Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác - Toán lớp 11

Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

A. Phương pháp giải

+ Cho một phương trình lượng giác để quy phương trình đó về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác ta cần: sử dụng các công thức cộng; công thức nhân đôi; công thức biến đổi tổng thành tích và tích thành tổng...

+ Sau đó; áp dụng cách giải phương trình phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác để giải phương trình

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Phương trình Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11 có nghiệm là:

A. Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

B.Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

C. Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

D. Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Lời giải

Chọn A.

Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Ví dụ 2: Giải phương trình sinx. cosx.(2cosx -1) = 0

A.Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

B.Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

C.Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có : sinx. cosx. (2cosx-1)=0

⇒ 2sinx.cosx. ( 2cosx- 1) = 0

⇒ sin2x. (2cosx- 1) = 0

+ Trường hợp 1. Nếu sin2x=0 ⇒ 2x=k.π nên x = kπ/2

+ trường hợp 2. Nếu 2cosx- 1 ⇒ cosx = 1/2 = cos π/3

Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là kπ/2; π/3+k2π và (-π)/3+k2π

Chọn A.

Ví dụ 3: Nghiệm của phương trình sinx.cosx =1 là:

A. x=k2π .

B. x=π/4 +kπ.

C. Phương trình vô nghiệm

D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có: sinx. cosx= 1 ⇒ 2sinx.cosx= 2

⇒ sin2x= 2 ( vô lí vì với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ sin2x ≤ 1)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Chọn C.

Ví dụ 4: Giải phương trình 8.sin x.cosx.cos2x + 1=0

A.Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

B.Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

C.Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

D.Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Lời giải

Ta có; 8sinx. cosx.cos2x + 1 = 0

4sin2x.cos2x + 1= 0 ( vì 2sinx. cosx= sin2x)

2.sin4x+ 1= 0 ( vì 2.sin2x. cos2x= sin4x)

sin 4x= (- 1)/2 = sin (-π)/6

Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Chọn B.

Ví dụ 5: Giải phương trình

Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

A.Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

B.Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

C.Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

D.Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Lời giải

Ta có:

Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Chọn C.

Ví dụ 6: Giải phương trình cot2x.cotx= 1.

A. Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

B. Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

C. Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải:

Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Chọn D.

Ví dụ 7: Nghiệm của phương trình tan3x.cot2x = 1 là:

A. Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

B. Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

C. k <

D. Vô nghiệm.

Lời giải

Điều kiện: Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Ta có: tan3x. cot 2x=1 ⇒ tan 3x= 1/cot⁡2x

⇒ tan 3x= tan 2x ( vì tan2x.cot 2x = 1)

⇒ 3x= 2x+ kπ ⇒ x = kπ

Kết hợp với điều kiện suy ra phương trình đã cho vô nghiệm.

Chọn D.

Ví dụ 8. Phương trình: Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11 có nghiệm là:

A. Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

B. Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

C. Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

D. Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Lời giải

Ta có :

Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Chọn B

Ví dụ 9. Nghiệm của phương trình cos4 x- sin4x là

Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Lời giải

Ta cos: cos4 x- sin4 x=0

⇒ ( cos2 x- sin2 x) ( cos2 x+ sin2 x) = 1

⇒ cos2x - sin2 x = 1 ( vì cos2x + sin2 x = 1)

⇒ cos2x= 1 ⇒ 2x= k2π

⇒ x= kπ

Chọn D.

Ví dụ 10: Phương trình 4cos2 x – 2sin2 x = 0 tương đương với phương trình nào sau đây?

A. 1+ 2sin2x = 0

B.2- 4sin2x = 0

C. 1+ 3cos2x= 0

D. 1- 2cos2x =0

Lời giải

Áp dụng công thức hạ bậc ta có:

4cos2 x – 2sin2 x=0

Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

⇒ 2 . (1+ cos2x) – (1 – cos2x)= 0

⇒ 1 + 3cos2x=0

Chọn C .

Ví dụ 11: Phương trình Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11 có nghiệm là:

A. Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

B. Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

C. Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

D. Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Lời giải

Điều kiện

Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

So sánh với điều kiện, ta nhận x= π/6+k.π/3.

Chọn B.

Ví dụ 12. Phương trình sin3x+ cos3 x+sin2x. cosx + cos2 x. sinx = Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11 có nghiệm là:

A.Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

B.Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

C.Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

D.Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Lời giải

Điều kiện:

Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Ta có: sin3x+ cos3 x+sin3x. cosx + cos3x. sinx = Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

⇒ ( sinx+ cosx). ( sin2 x- sinx. cosx+ cos2x)+ sinx. cosx ( sinx+ cosx)= Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

⇒ (sinx+ cosx) . (1 – sinx. cosx) + sinx. cosx.( sinx+ cosx) = Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

⇒ (sinx+ cosx) .( 1- sinx.cosx+ sinx. cosx)= Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

⇒ sinx+ cosx = Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

⇒ (sinx+ cosx)2 = 2sin2x

⇒ sin2x+ cos2x + 2sinx. cosx= 2sin2x

⇒ 1+ sin2x = 2sin2x ⇒ sin2x= 1

⇒ 2x= π/2+k2π ⇒ x= π/4+kπ

So sánh điều kiện ta có nghiệm phương trình là: x = π/4+kπ

Chọn B.

Ví dụ 13. Phương trình Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11 có nghiệm là:

A.Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11 .

B.Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11 .

C.Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11 .

D.Vô nghiệm.

Lời giải

Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

⇒ 1- 2sin2 x.cos2x= sin2x+ cos2x

⇒ 1- 2sin2 x. cos2 x= 1

⇒ 2sin2x. cos2 x= 0 ⇒ sinx. cosx=0

⇒ sin2x= 0 ⇒ 2x=kπ

⇒ x= kπ/2 ( không thỏa mãn điều kiện)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm .

Chọn D.

Ví dụ 14. Giải phương trình: cos2x.cosx + sin3x. cosx= sin2x. sinx – sinx.cos3x

A.Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

B.Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

C.Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

D.Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Lời giải

Ta có: cos2x.cosx + sin3x. cosx= sin2x. sinx – sinx. cos3x

⇒ ( cos2x. cosx – sin2x.sinx )+ (sin3x. cosx + sinx. cos3x) = 0

⇒ cos3x + sin4x= 0 ⇒ cos 3x = -sin 4x

⇒ cos3x= cos(π/2+4x)

Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Chọn C.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:Nghiệm của phương trình Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11 là :

A.Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

B.Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

C.Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

D.Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Chọn A.

Câu 2:Phương trình (2sinx+1).(4cosx- 4)=0 có nghiệm là

A.Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

B.Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

C.Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

D.Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Chọn B

Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Câu 3: Nghiệm của phương trình sinx. cosx= cos(π/2-2x) là:

A. x=kπ

B. x=kπ/2

c. x=kπ/8

D.x=kπ/4

Chọn B.

Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Câu 4:Giải phương trình: cos3x. cos 5x= cosx. cos7x.

A. x= kπ

B. x= kπ/4

C. x= kπ/2

D. Đáp án khác

Ta có: cos 3x.cos 5x= cos x. cos 7x

⇒ 1/2(cos⁡8x+cos⁡2x)= 1/2( cos8x+cos6x)

⇒ cos8x+ cos2x= cos8x + cos6x

⇒ cos 2x= cos 6x

Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x= kπ/4

Chọn B.

Câu 5:Tất cả các nghiệm của phương trình Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

A.Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

B.Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

C.Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

D.Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Chọn A.

Câu 6:Giải phương trình 2sinx.cosx.(1+tanx).(1+cotx)= 2

A. x= k.π

B. x= k2π .

C. x= kπ/2.

D. Phương trình vô nghiệm

Điều kiện:

Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

⇒ (sinx+ cosx)2 = 1

⇒ sin2 x+ cos2 x+ 2sinx. cosx =1

⇒ 1+ 2sinx. cosx=1 ⇒ 2sinx. cosx= 0

⇒ sin2x= 0 (loại vì không thỏa mãn điều kiện )

Vậy phương trìn đã cho vô nghiệm.

Chọn C.

Câu 7:Nghiệm của phương trình sin 3x. cos 2x= 1/2 sin 5x

A.Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

B.Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

C.Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

D. x=kπ

Ta có: sin3x.cos2x= 1/2.sin 5x

⇒ 1/2( sin5x + sinx) = 1/2 sin5x

⇒ 1/2 sinx= 0 ⇒ sinx=0

⇒ x=k.π

Chọn D.

Câu 8:Giải phương trình cos 4x+ cos 6x= cosx

A.Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

B.Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

C.Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

D.Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Ta có; cos 4x + cos6x= cosx

⇒ 2.cos 5x.cosx – cosx= 0

⇒ cos x. (2cos5x- 1) = 0

Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Chọn D.

Câu 9:Giải phương trình Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11 có các nghiệm là;

A.Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

B.Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

C.Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

D.Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Chọn A.

Câu 10:Tìm nghiệm của phương trình của phương trình Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

A.Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

B.Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

C.Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

D.Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Chọn B.

Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Câu 11:Giải phương trình sin4x + cos4 x= 3/4

A.Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

B.Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

C.Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

D.Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Chọn C.

Câu 12:Phương trình Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11 có nghiệm là:

A.Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

B.Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

C.Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

D.Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Chọn B

Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, soạn văn, văn mẫu.... Tải App để chúng tôi phục vụ tốt hơn.

Tải App cho Android hoặc Tải App cho iPhone

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 11 Đại số, Giải tích và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số, Giải tích 11 và Hình học 11.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.