. arccot 4+ k.π

Lơì giai

Ta có: 4cot2x- 8cotx + 4= 0 (*)

Đặt t= cotx; khi đó phương trình(*) trở thành:

4t2 – 8t + 4= 0

⇒ t= 1 ⇒ cot x= 1

⇒ x= π/4+kπ

Chọn B.

Ví dụ 9. Giải phương trình: tan2 x +10tanx+ 35= 0

A. kπ

B. π/4+kπ

C. π/2+kπ

D. phương trình vô nghiệm

Lời giải

Ta có: tan2x+ 10tanx + 35=0 (*)

Đặt t=tanx; khi đó phương trình trên trở thành:

t2 + 10t + 35= 0

⇒ Phương trình này vô nghiệm

⇒ Phương trình(*) vô nghiệm

⇒ phương trình đã cho vô nghiệm

Chọn C.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Giải phương trình: 2sin2 x + sinx – 1= 0 .

A.Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

B.Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

C.Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

D.Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Ta có: 2sin2 x+ sinx – 1= 0

Đặt t= sinx (-1 ≤ t ≤ 1) ; khi đó phương trình trên trở thành:

Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Chọn A.

Câu 2:Giải phương trình √2tan2 x+ √6 tanx=0

A.Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

B.Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

C.Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

D.Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Điều kiện: cosx ≠ 0 hay x ≠ π/2+kπ

Ta có: √2tan2x + √6 tanx=0 (*)

Đặt t= tanx; khi đó phương trình (*) trở thành:

Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Chọn B.

Câu 3:Giải phương trình: √3.sin2x- √6=0

A.Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

B.Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

C.Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

D. Đáp án khác

Ta có: √3.sin2 x- √6=0 (*)

Đặt t= sinx (-1 ≤ t ≤ 1); khi đó phương trình (*) trở thành:

√3t2-√6 = 0

Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Suy ra phương trình đã cho vô nghiệm.

Chọn D.

Câu 4:Biết rằng phương trình : √5cos2 x-√5/2=0 có nghiệm là x= aπ/4+kbπ với k∈Z. Tính a+ b?

A. 1

B.2

C. 3

D.4

Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

x= π/4+kπ ⇒ a= 1 và b=1 nên a+ b= 2.

Chọn B.

Câu 5:Giải phương trình : sin2 x+ sinx – 6=0?

A.Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

B.Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

C.Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

D.Vô nghiệm

Ta có: sin2x + sinx – 6=0 (*)

Đặt t= sinx (-1 ≤ t ≤ 1) khi đó phương trình (*) trở thành

t2 + t – 6= 0

Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

⇒ Phương trình (*) vô nghiệm.

Chọn D.

Câu 6:Giải phương trình : √3.tan2x -(√3+1).tanx+1=0

A.Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

B.Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

C.Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

D.Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Điều kiện: cosx ≠ 0 hay x ≠ π/2+kπ

Ta có: √3.tan2 x-(√3+1).tanx+1=0

Đặt t= tanx; phương trình trên trở thành;

√3.t2-( √3+1).t+1=0

Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Chọn C.

Câu 7:Giải phương trình : cot2x-( √3+ 1/√3)cotx+1=0

A.Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

B.Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

C.Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

D.Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Chọn C.

Câu 8:Giải phương trình : 2sin2 2x+ 2√2sin 2x+1= 0 ?

A.Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

B.Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

C.Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

D.Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Ta có: 2sin2 2x+ 2√2sin 2x+1= 0 (*)

Đặt t= sin2x (-1 ≤ t ≤ 1)khi đó phương trình (*) trở thành:

2t2+2√2 t+1=0

Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Chọn A.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, soạn văn, văn mẫu.... Tải App để chúng tôi phục vụ tốt hơn.

Tải App cho Android hoặc Tải App cho iPhone

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 11 Đại số, Giải tích và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số, Giải tích 11 và Hình học 11.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.