Phương trình quy về phương trình lượng giác cơ bản - Toán lớp 11

Phương trình quy về phương trình lượng giác cơ bản

A. Phương pháp giải

Để đưa một phương trình về phương trình lượng giác cơ bản; ta cần sử dụng các phép biến đổi tương đương; các công thức lượng giác: công thức cộng; công thức nhân đôi; công thức biến đổi tổng thành tích; tích thành tổng. .. để đưa phương trình về phương trình lượng giác cơ bản

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Giải phương trình:cos2 ( x- 300) - sin2 ( x- 300) = sin(x+ 300)

A.Phương trình quy về phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11

B.Phương trình quy về phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11

C.Phương trình quy về phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11

D.Phương trình quy về phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11

Lời giải

Phương trình quy về phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11

Chọn C.

Ví dụ 2. Giải phương trình cos( 600+ x) + cos( 600-x)= 1.

A. x = 300+ k.1800

B.x= 600 + k. 1800

C .x =900 +k . 3600

D. x= k. 3600

Lời giải

Chọn D.

Ta có : cos( 600+ x) + cos( 600-x) = 1

⇒ 2cos 600. cosx= 1

⇒ cosx = 1

⇒ x= k. 3600

Ví dụ 3. Giải phương trình :sin2x= 1/2

A. x= π+k2π

B. x= π/4+k π/2

C. x= π/2+kπ

D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có : sin2 x= 1/2 ⇒ (1-cos2x)/2= 1/2

⇒ cos2x= 0 ⇒ 2x= π/2+kπ

⇒ x= π/4+k π/2

Chọn B.

Ví dụ 4. Giải phương trình : sin2 x- sin2 x.cos2 x= 1

A. x= π/4+kπ

B. x= π/2+kπ

C. x= π/2+k2π

D. x=kπ

Lời giải

Ta có : sin2 x – sin2 x. cos2 x= 1

⇔ sin2 x( 1- cos2 x) = 1

⇔ sin2 x. sin2x= 1 ⇔ sin4 x= 1

⇔ sin2 x= 1 ⇔ cosx=0

⇔ x= π/2+kπ

Chon C.

Ví dụ 5. Giải phương trình cos(x+ 300) - √3/2.cosx= 1/2

A. x = π/2+k2π

B. x = 3π/2+kπ

C. x = π/2+kπ

D. x = kπ

Lời giải

Ta có: cos(x+300) - √3/2.cosx= 1/2

⇔ cosx. cos300- sinx. sin300- √3/2.cosx= 1/2

⇔ cosx. √3/2-sinx. 1/2 - √3/2.cosx= 1/2

⇔ -sin⁡x.1/2= 1/2

⇔ sinx=- 1

⇔ x = 3π/2+k2π

Chọn C.

Ví dụ 6. Giải phương trình Phương trình quy về phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11

A. x= (- π)/6+k.π

B. x= (- π)/12+k.π

C. x= ( π)/12+k.π

D. Đáp án khác

Lời giải

Phương trình quy về phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11

⇔ tan (x+π/4 )= tan π/6

⇔ x + π/4= π/6+ kπ

⇔ x= (- π)/12+k.π

Chọn B.

Ví dụ 7. Giải phương trình : cos(x+ 300).cos( x- 300) = 1/2

A.Phương trình quy về phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11

B.Phương trình quy về phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11

C.Phương trình quy về phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11

D.Phương trình quy về phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11

Lời giải

Ta có: cos(x+ 300) + cos(x-300) = 1/2

⇔ 1/2 [ cos 2x +cos600) = 1/2

⇔ cos2x+ cos 600= 1

⇔ cos2x + 1/2=1

⇔ cos2x= 1/(2 ) =cos600

Phương trình quy về phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11

Chọn D.

Ví dụ 8. Giải phương trình sin2x - cos2x = sinx

A.Phương trình quy về phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11

B.Phương trình quy về phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11

C.Phương trình quy về phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11

D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có; sin2x- cos2x= sin x

- cos 2x= cos(900- x)

cos( 1800- 2x) = cos( 900 - x)

Phương trình quy về phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11

Chọn C.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:Giải phương trình tanx.tan3x= 1

A. x= π/2+kπ

B. x= π/4+kπ/2

C . x= π/3+kπ

D. x= π/4+kπ

Ta có: tanx . tan 3x= 1

⇔ tanx=1/tan3x

⇔ tanx= cot 3x

⇔ tanx= tan(π/2-3x)

⇔ x= π/2-3x+k2π

⇔ 4x= π/2+k2π

⇔ x= π/8+kπ/2

Chọn B.

Câu 2:Giải phương trình: (sinx+ cosx)2 =2

A. x= π/3+kπ

B. x= π/4+kπ

C. x= π/4+k2π

D. x= π/8+kπ

Ta có; (sinx+ cosx)2 = 2

⇒ sin2 x+ cos2x+ 2sinx.cosx= 2

⇒ 1+ sin2x= 2 ⇒ sin2x= 1

⇒ 2x= π/2+k2π ⇒ x= π/4+kπ

Chọn C.

Câu 3:Giải phương trình: sin4x- cos4x = 1

A. x= π/2+kπ

B. x= π/2+k2π

C. x= π/4+k2π

D. x= π/4+kπ

Ta có: sin2x- cos2x=1

⇒ ( sin2x- cos2x) .( sin2x+ cos2x ) = 1

⇒ -cos2x. 1= 1 ⇒ cos2x= -1

⇒ 2x= π+k2π ⇒ x= π/2+kπ

Chọn A.

Câu 4:Giải phương trình: 4cos2 x+ cos2x + 1= 0

A. x= π/2+k2π

B. x= π/4+kπ

C. x= π/2+kπ

D. Đáp án khác

Ta có: 4cos2 x + cos2x + 1 = 0

⇔ 4. (1+cos2x)/2 + cos2x + 1 = 0

⇔ 2( 1+ cos2x) + cos2x + 1 = 0

⇔ 3cos2x + 3= 0 ⇔ 3cos 2x= - 3

⇔ cos2x= - 1

⇔ 2x= π+k2π ⇔ x= π/2+kπ

Chọn C.

Câu 5:Giải phương trình: 2.tanx . cosx + 2cosx= 0

A. x= π/2+kπ

B. x= -π/4+kπ

C. Cả A và B đúng

D. Tất cả sai

Điều kiện : cosx ≠ 0 hay x ≠ π/2+ kπ

Ta có: 2tanx . cosx + 2cosx = 0

⇒ cosx.(2tanx + 2) = 0

Phương trình quy về phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11

Kết hợp điều kiện suy ra nghiệm của phương trình đã cho là: x= -π/4+kπ

Chọn B.

Câu 6:Đâu không phải là một họ nghiệm của phương trình: sin2x –sinx + 2cosx – cos2x – sin2x= 0 ?

A. x= π/3+k2π

B. x=- π/3+k2π

C. x= 3π/2+k2π

D. x= π/6+k2π

Ta có: sin2x –sinx + 2cosx – cos2x – sin2x= 0

⇒ ( sin2x + 2cosx) –sinx - ( cos2 x+ sin2x) = 0

⇒ ( 2sinx. cosx + 2cosx) – sinx – 1=0

⇒ 2cosx . ( sin x+1) – ( sinx+1)= 0

⇒ (2cosx – 1). (sinx+ 1) = 0

Phương trình quy về phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11

Chọn D.

Câu 7:Giải phương trình: 2sin2x+ 4cos2x= 3?

A. x= π/4+ kπ

B. x= π/4+ kπ/2

C. x= π/2+kπ

D. x= π/4+ kπ/4

Áp dụng công thức hạ bậc ta có:

2sin2x+ 4cos2x= 3

⇔ 1- cos2x + 2. ( 1+ cos2x) = 3

⇔ 1- cos 2x +2+ 2cos2x = 3

⇔ cos2 x = 0

⇔ 2x= π/2+kπ ⇒ x= π/4+ kπ/2

Chọn B.

Câu 8:Giải phương trình:

Phương trình quy về phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11

A. x= π/4+kπ

B. x= π/4+k2π

C. x= π/2+kπ

D. x= -π/4+kπ

Điều kiện: cosx ≠ 0 hay x ≠ π/2+kπ.

Khi đó ta có:

Phương trình quy về phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11

Chọn A.

Câu 9:Tìm nghiệm dương bé nhất của phương trình:Phương trình quy về phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11

A. x= π/3

B. x= π/8

C. x= π/6

D. Đáp án khác

Điều kiện:

Phương trình quy về phương trình lượng giác cơ bản | Toán lớp 11

⇔ 4cotx = 4

cot x= 1

⇔ x= π/4+kπ ( thỏa mãn điều kiện ) .

Suy ra nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là x= π/4 ( khi k = 0 )

Chọn D.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 11 tại Học cùng VietJack

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2003 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Đăng ký học thử khóa học bởi các thầy cô giỏi bằng cách inbox page Học cùng VietJack

Toán 11 - Thầy Nguyễn Quý Huy

4.5 (243)

799,000đs

599,000 VNĐ

Ngữ văn lớp 11 - cô Hương Xuân

4.5 (243)

799,000đ

599,000 VNĐ

Tiếng Anh lớp 11 - Thầy Vũ Việt Tiến

4.5 (243)

799,000đ

599,000 VNĐ

Vật Lý lớp 11 - Thầy Võ Thanh Được

4.5 (243)

799,000đs

599,000 VNĐ

Hóa Học lớp 11 - cô Lê Thúy Hằng

4.5 (243)

799,000đ

599,000 VNĐ

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.