Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

Bài viết Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác.

Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác

A. Phương pháp giải

+ Định nghĩa: Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là có dạng:

a. sinx + b= 0 ( trong đó a ≠ 0) hoặc ( a.cosx+b= 0; a.tan x+ b= 0; a.cotx+ b= 0)

+ Để giải được phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác ta làm như sau:

• Bước 1: Đưa phương trình về dạng: sinx= m ( hoặc cosx =m; tanx= m; cotx= m).

• Bước 2. Giải phương trình lượng giác cơ bản.

• Bước 3. Kết luận nghiệm của phương trình đã cho.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Nghiệm của phương trình √12+2tanx=0 là:

A. π/6+kπ

B. (-π)/3+kπ

C. (-π)/6+kπ

D. (-π)/6+k2π

Lời giải

Chọn C

Ta có: √12+2tanx=0 ⇔ 2√3+2tanx=0

⇔ tan x= - √3 ⇔ tanx= tan (- π)/3

⇔ x= (-π)/3+kπ

Ví dụ 2. Tìm nghiệm của phương trình:

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn A.

Ta có:

Ví dụ 3. Cho phương trình . Tìm m để phương trình có nghiệm?

A. Không tồn tại m.

B.m ϵ[-1;3] .

C. m ϵ[-3;-1]

D. mọi giá trị của m.

Lời giải

Chọn C.

Ta có:

Với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ cos⁡( 2x- π/3) ≤ 1

Do đó phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:

-1 ≤ m+2 ≤ 1 hay-3 ≤ m ≤ -1

Ví dụ 4: Họ nghiệm của phương trình cot(x+π/3)+1=0 là

A. .

B.

C. .

D.

Lời giải

Chọn B.

Ví dụ 5: Nghiệm của phương trình 3cot x+ √3=0là:

A.

B.

C.

D. x= (-π)/3+kπ.

Lời giải

Chọn D.

Ví dụ 6: Phương trình có nghiệm là

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Ta có: √3+tanx=0

Chọn B.

Ví dụ 7: Giải phương trình : 2tanx+ 10= 0

A. x= arctan 5+ k.π

B. x = arctan -5+ kπ

C. x= - 5+kπ

D. x= 1/5+kπ

Lời giải

Ta có: 2tanx + 10 = 0 ⇒ 2tanx= - 10

⇒ tanx= - 5.

Sử dụng công thức nghiệm tổng quát của phương trình

Suy ra:Nghiệm của phương trình đã cho là: x= arctan-5+ kπ; k∈Z

Ví dụ 8: Giải phương trình : 1/2.cot⁡( x+3π/4)=0.

A. (-π)/4+kπ.

B. π/4+kπ.

C. π/2+kπ.

D. π/3+kπ

Lời giải

Ta có: 1/2.cot⁡( x+3π/4)=0 ⇒ cot⁡( x+3π/4)=0.

⇒ cot(x+ 3π/4)=cot π/2

⇒ x+ 3π/4= π/2+kπ ⇒ x= (-π)/4+kπ

Chon A.

Ví dụ 9: Nghiệm của phương trình

A. .

B. .

C. .

D. .

Lời giải

Chọn D.

Ví dụ 10. Giải phương trình : 2cos(x+ 30⁰) + 1= 0

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Ta có: 2cos(x+30⁰)+ 1= 0 ⇒ 2cos(x+ 30⁰) = - 1

⇒ cos( x+ 30⁰)= -1/2 = cos120⁰

Chọn B.

Ví dụ 11: Giải phương trình : 2sin( x – 10⁰) – sin90⁰ = 0

A.

B.

C.

D. Một đáp án khác

Lời giải

Ta có: 2sin(x- 10⁰) - sin 90⁰= 0

⇒ 2sin(x – 10⁰) = sin90⁰ = 1

⇒ sin( x- 10⁰) = 1/2 = sin30⁰

Chọn C.

Ví dụ 12.Giải phương trình 2cos(x+ 10⁰) + 10= 0

Lời giải

Ta có : 2cos(x+ 10⁰) + 10= 0

⇒ 2cos(x+ 10⁰) = - 10

⇒ cos( x+ 10⁰) = - 5 (*)

Do với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ cos⁡(x+ 10⁰ ) ≤ 1 nên từ (*) suy ra phương trình (*) vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:Giải phương trình 2cos( 120⁰ - x)+ 1= 0

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Ta có: 2cos (120⁰- x) + 1 = 0

⇒ 2cos(120⁰ – x) = - 1

⇒ cos(120⁰-x) = (- 1)/2=cos120⁰

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là:

Câu 2:Giải phương trình: 3sin⁡(x- π/5)+3=0

Lời giải:

Ta có:

Chọn C.

Câu 3:Giải phương trình: √2 tan⁡( x- 15⁰ )- √2=0

A. 30⁰+ k. 180⁰

B.45⁰+ k.360⁰

C.45⁰+ k.180⁰

D. 60⁰+ k. 180⁰

Lời giải

Lời giải:

Ta có: √2 tan⁡( x- 15⁰ )- √2=0

⇒ √2 tan⁡( x- 15⁰ )= √2

⇒ tan (x- 15⁰) = 1= tan 45⁰

⇒ x- 15⁰ = 45⁰+ k. 180⁰

⇒ x = 60⁰+ k.180⁰

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x= 60⁰+ k. 180⁰

Chọn D.

Câu 4:Giải phương trình 3 cot⁡(x+ 2π/5)- √3=0

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Ta có:

Chọn B.

Câu 5:Giải phương trình 2tanx – 6= 0

A. x= 3+ k. π

B. x = - 3+ kπ

C.x= arctan 3+ kπ

D. Phương trình vô nghiệm

Lời giải:

Ta có: 2tanx – 6= 0 ⇒ 2tanx = 6

⇒ tan x= 3

⇒ x = arcrtan 3+ k.π

Chọn C.

Câu 6:Giải phương trình

A.

B.

C.

D.Phương trình vô nghiệm

Lời giải:

Chọn A.

Câu 7:Giải phương trình 3sin(x+ 10⁰) - 1=0

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Ta có; 3sin(x+ 10⁰) - 1= 0

Chọn D.

Câu 8:Giải phương trình √3 sin⁡( x+π/10)+3=0

A. x= π/10+k2π

B. x= -π/10+k2π

C. Phương trình vô nghiệm

D. Đáp án khác

Lời giải:

Kết hợp với (*) suy ra phương trình đã cho vô nghiệm

Chọn D.

Câu 9:Giải phương trình: 2sin( x+π/6) – cos 3π/2=0

Lời giải:

Chọn A.

Câu 10:Giải phương trình : 2sin(x+ π/8)-10=0

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Chọn B.

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Giải phương trình lượng giác: 5sinx – sin2x = 0.

Bài 2. Giải phương trình lượng giác sau:

a) 2cosx - $\sqrt{3}$ = 0;

b) cos2x – sin2x = 0.

Bài 3. Giải phương trình lượng giác sau:

a) cosx – sinx = 0;

b) 2sin(2x - 40°) = $\sqrt{3}$.

Bài 4. Giải phương trình lượng giác sau:

a) tanx – 1 = 0;

b) cotx = tan2x.

Bài 5. Giải phương trình lượng giác sau:

a) 2cosx + 1 = 0;

b) 2sin(x + 2) - $\sqrt{2}$ = 0.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Giải phương trình lượng giác cơ bản
• Tìm nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản trên khoảng (đoạn)
• Phương trình quy về phương trình lượng giác cơ bản
• Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác
• Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác
• Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác
• Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn

---