Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

Bài viết Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác.

Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

A. Phương pháp giải

+ Cho một phương trình lượng giác để quy phương trình đó về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác ta cần: sử dụng các công thức cộng; công thức nhân đôi; công thức biến đổi tổng thành tích và tích thành tổng...

+ Sau đó; áp dụng cách giải phương trình phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác để giải phương trình

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Phương trình có nghiệm là:

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn A.

Ví dụ 2: Giải phương trình sinx. cosx.(2cosx -1) = 0

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có : sinx. cosx. (2cosx-1)=0

⇒ 2sinx.cosx. ( 2cosx- 1) = 0

⇒ sin2x. (2cosx- 1) = 0

+ Trường hợp 1. Nếu sin2x=0 ⇒ 2x=k.π nên x = kπ/2

+ trường hợp 2. Nếu 2cosx- 1 ⇒ cosx = 1/2 = cos π/3

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là kπ/2; π/3+k2π và (-π)/3+k2π

Chọn A.

Ví dụ 3: Nghiệm của phương trình sinx.cosx =1 là:

A. x=k2π .

B. x=π/4 +kπ.

C. Phương trình vô nghiệm

D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có: sinx. cosx= 1 ⇒ 2sinx.cosx= 2

⇒ sin2x= 2 ( vô lí vì với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ sin2x ≤ 1)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Chọn C.

Ví dụ 4: Giải phương trình 8.sin x.cosx.cos2x + 1=0

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Ta có; 8sinx. cosx.cos2x + 1 = 0

4sin2x.cos2x + 1= 0 ( vì 2sinx. cosx= sin2x)

2.sin4x+ 1= 0 ( vì 2.sin2x. cos2x= sin4x)

sin 4x= (- 1)/2 = sin (-π)/6

Chọn B.

Ví dụ 5: Giải phương trình

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Ta có:

Chọn C.

Ví dụ 6: Giải phương trình cot2x.cotx= 1.

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ví dụ 7: Nghiệm của phương trình tan3x.cot2x = 1 là:

A.

B.

C. k <

D. Vô nghiệm.

Lời giải

Điều kiện:

Ta có: tan3x. cot 2x=1 ⇒ tan 3x= 1/cot⁡2x

⇒ tan 3x= tan 2x ( vì tan2x.cot 2x = 1)

⇒ 3x= 2x+ kπ ⇒ x = kπ

Kết hợp với điều kiện suy ra phương trình đã cho vô nghiệm.

Chọn D.

Ví dụ 8. Phương trình: có nghiệm là:

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Ta có :

Chọn B

Ví dụ 9. Nghiệm của phương trình cos⁴ x- sin⁴x là

Lời giải

Ta cos: cos⁴ x- sin⁴ x=0

⇒ ( cos² x- sin² x) ( cos² x+ sin² x) = 1

⇒ cos²x - sin² x = 1 ( vì cos²x + sin² x = 1)

⇒ cos2x= 1 ⇒ 2x= k2π

⇒ x= kπ

Chọn D.

Ví dụ 10: Phương trình 4cos² x – 2sin₂ x = 0 tương đương với phương trình nào sau đây?

A. 1+ 2sin2x = 0

B.2- 4sin2x = 0

C. 1+ 3cos2x= 0

D. 1- 2cos2x =0

Lời giải

Áp dụng công thức hạ bậc ta có:

4cos² x – 2sin² x=0

⇒ 2 . (1+ cos2x) – (1 – cos2x)= 0

⇒ 1 + 3cos2x=0

Chọn C .

Ví dụ 11: Phương trình có nghiệm là:

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Điều kiện

So sánh với điều kiện, ta nhận x= π/6+k.π/3.

Chọn B.

Ví dụ 12. Phương trình sin³x+ cos³ x+sin²x. cosx + cos² x. sinx = có nghiệm là:

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Điều kiện:

Ta có: sin³x+ cos³ x+sin³x. cosx + cos³x. sinx =

⇒ ( sinx+ cosx). ( sin² x- sinx. cosx+ cos²x)+ sinx. cosx ( sinx+ cosx)=

⇒ (sinx+ cosx) . (1 – sinx. cosx) + sinx. cosx.( sinx+ cosx) =

⇒ (sinx+ cosx) .( 1- sinx.cosx+ sinx. cosx)=

⇒ sinx+ cosx =

⇒ (sinx+ cosx)² = 2sin2x

⇒ sin²x+ cos²x + 2sinx. cosx= 2sin2x

⇒ 1+ sin2x = 2sin2x ⇒ sin2x= 1

⇒ 2x= π/2+k2π ⇒ x= π/4+kπ

So sánh điều kiện ta có nghiệm phương trình là: x = π/4+kπ

Chọn B.

Ví dụ 13. Phương trình có nghiệm là:

A. .

B. .

C. .

D.Vô nghiệm.

Lời giải

⇒ 1- 2sin2 x.cos2x= sin2x+ cos2x

⇒ 1- 2sin2 x. cos2 x= 1

⇒ 2sin2x. cos2 x= 0 ⇒ sinx. cosx=0

⇒ sin2x= 0 ⇒ 2x=kπ

⇒ x= kπ/2 ( không thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm .

Chọn D.

Ví dụ 14. Giải phương trình: cos2x.cosx + sin3x. cosx= sin2x. sinx – sinx.cos3x

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Ta có: cos2x.cosx + sin3x. cosx= sin2x. sinx – sinx. cos3x

⇒ ( cos2x. cosx – sin2x.sinx )+ (sin3x. cosx + sinx. cos3x) = 0

⇒ cos3x + sin4x= 0 ⇒ cos 3x = -sin 4x

⇒ cos3x= cos(π/2+4x)

Chọn C.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:Nghiệm của phương trình là :

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Chọn A.

Câu 2:Phương trình (2sinx+1).(4cosx- 4)=0 có nghiệm là

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Chọn B

Câu 3: Nghiệm của phương trình sinx. cosx= cos(π/2-2x) là:

A. x=kπ

B. x=kπ/2

c. x=kπ/8

D.x=kπ/4

Lời giải:

Chọn B.

Câu 4:Giải phương trình: cos3x. cos 5x= cosx. cos7x.

A. x= kπ

B. x= kπ/4

C. x= kπ/2

D. Đáp án khác

Lời giải:

Ta có: cos 3x.cos 5x= cos x. cos 7x

⇒ 1/2(cos⁡8x+cos⁡2x)= 1/2( cos8x+cos6x)

⇒ cos8x+ cos2x= cos8x + cos6x

⇒ cos 2x= cos 6x

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x= kπ/4

Chọn B.

Câu 5:Tất cả các nghiệm của phương trình là

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Chọn A.

Câu 6:Giải phương trình 2sinx.cosx.(1+tanx).(1+cotx)= 2

A. x= k.π

B. x= k2π .

C. x= kπ/2.

D. Phương trình vô nghiệm

Lời giải:

Điều kiện:

⇒ (sinx+ cosx)² = 1

⇒ sin² x+ cos² x+ 2sinx. cosx =1

⇒ 1+ 2sinx. cosx=1 ⇒ 2sinx. cosx= 0

⇒ sin2x= 0 (loại vì không thỏa mãn điều kiện )

Vậy phương trìn đã cho vô nghiệm.

Chọn C.

Câu 7:Nghiệm của phương trình sin 3x. cos 2x= 1/2 sin 5x

A.

B.

C.

D. x=kπ

Lời giải:

Ta có: sin3x.cos2x= 1/2.sin 5x

⇒ 1/2( sin5x + sinx) = 1/2 sin5x

⇒ 1/2 sinx= 0 ⇒ sinx=0

⇒ x=k.π

Chọn D.

Câu 8:Giải phương trình cos 4x+ cos 6x= cosx

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Ta có; cos 4x + cos6x= cosx

⇒ 2.cos 5x.cosx – cosx= 0

⇒ cos x. (2cos5x- 1) = 0

Chọn D.

Câu 9:Giải phương trình có các nghiệm là;

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Chọn A.

Câu 10:Tìm nghiệm của phương trình của phương trình

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Chọn B.

Câu 11:Giải phương trình sin⁴x + cos⁴ x= 3/4

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Chọn C.

Câu 12:Phương trình có nghiệm là:

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Chọn B

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Giải phương trình lượng giác cơ bản
• Tìm nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản trên khoảng (đoạn)
• Phương trình quy về phương trình lượng giác cơ bản
• Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác
• Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác
• Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác
• Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn

---