Phương trình quy về phương trình lượng giác cơ bản

Bài viết Phương trình quy về phương trình lượng giác cơ bản với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Phương trình quy về phương trình lượng giác cơ bản.

Phương trình quy về phương trình lượng giác cơ bản

A. Phương pháp giải

Để đưa một phương trình về phương trình lượng giác cơ bản; ta cần sử dụng các phép biến đổi tương đương; các công thức lượng giác: công thức cộng; công thức nhân đôi; công thức biến đổi tổng thành tích; tích thành tổng. .. để đưa phương trình về phương trình lượng giác cơ bản

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Giải phương trình:cos² ( x- 30⁰) - sin² ( x- 30⁰) = sin(x+ 30⁰)

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn C.

Ví dụ 2. Giải phương trình cos( 60⁰+ x) + cos( 60⁰-x)= 1.

A. x = 30⁰+ k.180⁰

B.x= 60⁰ + k. 180⁰

C .x =90⁰ +k . 360⁰

D. x= k. 360⁰

Lời giải

Chọn D.

Ta có : cos( 60⁰+ x) + cos( 60⁰-x) = 1

⇒ 2cos 60⁰. cosx= 1

⇒ cosx = 1

⇒ x= k. 360⁰

Ví dụ 3. Giải phương trình :sin²x= 1/2

A. x= π+k2π

B. x= π/4+k π/2

C. x= π/2+kπ

D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có : sin² x= 1/2 ⇒ (1-cos2x)/2= 1/2

⇒ cos2x= 0 ⇒ 2x= π/2+kπ

⇒ x= π/4+k π/2

Chọn B.

Ví dụ 4. Giải phương trình : sin² x- sin² x.cos² x= 1

A. x= π/4+kπ

B. x= π/2+kπ

C. x= π/2+k2π

D. x=kπ

Lời giải

Ta có : sin² x – sin² x. cos² x= 1

⇔ sin² x( 1- cos² x) = 1

⇔ sin² x. sin²x= 1 ⇔ sin⁴ x= 1

⇔ sin² x= 1 ⇔ cosx=0

⇔ x= π/2+kπ

Chon C.

Ví dụ 5. Giải phương trình cos(x+ 30⁰) - √3/2.cosx= 1/2

A. x = π/2+k2π

B. x = 3π/2+kπ

C. x = π/2+kπ

D. x = kπ

Lời giải

Ta có: cos(x+30⁰) - √3/2.cosx= 1/2

⇔ cosx. cos30⁰- sinx. sin30⁰- √3/2.cosx= 1/2

⇔ cosx. √3/2-sinx. 1/2 - √3/2.cosx= 1/2

⇔ -sin⁡x.1/2= 1/2

⇔ sinx=- 1

⇔ x = 3π/2+k2π

Chọn C.

Ví dụ 6. Giải phương trình

A. x= (- π)/6+k.π

B. x= (- π)/12+k.π

C. x= ( π)/12+k.π

D. Đáp án khác

Lời giải

⇔ tan (x+π/4 )= tan π/6

⇔ x + π/4= π/6+ kπ

⇔ x= (- π)/12+k.π

Chọn B.

Ví dụ 7. Giải phương trình : cos(x+ 30⁰).cos( x- 30⁰) = 1/2

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Ta có: cos(x+ 30⁰) + cos(x-30⁰) = 1/2

⇔ 1/2 [ cos 2x +cos60⁰) = 1/2

⇔ cos2x+ cos 60⁰= 1

⇔ cos2x + 1/2=1

⇔ cos2x= 1/(2 ) =cos60⁰

Chọn D.

Ví dụ 8. Giải phương trình sin²x - cos²x = sinx

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có; sin²x- cos²x= sin x

- cos 2x= cos(90⁰- x)

cos( 180⁰- 2x) = cos( 90⁰ - x)

Chọn C.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:Giải phương trình tanx.tan3x= 1

A. x= π/2+kπ

B. x= π/4+kπ/2

C . x= π/3+kπ

D. x= π/4+kπ

Lời giải:

Ta có: tanx . tan 3x= 1

⇔ tanx=1/tan3x

⇔ tanx= cot 3x

⇔ tanx= tan(π/2-3x)

⇔ x= π/2-3x+k2π

⇔ 4x= π/2+k2π

⇔ x= π/8+kπ/2

Chọn B.

Câu 2:Giải phương trình: (sinx+ cosx)² =2

A. x= π/3+kπ

B. x= π/4+kπ

C. x= π/4+k2π

D. x= π/8+kπ

Lời giải:

Ta có; (sinx+ cosx)² = 2

⇒ sin² x+ cos²x+ 2sinx.cosx= 2

⇒ 1+ sin2x= 2 ⇒ sin2x= 1

⇒ 2x= π/2+k2π ⇒ x= π/4+kπ

Chọn C.

Câu 3:Giải phương trình: sin⁴x- cos⁴x = 1

A. x= π/2+kπ

B. x= π/2+k2π

C. x= π/4+k2π

D. x= π/4+kπ

Lời giải:

Ta có: sin²x- cos²x=1

⇒ ( sin²x- cos²x) .( sin²x+ cos²x ) = 1

⇒ -cos2x. 1= 1 ⇒ cos2x= -1

⇒ 2x= π+k2π ⇒ x= π/2+kπ

Chọn A.

Câu 4:Giải phương trình: 4cos² x+ cos2x + 1= 0

A. x= π/2+k2π

B. x= π/4+kπ

C. x= π/2+kπ

D. Đáp án khác

Lời giải:

Ta có: 4cos² x + cos2x + 1 = 0

⇔ 4. (1+cos2x)/2 + cos2x + 1 = 0

⇔ 2( 1+ cos2x) + cos2x + 1 = 0

⇔ 3cos2x + 3= 0 ⇔ 3cos 2x= - 3

⇔ cos2x= - 1

⇔ 2x= π+k2π ⇔ x= π/2+kπ

Chọn C.

Câu 5:Giải phương trình: 2.tanx . cosx + 2cosx= 0

A. x= π/2+kπ

B. x= -π/4+kπ

C. Cả A và B đúng

D. Tất cả sai

Lời giải:

Điều kiện : cosx ≠ 0 hay x ≠ π/2+ kπ

Ta có: 2tanx . cosx + 2cosx = 0

⇒ cosx.(2tanx + 2) = 0

Kết hợp điều kiện suy ra nghiệm của phương trình đã cho là: x= -π/4+kπ

Chọn B.

Câu 6:Đâu không phải là một họ nghiệm của phương trình: sin2x –sinx + 2cosx – cos²x – sin²x= 0 ?

A. x= π/3+k2π

B. x=- π/3+k2π

C. x= 3π/2+k2π

D. x= π/6+k2π

Lời giải:

Ta có: sin2x –sinx + 2cosx – cos²x – sin²x= 0

⇒ ( sin2x + 2cosx) –sinx - ( cos² x+ sin²x) = 0

⇒ ( 2sinx. cosx + 2cosx) – sinx – 1=0

⇒ 2cosx . ( sin x+1) – ( sinx+1)= 0

⇒ (2cosx – 1). (sinx+ 1) = 0

Chọn D.

Câu 7:Giải phương trình: 2sin²x+ 4cos²x= 3?

A. x= π/4+ kπ

B. x= π/4+ kπ/2

C. x= π/2+kπ

D. x= π/4+ kπ/4

Lời giải:

Áp dụng công thức hạ bậc ta có:

2sin²x+ 4cos²x= 3

⇔ 1- cos2x + 2. ( 1+ cos2x) = 3

⇔ 1- cos 2x +2+ 2cos2x = 3

⇔ cos2 x = 0

⇔ 2x= π/2+kπ ⇒ x= π/4+ kπ/2

Chọn B.

Câu 8:Giải phương trình:

A. x= π/4+kπ

B. x= π/4+k2π

C. x= π/2+kπ

D. x= -π/4+kπ

Lời giải:

Điều kiện: cosx ≠ 0 hay x ≠ π/2+kπ.

Khi đó ta có:

Chọn A.

Câu 9:Tìm nghiệm dương bé nhất của phương trình:

A. x= π/3

B. x= π/8

C. x= π/6

D. Đáp án khác

Lời giải:

Điều kiện:

⇔ 4cotx = 4

cot x= 1

⇔ x= π/4+kπ ( thỏa mãn điều kiện ) .

Suy ra nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là x= π/4 ( khi k = 0 )

Chọn D.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Giải phương trình lượng giác cơ bản
• Tìm nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản trên khoảng (đoạn)
• Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác
• Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác
• Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác
• Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác
• Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn

---