Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trên khoảng, đoạn
Bài viết Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trên khoảng, đoạn với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trên khoảng, đoạn.
Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trên khoảng, đoạn
A. Phương pháp giải
+ Để giải phương trình trên khoảng (a;b) ( hoặc trên đoạn) thì ta cần:
• Bước 1. Tìm họ nghiệm của phương trình đã cho.
• Bước 2. Giải bất phương trình:
⇒ Các giá trị nguyên của k=... ⇒ các nghiệm của phương trình trong khoảng ( đoạn ) đã cho.
+ Để giải bất phương trình có chứa điều kiện ta cần:
• Bươc 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình ( nếu có).
• Bước 2.Biến đổi phương trình đưa về phương trình lượng giác cơ bản
• Bước 3. Giải phương trình lượng giác cơ bản
• Bước 4. Kết hợp với điều kiện xác định ⇒ nghiệm của phương trình .
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Số nghiệm của phương trình tanx= tan3π/11 trên khoảng( π/4;2π) là?
A. 1
B.2
C. 3
D. 4
Lời Giải.
Chọn B.
Ta có tanx = tan(3π/11) ⇔ x=3π/11+kπ k∈Z
Do x∈( π/4;2π) nên π/4 < 3π/11+kπ < 2π
⇔ 1/4 < 3/11+k < 2 ⇔ (- 1)/44 < k < 19/11
Mà k nguyên nên k ∈{ 0;1}
Tương ứng với hai giá trị của k cho ta hai nghiệm của phương trình đã cho thỏa mãn điều kiện đề bài.
Ví dụ 2. Số nghiệm của phương trình: sin ( x- π/4)=(- 1)/√2 với là:
A.1
B. 2
C. 3
D. 4
Lời giải
Chọn D
Ta có: sin(x- π/4)=(- 1)/√2 ⇒ sin(x- π/4)=sin(- π/4)
+ Xét họ nghiệm x = k2π với π ≤ x ≤ 5π
⇒ π ≤ k2π ≤ 5π ⇒ 1/2 ≤ x ≤ 5/2
Mà k nguyên nên k=1 hoặc k= 2
⇒ Họ nghiệm này cho ta hai nghiệm thỏa mãn điều kiện .
+ Xét họ nghiệm x= 3π/2+k2π với π ≤ x ≤ 5π
⇒ π ≤ 3π/2+k2π ≤ 5π ⇒ 1/2 ≤ x ≤ 5/2
Vì k nguyên nên k∈{0;1}.
⇒ Họ nghiệm này cho ta hai nghiệm của x thỏa mãn điều kiện .
Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm thỏa mãn điều kiện.
Chọn D.
Ví dụ 3. Số nghiệm của phương trình: cos(x+π/3)= √2/2 với 0 ≤ x ≤ 2π là:
A. 0.
B. 2.
C. 1.
D. 3.
Lời giải
Chọn D
Ta có: cos(x+π/3)= √2/2 ⇒ cos(x+π/3)= cos π/4
+ Xét họ nghiệm: x= -π/12+k2π
Để 0 ≤ x ≤ 2π thì 0 ≤ -π/12+k2π ≤ 2π
⇔ π/12 ≤ k2π ≤ 25π/12 ⇔ 1/24 ≤ k ≤ 25/24
Mà k nguyên nên k = 1 khi đó x= 23π/12
+ Xét họ nghiệm x= -7π/12+k2π
Để 0 ≤ x ≤ 2π thì 0 ≤ -7π/12+k2π ≤ 2π
⇔ 7π/12 ≤ k2π ≤ 31π/12 ⇔ 7/24 ≤ k ≤ 31/24
Mà k nguyên nên k = 1 khi đó x= 17π/12
Vậy phương trình có hai nghiệm 0 ≤ x ≤ 2π là: x= 23π/12 và x= 17π/12
Chọn B.
Ví dụ 4. Tìm nghiệm của phương trình: tanx = 1 trên đoạn (0; 1800 )
A. 450; 1350
B. 1350
C. 450
D. Đáp án khác
Lời giải
Ta có; tanx = 1 ⇔ tanx = 450
⇔ x= 450+ k.1800 với k∈ Z.
+Để 00 < x < 1800 thì 00 < 450+ k. 1800 < 1800
⇔ - 450 < k.1800 < 1350
⇔ (- 45)/180 < k < 135/180
Mà k nguyên nên k= 1. Khi đó;x= 450
Vậy phương trình tanx= 1 có một nghiệm thuộc khoảng (00; 1800)
Chọn C.
Ví dụ 5. Tìm tổng các nghiệm của phương trình cosx = sinx trên đoạn [0;π]
A. 3π/4
B. π/2
C. π/4
D. Đáp án khác
Lời giải
Ta có: cosx = sinx ⇒ cos x= cos( π/2-x)
⇔ x= π/4+kπ
Xét các nghiệm trên đoạn [0; π] ta có:
0 < π/4+kπ < π ⇔ - π/4 < kπ < 3π/4
⇔ (- 1)/4 < k < 3/4
Mà k nguyên nên k= 0. Khi đó; x= π/4
Chọn C.
Ví dụ 6. Cho phương trình sin( x+ π/6)= 1/2. Tìm tổng các nghiệm của phương trình trên đoạn [0; π]
A. π/6
B. π/3
C. x= 4π/3
D. x= 2π/3
Lời giải
Ta có: sin( x+ π/6)= 1/2 ⇒ sin( x+ π/6)= sin π/6
+ Xét họ nghiệm x= k2π. Ta có:
0 ≤ k2π ≤ π ⇒ 0 ≤ k ≤ 1/2
Mà k nguyên nên k= 0 . Khi đó; nghiệm của phương trình là x= 0
+ Xét họ nghiệm x=2π/3+k2π . Ta có:
0 ≤ 2π/3+ k2π ≤ π ⇔ (- 2)/3 ≤ k ≤ 1/6
Mà k nguyên nên k= 0. Khi đó; x= 2π/3
Vậy trên đoạn [0; π] phương trình đã cho có 2 nghiệm là x= 0 và x= 2π/3
⇒ Tổng hai nghiệm là 2π/3
Chọn D.
Ví dụ 7. Cho phương trình tan ( x+ 450 )= √3. Tìm các nghiệm của phương trình trên khoảng (900 ;3600 )
A. 1750
B.1950
C. 2150
D. Đáp án khác
Lời giải
Ta có: tan(x+ 450 ) = √3 ⇔ tan(x+ 450 ) = tan 600
⇔ x+ 450 =600 + k.1800
< x= 150 +k.1800
Các nghiệm của phương trình trên khoảng (900 ; 3600 ) thỏa mãn:
900 < 150 + k.1800 < 3600
< 750 < k.1800 < 3450
< 75/180 < k < 345/180
Mà k nguyên nên k= 1
Với k = 1 ta có x= 1950
Chọn B.
Ví dụ 8. Cho phương trình sinx = 0.Biết số nghiệm của phương trình trên khoảng (00; a0) là 3. Tìm điều kiện của a.
A. a > 540
B. a > 360
C.a > 270
D. a > 630
Lời giải
Ta có: sinx=0 ⇒ x= k.1800 với k nguyên
Ta xét số nghiệm cua phương trình trên khoảng (00; a0)
00 < k.1800 < a0
⇒ 0 < k < a/180 (1)
Do phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm trên khoảng (00;a0) nên k∈{1;2;3} (2)
Từ (1) và (2) suy ra: a/180 > 3 ⇔ a > 540
Vậy điều kiện của a là a > 540.
Chọn A.
Ví dụ 9. Cho phương trình tan(x+ π/3) = √3. Tìm số nghiệm của phương trình đã cho trên khoảng ( 0; 6π ) .
A. 3
B.4
C. 5
D. 6
Lời giải
Ta có: tan(x+ π/3) = √3 ⇔ tan(x+ π/3) = tan π/3
⇒ x+ π/3= π/3+kπ ⇒ x= kπ với k nguyên
Xét các nghiệm của phương trình trên khoảng ( 0; 6π) thỏa mãn:
0 < kπ < 6π < ⇒ 0 < k < 6
Do k nguyên nên k∈{ 1;2;3;4;5}
Vậy số nghiệm của phương trình đã cho trên(0; 6π) là 5.
Chọn C.
Ví dụ 10. Cho phương trình cos(x+ 300) = cos( x + 900) . Tính số nghiệm của phương trình trên đoạn [1800; 6300]
A.3
B.2
C. 4
D. 5
Lời giải
Ta có: cos(x+ 300) = cos(x+ 900)
Các nghiệm của phương trình trên đoạn[ 1800; 6300] thỏa mãn:
⇔ 1800 ≤ 300+k1800 ≤ 6300
⇔ 1500 ≤ k1800 ≤ 6000 ⇔ 5/6 ≤ k ≤ 10/3
Mà k nguyên nên k∈ { 1; 2; 3}
Vậy số nghiệm của phương trình đã cho trên [1800; 6300] là 3
Chọn A.
Ví dụ 11. Cho phương trình cot(x- 300) = tanx. Tìm số nghiệm của phương trình đã cho trên khoảng ( - 2700; 00)
A.4
B. 3
C. 5
D.2
Lời giải
Ta có: cot(x- 300)= tanx ⇔ cot( x- 300) =cot( 900- x)
⇔ x- 300 = 900 – x+ k.1800
⇔ 2x= 1200 + k.1800 ⇔ x= 600 + k. 1800
Các nghiệm của phương trình đã cho trên khoảng (-2700; 00) thỏa mãn:
- 2700 < 600+ k.1800 < 00
⇔ -3300 < k.1800 < - 600
⇔ (- 33)/18 < k < (-1)/3
Mà k nguyên nên k∈ {-2; -1}
Vậy có hai nghiệm của phương trình đã cho trên khoảng( -2700; 00)
Chọn D.
Ví dụ 12. Cho phương trình: √3cosx+m-1=0. Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm:
A.m < 1-√3 .
B.m > 1+√3 .
C.1-√3≤ m ≤1+√3 .
D. -√3 ≤m≤ √3 .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: có nghiệm khi và chỉ khi :
Ta có:
C. Bài tập vận dụng
Câu 1:Cho phương trình √6 sinx- (3√2)/2=0 . Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng ( 0; 4π) ?
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
Lời giải:
mà k nguyên nên k =0 hoặc 1.
+ Tương tự; có 0 < 2π/3+k2π < 4π nên (-2π)/3 < k2π < 10π/3
⇒ (- 2)/6 < k < 10/6, mà k nguyên nên k =0 hoặc 1.
⇒ Phương trình đã cho có tất cả bốn nghiệm trên khoảng (0; 4π)
Chọn A.
Câu 2:Cho phương trình sin(x+ 100) = cos( x- 200). Tìm số nghiêm của phương trình trên khoảng (900 ; 3600)?
A.0
B.1
C.2
D.4
Lời giải:
Ta có: sin(x+100) = cos(x-200)
⇔ sin(x+100) = sin (900- x+ 200)
⇔ sin (x+100) = sin (1100- x)
Ta có: 900 < 500+ k.1800 < 3600
⇔ 400 < k.1800 < 3100 ⇒ 4/18 < k < 31/18
Mà k nguyên nên k= 1.
⇒ Trên khoảng (900;3600) phương trình đã cho có đúng một nghiệm.
Chọn B.
Câu 3:Tìm số nghiệm của phương trình sinx= cos ( 2x- 300) trên khoảng ( 600; 3600)
A.0
B.2
C.3
D.1
Lời giải:
Lời giải
Ta có: sinx= cos( 2x- 300)
⇔ cos ( 900- x) =cos (2x- 300)
+ khi đó: 600 < 400 – k.3600 < 3600
⇔ 200 < - k.3600 < 3200
⇔ (-32)/36 < k < (- 1)/18
Mà k nguyên nên không có giá trị nguyên nào của k thỏa mãn.
+ Tương tự; 600 < -600 + k.3600 < 3600
⇔ 1200 < k.3600 < 4200
⇔ 1/3 < k < 7/6
Mà k nguyên nên k= 1.
⇒ Phương trình đã cho có đúng một nghiệm thuộc khoảng (600;3600)
Chọn D.
Câu 4: Cho phương trình: √6 cot(π/2-x)+ √2=0. Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng ( π;4π) ?
A. 2
B.3
C .4
D. 5
Lời giải:
Ta có: √6 cot(π/2-x)+ √2=0
⇔ √6.tanx+ √2=0
⇔ tanx= (- 1)/√3 = tan (-π)/6
⇔ x= (-π)/6+kπ
+ khi đó; π < (-π)/6+kπ < 4π
⇔ 7π/6 < kπ < 25π/6 ⇔ 7/6 < k < 25/6
Mà k nguyên nên k∈ { 2;3;4}.
⇒ phương trình đã cho có 3 nghiệm thuộc khoảng (π;4π).
Chọn B.
Câu 5:Phương trình cosx= m+ 1 có nghiệm khi m là
A.-1≤m≤1 .
B.m≤0 .
C.m≥-2 .
D.-2≤m≤0 .
Lời giải:
Chọn D.
Áp dụng điều kiện nghiệm của phương trình cosx=a
+ Phương trình có nghiệm khi
+ Phương trình có nghiệm khi
Ta có phương trình cosx = m+ 1 có nghiệm khi và chỉ khi:
Câu 6:Nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ của phương trình sin4x + cos5x=0 theo thứ tự là:
A.
B.
C.
D.
Lời giải:
Chọn C.
sin4x + cos5x=0 ⇒ cos5x=-sin4x
Với nghiệm x=π/2+k2π ta có nghiệm âm lớn nhất và nhỏ nhất là -3π/2 và π/2
Với nghiệm x=-π/18 + k2π/9 ta có nghiệm âm lớn nhất và nhỏ nhất là -π/18 và π/6
Vậy hai nghiệm theo yêu cầu đề bài là -π/18 và π/6
Câu 7:Tìm tổng các nghiệm của phương trình trên
A. 7π/18
B. 4π/18
C. 47π/8
D. 47π/18
Lời giải:
Ta có: sin(5x+ π/3)=cos(2x- π/3)
Suy ra các nghiệm: x=11π/18
Vậy tổng các nghiệm là: 47π/18 .
Chọn D.
Câu 8:Trong nửa khoảng , phương trình cos2x+ sinx=0 có tập nghiệm là
A.
B.
C.
D.
Lời giải:
Chọn D.
Câu 9:Cho phương trình sinx + √3.sin π/6=0. Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng ( 4π;10π) ?
A. 5
B. 6
C. 7
D . 4 Lời giải
Lời giải:
Ta có: sinx + √3.sin π/6=0 ⇒ sinx + √3.1/2=0
⇔ sin x= (- √3)/2=sin (-π)/3
+ Ta có: 4π < (-π)/3+k2π < 10π
⇔ 13π/3 < k2π < 31π/3 ⇔ 13/6 < k < 31/6
Mà k nguyên nên k∈ { 3; 4; 5}
+ Tương tự; ta có: 4π < 4π/3+k2π < 10π
⇔ 8π/3 < k2π < 26π/3 ⇔ 4/3 < k < 13/3
Mà k nguyên nên k∈ {2; 3;4}
Kết hợp cả hai trường hợp; suy ra phương trình đã cho có tất cả 6 nghiệm trên khoảng (4π;10π) .
Chọn B.
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
- Giải phương trình lượng giác cơ bản
- Phương trình quy về phương trình lượng giác cơ bản
- Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác
- Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác
- Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác
- Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác
- Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn
Tủ sách VIETJACK shopee lớp 10-11 cho học sinh và giáo viên (cả 3 bộ sách):
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
- Giải Tiếng Anh 11 Global Success
- Giải sgk Tiếng Anh 11 Smart World
- Giải sgk Tiếng Anh 11 Friends Global
- Lớp 11 - Kết nối tri thức
- Soạn văn 11 (hay nhất) - KNTT
- Soạn văn 11 (ngắn nhất) - KNTT
- Giải sgk Toán 11 - KNTT
- Giải sgk Vật Lí 11 - KNTT
- Giải sgk Hóa học 11 - KNTT
- Giải sgk Sinh học 11 - KNTT
- Giải sgk Lịch Sử 11 - KNTT
- Giải sgk Địa Lí 11 - KNTT
- Giải sgk Giáo dục KTPL 11 - KNTT
- Giải sgk Tin học 11 - KNTT
- Giải sgk Công nghệ 11 - KNTT
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 11 - KNTT
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng 11 - KNTT
- Giải sgk Âm nhạc 11 - KNTT
- Lớp 11 - Chân trời sáng tạo
- Soạn văn 11 (hay nhất) - CTST
- Soạn văn 11 (ngắn nhất) - CTST
- Giải sgk Toán 11 - CTST
- Giải sgk Vật Lí 11 - CTST
- Giải sgk Hóa học 11 - CTST
- Giải sgk Sinh học 11 - CTST
- Giải sgk Lịch Sử 11 - CTST
- Giải sgk Địa Lí 11 - CTST
- Giải sgk Giáo dục KTPL 11 - CTST
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 11 - CTST
- Giải sgk Âm nhạc 11 - CTST
- Lớp 11 - Cánh diều
- Soạn văn 11 Cánh diều (hay nhất)
- Soạn văn 11 Cánh diều (ngắn nhất)
- Giải sgk Toán 11 - Cánh diều
- Giải sgk Vật Lí 11 - Cánh diều
- Giải sgk Hóa học 11 - Cánh diều
- Giải sgk Sinh học 11 - Cánh diều
- Giải sgk Lịch Sử 11 - Cánh diều
- Giải sgk Địa Lí 11 - Cánh diều
- Giải sgk Giáo dục KTPL 11 - Cánh diều
- Giải sgk Tin học 11 - Cánh diều
- Giải sgk Công nghệ 11 - Cánh diều
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 11 - Cánh diều
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng 11 - Cánh diều
- Giải sgk Âm nhạc 11 - Cánh diều