Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trên khoảng, đoạn - Toán lớp 11

Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trên khoảng, đoạn

A. Phương pháp giải

+ Để giải phương trình trên khoảng (a;b) ( hoặc trên đoạn) thì ta cần:

   • Bước 1. Tìm họ nghiệm của phương trình đã cho.

   • Bước 2. Giải bất phương trình:

⇒ Các giá trị nguyên của k=... ⇒ các nghiệm của phương trình trong khoảng ( đoạn ) đã cho.

+ Để giải bất phương trình có chứa điều kiện ta cần:

   • Bươc 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình ( nếu có).

   • Bước 2.Biến đổi phương trình đưa về phương trình lượng giác cơ bản

   • Bước 3. Giải phương trình lượng giác cơ bản

   • Bước 4. Kết hợp với điều kiện xác định ⇒ nghiệm của phương trình .

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Số nghiệm của phương trình tanx= tan3π/11 trên khoảng( π/4;2π) là?

A. 1

B.2

C. 3

D. 4

Lời Giải.

Chọn B.

Ta có tanx = tan(3π/11) ⇔ x=3π/11+kπ k∈Z

Do x∈( π/4;2π) nên π/4 < 3π/11+kπ < 2π

⇔ 1/4 < 3/11+k < 2 ⇔ (- 1)/44 < k < 19/11

Mà k nguyên nên k ∈{ 0;1}

Tương ứng với hai giá trị của k cho ta hai nghiệm của phương trình đã cho thỏa mãn điều kiện đề bài.

Ví dụ 2. Số nghiệm của phương trình: sin ( x- π/4)=(- 1)/√2 với là:

A.1

B. 2

C. 3

D. 4

Lời giải

Chọn D

Ta có: sin(x- π/4)=(- 1)/√2 ⇒ sin(x- π/4)=sin⁡(- π/4)

Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trên khoảng, đoạn | Toán lớp 11

+ Xét họ nghiệm x = k2π với π ≤ x ≤ 5π

⇒ π ≤ k2π ≤ 5π ⇒ 1/2 ≤ x ≤ 5/2

Mà k nguyên nên k=1 hoặc k= 2

⇒ Họ nghiệm này cho ta hai nghiệm thỏa mãn điều kiện .

+ Xét họ nghiệm x= 3π/2+k2π với π ≤ x ≤ 5π

⇒ π ≤ 3π/2+k2π ≤ 5π ⇒ 1/2 ≤ x ≤ 5/2

Vì k nguyên nên k∈{0;1}.

⇒ Họ nghiệm này cho ta hai nghiệm của x thỏa mãn điều kiện .

Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm thỏa mãn điều kiện.

Chọn D.

Ví dụ 3. Số nghiệm của phương trình: cos⁡(x+π/3)= √2/2 với 0 ≤ x ≤ 2π là:

A. 0.

B. 2.

C. 1.

D. 3.

Lời giải

Chọn D

Ta có: cos⁡(x+π/3)= √2/2 ⇒ cos⁡(x+π/3)= cos π/4

Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trên khoảng, đoạn | Toán lớp 11

+ Xét họ nghiệm: x= -π/12+k2π

Để 0 ≤ x ≤ 2π thì 0 ≤ -π/12+k2π ≤ 2π

⇔ π/12 ≤ k2π ≤ 25π/12 ⇔ 1/24 ≤ k ≤ 25/24

Mà k nguyên nên k = 1 khi đó x= 23π/12

+ Xét họ nghiệm x= -7π/12+k2π

Để 0 ≤ x ≤ 2π thì 0 ≤ -7π/12+k2π ≤ 2π

⇔ 7π/12 ≤ k2π ≤ 31π/12 ⇔ 7/24 ≤ k ≤ 31/24

Mà k nguyên nên k = 1 khi đó x= 17π/12

Vậy phương trình có hai nghiệm 0 ≤ x ≤ 2π là: x= 23π/12 và x= 17π/12

Chọn B.

Ví dụ 4. Tìm nghiệm của phương trình: tanx = 1 trên đoạn (0; 1800 )

A. 450; 1350

B. 1350

C. 450

D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có; tanx = 1 ⇔ tanx = 450

⇔ x= 450+ k.1800 với k∈ Z.

+Để 00 < x < 1800 thì 00 < 450+ k. 1800 < 1800

⇔ - 450 < k.1800 < 1350

⇔ (- 45)/180 < k < 135/180

Mà k nguyên nên k= 1. Khi đó;x= 450

Vậy phương trình tanx= 1 có một nghiệm thuộc khoảng (00; 1800)

Chọn C.

Ví dụ 5. Tìm tổng các nghiệm của phương trình cosx = sinx trên đoạn [0;π]

A. 3π/4

B. π/2

C. π/4

D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có: cosx = sinx ⇒ cos x= cos( π/2-x)

Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trên khoảng, đoạn | Toán lớp 11

⇔ x= π/4+kπ

Xét các nghiệm trên đoạn [0; π] ta có:

0 < π/4+kπ < π ⇔ - π/4 < kπ < 3π/4

⇔ (- 1)/4 < k < 3/4

Mà k nguyên nên k= 0. Khi đó; x= π/4

Chọn C.

Ví dụ 6. Cho phương trình sin( x+ π/6)= 1/2. Tìm tổng các nghiệm của phương trình trên đoạn [0; π]

A. π/6

B. π/3

C. x= 4π/3

D. x= 2π/3

Lời giải

Ta có: sin( x+ π/6)= 1/2 ⇒ sin( x+ π/6)= sin π/6

Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trên khoảng, đoạn | Toán lớp 11

+ Xét họ nghiệm x= k2π. Ta có:

0 ≤ k2π ≤ π ⇒ 0 ≤ k ≤ 1/2

Mà k nguyên nên k= 0 . Khi đó; nghiệm của phương trình là x= 0

+ Xét họ nghiệm x=2π/3+k2π . Ta có:

0 ≤ 2π/3+ k2π ≤ π ⇔ (- 2)/3 ≤ k ≤ 1/6

Mà k nguyên nên k= 0. Khi đó; x= 2π/3

Vậy trên đoạn [0; π] phương trình đã cho có 2 nghiệm là x= 0 và x= 2π/3

⇒ Tổng hai nghiệm là 2π/3

Chọn D.

Ví dụ 7. Cho phương trình tan ( x+ 450 )= √3. Tìm các nghiệm của phương trình trên khoảng (900 ;3600 )

A. 1750

B.1950

C. 2150

D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có: tan(x+ 450 ) = √3 ⇔ tan(x+ 450 ) = tan 600

⇔ x+ 450 =600 + k.1800

< x= 150 +k.1800

Các nghiệm của phương trình trên khoảng (900 ; 3600 ) thỏa mãn:

900 < 150 + k.1800 < 3600

< 750 < k.1800 < 3450

< 75/180 < k < 345/180

Mà k nguyên nên k= 1

Với k = 1 ta có x= 1950

Chọn B.

Ví dụ 8. Cho phương trình sinx = 0.Biết số nghiệm của phương trình trên khoảng (00; a0) là 3. Tìm điều kiện của a.

A. a > 540

B. a > 360

C.a > 270

D. a > 630

Lời giải

Ta có: sinx=0 ⇒ x= k.1800 với k nguyên

Ta xét số nghiệm cua phương trình trên khoảng (00; a0)

00 < k.1800 < a0

⇒ 0 < k < a/180 (1)

Do phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm trên khoảng (00;a0) nên k∈{1;2;3} (2)

Từ (1) và (2) suy ra: a/180 > 3 ⇔ a > 540

Vậy điều kiện của a là a > 540.

Chọn A.

Ví dụ 9. Cho phương trình tan(x+ π/3) = √3. Tìm số nghiệm của phương trình đã cho trên khoảng ( 0; 6π ) .

A. 3

B.4

C. 5

D. 6

Lời giải

Ta có: tan(x+ π/3) = √3 ⇔ tan(x+ π/3) = tan π/3

⇒ x+ π/3= π/3+kπ ⇒ x= kπ với k nguyên

Xét các nghiệm của phương trình trên khoảng ( 0; 6π) thỏa mãn:

0 < kπ < 6π < ⇒ 0 < k < 6

Do k nguyên nên k∈{ 1;2;3;4;5}

Vậy số nghiệm của phương trình đã cho trên(0; 6π) là 5.

Chọn C.

Ví dụ 10. Cho phương trình cos(x+ 300) = cos( x + 900) . Tính số nghiệm của phương trình trên đoạn [1800; 6300]

A.3

B.2

C. 4

D. 5

Lời giải

Ta có: cos(x+ 300) = cos(x+ 900)

Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trên khoảng, đoạn | Toán lớp 11

Các nghiệm của phương trình trên đoạn[ 1800; 6300] thỏa mãn:

⇔ 1800 ≤ 300+k1800 ≤ 6300

⇔ 1500 ≤ k1800 ≤ 6000 ⇔ 5/6 ≤ k ≤ 10/3

Mà k nguyên nên k∈ { 1; 2; 3}

Vậy số nghiệm của phương trình đã cho trên [1800; 6300] là 3

Chọn A.

Ví dụ 11. Cho phương trình cot(x- 300) = tanx. Tìm số nghiệm của phương trình đã cho trên khoảng ( - 2700; 00)

A.4

B. 3

C. 5

D.2

Lời giải

Ta có: cot(x- 300)= tanx ⇔ cot( x- 300) =cot( 900- x)

⇔ x- 300 = 900 – x+ k.1800

⇔ 2x= 1200 + k.1800 ⇔ x= 600 + k. 1800

Các nghiệm của phương trình đã cho trên khoảng (-2700; 00) thỏa mãn:

- 2700 < 600+ k.1800 < 00

⇔ -3300 < k.1800 < - 600

⇔ (- 33)/18 < k < (-1)/3

Mà k nguyên nên k∈ {-2; -1}

Vậy có hai nghiệm của phương trình đã cho trên khoảng( -2700; 00)

Chọn D.

Ví dụ 12. Cho phương trình: √3cos⁡x+m-1=0. Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm:

A.m < 1-√3 .

B.m > 1+√3 .

C.1-√3≤ m ≤1+√3 .

D. -√3 ≤m≤ √3 .

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

Ta có:Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trên khoảng, đoạn | Toán lớp 11 có nghiệm khi và chỉ khi :

Ta có:Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trên khoảng, đoạn | Toán lớp 11

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:Cho phương trình √6 sinx- (3√2)/2=0 . Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng ( 0; 4π) ?

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trên khoảng, đoạn | Toán lớp 11

mà k nguyên nên k =0 hoặc 1.

+ Tương tự; có 0 < 2π/3+k2π < 4π nên (-2π)/3 < k2π < 10π/3

⇒ (- 2)/6 < k < 10/6, mà k nguyên nên k =0 hoặc 1.

⇒ Phương trình đã cho có tất cả bốn nghiệm trên khoảng (0; 4π)

Chọn A.

Câu 2:Cho phương trình sin(x+ 100) = cos( x- 200). Tìm số nghiêm của phương trình trên khoảng (900 ; 3600)?

A.0

B.1

C.2

D.4

Ta có: sin(x+100) = cos(x-200)

⇔ sin(x+100) = sin (900- x+ 200)

⇔ sin (x+100) = sin (1100- x)

Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trên khoảng, đoạn | Toán lớp 11

Ta có: 900 < 500+ k.1800 < 3600

⇔ 400 < k.1800 < 3100 ⇒ 4/18 < k < 31/18

Mà k nguyên nên k= 1.

⇒ Trên khoảng (900;3600) phương trình đã cho có đúng một nghiệm.

Chọn B.

Câu 3:Tìm số nghiệm của phương trình sinx= cos ( 2x- 300) trên khoảng ( 600; 3600)

A.0

B.2

C.3

D.1

Lời giải

Ta có: sinx= cos( 2x- 300)

⇔ cos ( 900- x) =cos (2x- 300)

+ khi đó: 600 < 400 – k.3600 < 3600

⇔ 200 < - k.3600 < 3200

⇔ (-32)/36 < k < (- 1)/18

Mà k nguyên nên không có giá trị nguyên nào của k thỏa mãn.

+ Tương tự; 600 < -600 + k.3600 < 3600

⇔ 1200 < k.3600 < 4200

⇔ 1/3 < k < 7/6

Mà k nguyên nên k= 1.

⇒ Phương trình đã cho có đúng một nghiệm thuộc khoảng (600;3600)

Chọn D.

Câu 4: Cho phương trình: √6 cot⁡(π/2-x)+ √2=0. Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng ( π;4π) ?

A. 2

B.3

C .4

D. 5

Ta có: √6 cot⁡(π/2-x)+ √2=0

⇔ √6.tanx+ √2=0

⇔ tanx= (- 1)/√3 = tan (-π)/6

⇔ x= (-π)/6+kπ

+ khi đó; π < (-π)/6+kπ < 4π

⇔ 7π/6 < kπ < 25π/6 ⇔ 7/6 < k < 25/6

Mà k nguyên nên k∈ { 2;3;4}.

⇒ phương trình đã cho có 3 nghiệm thuộc khoảng (π;4π).

Chọn B.

Câu 5:Phương trình cosx= m+ 1 có nghiệm khi m là

A.-1≤m≤1 .

B.m≤0 .

C.m≥-2 .

D.-2≤m≤0 .

Chọn D.

Áp dụng điều kiện nghiệm của phương trình cosx=a

+ Phương trình có nghiệm khi Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trên khoảng, đoạn | Toán lớp 11

+ Phương trình có nghiệm khi Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trên khoảng, đoạn | Toán lớp 11

Ta có phương trình cosx = m+ 1 có nghiệm khi và chỉ khi:

Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trên khoảng, đoạn | Toán lớp 11

Câu 6:Nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ của phương trình sin4x + cos5x=0 theo thứ tự là:

A.Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trên khoảng, đoạn | Toán lớp 11

B.Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trên khoảng, đoạn | Toán lớp 11

C.Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trên khoảng, đoạn | Toán lớp 11

D.Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trên khoảng, đoạn | Toán lớp 11

Chọn C.

sin4x + cos5x=0 ⇒ cos5x=-sin4x

Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trên khoảng, đoạn | Toán lớp 11

Với nghiệm x=π/2+k2π ta có nghiệm âm lớn nhất và nhỏ nhất là -3π/2 và π/2

Với nghiệm x=-π/18 + k2π/9 ta có nghiệm âm lớn nhất và nhỏ nhất là -π/18 và π/6

Vậy hai nghiệm theo yêu cầu đề bài là -π/18 và π/6

Câu 7:Tìm tổng các nghiệm của phương trình trên

A. 7π/18

B. 4π/18

C. 47π/8

D. 47π/18

Ta có: sin(5x+ π/3)=cos⁡(2x- π/3)

Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trên khoảng, đoạn | Toán lớp 11

Suy ra các nghiệm: x=11π/18

Vậy tổng các nghiệm là: 47π/18 .

Chọn D.

Câu 8:Trong nửa khoảng , phương trình cos2x+ sinx=0 có tập nghiệm là

A.Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trên khoảng, đoạn | Toán lớp 11

B.Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trên khoảng, đoạn | Toán lớp 11

C.Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trên khoảng, đoạn | Toán lớp 11

D.Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trên khoảng, đoạn | Toán lớp 11

Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trên khoảng, đoạn | Toán lớp 11

Chọn D.

Câu 9:Cho phương trình sinx + √3.sin π/6=0. Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng ( 4π;10π) ?

A. 5

B. 6

C. 7

D . 4 Lời giải

Ta có: sinx + √3.sin π/6=0 ⇒ sinx + √3.1/2=0

⇔ sin x= (- √3)/2=sin (-π)/3

Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trên khoảng, đoạn | Toán lớp 11

+ Ta có: 4π < (-π)/3+k2π < 10π

⇔ 13π/3 < k2π < 31π/3 ⇔ 13/6 < k < 31/6

Mà k nguyên nên k∈ { 3; 4; 5}

+ Tương tự; ta có: 4π < 4π/3+k2π < 10π

⇔ 8π/3 < k2π < 26π/3 ⇔ 4/3 < k < 13/3

Mà k nguyên nên k∈ {2; 3;4}

Kết hợp cả hai trường hợp; suy ra phương trình đã cho có tất cả 6 nghiệm trên khoảng (4π;10π) .

Chọn B.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, soạn văn, văn mẫu.... Tải App để chúng tôi phục vụ tốt hơn.

Tải App cho Android hoặc Tải App cho iPhone

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 11 Đại số, Giải tích và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số, Giải tích 11 và Hình học 11.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.