Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn - Toán lớp 11

Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn

A. Phương pháp giải

Để tìm nghiệm của phương trình bậc nhất;bậc hai của một hàm số lượng giác trên khoảng; đoạn ta làm như sau:

+ Bước 1. Giải phương trình bậc nhất; bậc hai của một hàm số lương giác( chú ý có thể phải sử dụng các công thức cộng; công thức nhân đôi; công thức biến đổ tổng thành tích; tích thành tổng để giải phương trình )

+ Bước 2: Xét họ nghiệm trên khoảng (a; b) để tìm các giá trị k nguyên thỏa mãn điều kiện.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Nghiệm của phương trình lượng giác 2sin2x – 3sinx +1= 0 thõa điều kiện 0 ≤x≤π/2 là:

A.Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn | Toán lớp 11

B.Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn | Toán lớp 11

C.Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn | Toán lớp 11

D.Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn | Toán lớp 11

Lời giải

Chọn C

Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn | Toán lớp 11

Ví dụ 2. Số nghiệm của phương trình sin2 x- sinx= 0 trên khoảng (0; 2π) là:

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Lời giải

Ta có sin2 x- sinx= 0

Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn | Toán lớp 11

+ với họ nghiệm x= kπ.

Ta có: 0 < kπ < 2π

⇒ 0 < k < 2

Mà k nguyên nên k= 1

+ Với họ nghiệm x= π/2+k2π

Ta có; 0 < π/2+ k2π < 2π

⇒ - π/2 < k2π < 3π/2 ⇒ (- 1)/4 < k < 3/4

Mà k nguyên nên k= 0

⇒ Phương trình đã cho có hai nghiệm thuộc khoảng (0; 2π)

Chọn B.

Ví dụ 3. Cho phương trình cos(x- 1800) + 2sin(900- x) = 1. Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng (900; 3600)

A. 0

B.1

C. 2

D .3

Lời giải

Ta có : cos(x- 1800) = - cosx và sin(900- x)= cosx

Do đó; cos( x- 1800) + 2sin(900– x)

⇒ - cosx +2cosx = 1

⇒ cosx = 1 ⇒ x= k.3600

Với x∈ ( 900; 3600) ta có:

900 < x < 3600 ⇒ 900 < k.3600 < 3600

⇒ 1/4 < k < 1

⇒ Không có giá trị nguyên nào của k thỏa mãn

Chọn A.

Ví dụ 4. Cho phương trình cosx – sin2x =0. Tìm số nghiệm của phương trình trên đoạn [0; 3600]

A. 4

B. 3

C. 5

D. 6

Lời giải

Ta có:cosx – sin2x= 0

⇒ cosx= sin 2x ⇒ cosx= cos(900-2x)

Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn | Toán lớp 11

+ Ta tìm các nghiệm của phương trình trên đoạn [00; 3600]

*Với họ nghiệm: x= 300+k.1200 ta có:

00 ≤ 300+k.1200 ≤ 3600

⇒ -300 ≤ k.1200 ≤ 3300 (-1)/4 ≤ k ≤ 11/4

Mà k nguyên nên k = 0;1 hoặc 2. Khi đó nghiệm của phương trình là: 300; 1500; 2700

* Với họ nghiệm x= 900-k.3600 ta có:

00 ≤ 900-k.3600 ≤ 3600

⇒ - 900 ≤ -k.3600 ≤ 2700

⇒ (- 3)/4 ≤ k ≤ 1/4

Mà k nguyên nên k= 0. Khi đó nghiệm phương trình là x= 900

⇒ Phương trình đã cho có bốn nghiệm

Chọn A.

Ví dụ 5. Tìm các nghiệm của phương trình - 2tan2 x+ 4tanx – 2= 0 trên khoảng (900; 2700)

A. 1350

B. 1650

C. 2250

D. Tất cả sai

Lời giải

Ta có: -2tan2x + 4tanx – 2= 0

⇒ - 2( tanx- 1)2 = 0 ⇒ tan x= 1

⇒ x= 450+ k.1800

Ta tìm các nghiệm của phương trình trên khoảng (900; 2700)

Ta có: 900 < x < 2700 ⇒ 900 < 450+ k.1800 < 2700

⇒ 450 < k.1800 < 2250

⇒ 1/4 < k < 5/4

Mà k nguyên nên k = 1. Khi đó: nghiệm của phương trình là: x= 2250

Chọn C.

Ví dụ 6. Cho phương trình cos2 x + sinx +1= 0. Tìm số nghiệm của phương trình trên đoạn [0; 7200]

A. 0

B. 3

C. 4

D. 2

Lời giải

Ta có: cos0 x+ sinx +1= 0

⇒ 1-sin0 x + sinx +1 = 0

⇒ - sin0 x+ sinx + 2= 0

Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn | Toán lớp 11

⇒ sinx= - 1 ⇒ x= 2700+ k.3600

+ Ta có: 00 ≤ 2700+k.3600 ≤ 7200

⇒ -2700 ≤ k.3600 ≤ 4500

⇒ (- 3)/4 ≤ k ≤ 5/4

Mà k nguyên nên k= 0 hoặc k=1.

⇒ Phương trình đã cho có hai nghiệm thuộc đoạn [00; 7200]

Chọn D

Ví dụ 7. Cho phương trình sin2 2x +2 cos2 x = 0. Tìm tổng các nghiệm của phương trình trên khoảng (00; 1800).

A.900

B. 1800

C. 1650

D. 2700

Lời giải.

Ta có: sin2 2x + 2cos2 x= 0

⇒ 1- cos2 2x + 1+ cos2x= 0

⇒ - cos2 2x + cos2x + 2= 0

Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn | Toán lớp 11

Với cos2x= -1 ⇒ 2x=1800+ k.3600

⇒ x= 900 + k.1800

Ta xét các nghiệm của phương trình trên (0; 1800)

⇒ 00 < 900+ k.1800 < 1800

⇒ -900 < k.1800 < 900

⇒ (- 1)/2 < k < 1/2

K nguyên nên k= 0. Khi đó;x= 900

Chọn A.

Ví dụ 8. Tìm tổng các nghiệm của phương trình cos4 x- sin4 x= 0 trên khoảng (0;2π)

A. 15π/4

B. 13π/4

C. 5π/2

D. Đáp án khác

Lời giaỉ

Ta có; cos4 x- sin4 x = 0

⇒ ( cos2 x – sin2 x) .(cos2 x+ sin2 x) = 0

⇒ cos2x. 1= 0 ⇒ cos2x= 0

⇒ 2x= π/2+kπ ⇒ x= π/4+ kπ/2

Ta tìm các nghiệm của phương trình trên khoảng(0; 2π)

Ta có: 0 < x < 2π nên 0 < π/4+ kπ/2 < 2π

⇒ π/4 < kπ/2 < 7π/4 ⇒ 1/2 < k < 7/2

Mà k nguyên nên k∈{1;2;3}

⇒ Ba nghiệm của phương trình đã cho trên khoảng ( 0;2 π) là: 3π/4; 5π/4 và 7π/4

⇒ Tổng các nghiệm là : 15π/4

Chọn A.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:Cho phương trình Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn | Toán lớp 11. Tìm số nghiệm của phương trình trên đoạn [0; 4π]?

A. 3

B.4

C. 5

D. 6

Điều kiện : cosx ≠ 1 ⇒ x ≠ k2π

Với điều kiện trên phương trình trên trở thành:

Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn | Toán lớp 11

+Trường hợp 1. Với sinx=0 ⇒ x =kπ

Kết hợp với điều kiện suy ra: x=(2k+1).π

Vì 0 ≤ x ≤ 4π nên 0 ≤ ( 2k+1)π ≤ 4π

⇒ 0 ≤ 2k+1 ≤ 4 ⇒ -1/2 ≤ k ≤ 3/2

Mà k nguyên nên k = 0 hoặc 1.

⇒ Phương trình có hai nghiệm thuộc đoạn [0; 4π]

+ Trường hợp 2:

Với sinx= - 1 ⇒ x= 3π/2+k2π ( thỏa mãn điều kiện ) .

Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn | Toán lớp 11

Mà k nguyên nên k= 0 hoặc k= 1.

Kết hợp hai trường hợp; suy ra phương trình có tất cả bốn nghiệm trên đoạn [0; 4π]

Chọn B.

Câu 2:Cho phương trình – 2sin2x – 6cosx+ 6 = 0 . Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng ( 2π;6π)?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Ta có: - 2sin2x - 6cosx+ 6= 0

⇒ ( 2 -2sin2x ) – 6cosx+ 4=0

⇒ 2cos2 x- 6cosx + 4= 0

Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn | Toán lớp 11

Với cosx= 1 ⇒ x = k2π

Ta có: x∈( 2π;6π) nên 2π < k2π < 6π

⇒ 1 < k < 3

Mà k nguyên nên k= 1.

Vậy phương trình đã cho có duy nhất một nghiệm trên khoảng ( 2π;6π).

Chọn A.

Câu 3:Cho phương trình: 2cos2 x- √3cosx=0. Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng (0;2π) ?

A. 1

B. 3

C. 2

D. 4

Ta có: 2cos2x- √3 cosx=0

⇒ cosx.( 2cosx- √3)=0

Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn | Toán lớp 11

+ Xét cosx = 0 ⇒ x=k2π

Mà 0 < x < 2π nên 0 < k2π < 2π

⇒ 0 < k < 1

Mà k nguyên nên không có giá trị nào của k thỏa mãn.

Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn | Toán lớp 11

Với mỗi giá trị của k cho ta một nghiệm của phương trình trên khoảng đang xét.

⇒ Phương trình có tất cả 2 nghiệm thuộc khoảng (0; 2π) .

Chọn C.

Câu 4:Cho phương trình: Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn | Toán lớp 11.Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng ( 2π;6π)?

A. 3

B.5

C.6

D.4

Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn | Toán lớp 11

Mà k nguyên nên k∈{2;3;4;5}

⇒ Phương trình có 4 nghiệm trên khoảng đang xét.

Chọn D.

Câu 5:Cho phương trình : tan4 x - 3tan2 x= 0. Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng (0; 10π)

A. 27

B. 28

C. 29

D. 30

Điều kiện:cosx ≠ 0 hay x ≠ π/2+kπ

Ta có: tan4x - 3tan2 x=0

⇒ tan2 x. (tan2 x- 3) = 0

Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn | Toán lớp 11

+ Xét họ nghiệm x= kπ

⇒ 0 < kπ < 10 π ⇒ 0 < k < 10

Mà k nguyên nên k∈{1;2;3;..;9} có 9 giá trị của k thỏa mãn.

+ Xét họ nghiệm: x= π/3+kπ

⇒ 0 < π/3+ kπ < 10 π ⇒ (- 1)/3 < k < 29/3

Mà k nguyên nên k∈{0;1;2;…;9} có 10 giá trị của k thỏa mãn.

+ Xét họ nghiệm: x= (-π)/3+kπ

⇒ 0 < -π/3+ kπ < 10 π ⇒ 1/3 < k < 31/3

Mà k nguyên nên k∈{1;2;…;9;10} có 10 giá trị của k thỏa mãn.

Kết hợp 3 trường hợp suy ra phương trình có tất cả:

9+10+ 10= 29 nghiệm trên khoảng ( 0;10π)

Chọn C.

Câu 6:Cho phương trình: sin2 x+ 1- sin2 2x= 1. Tìm số nghiệm của phương trình trên đoạn [π/2;2π]

A. 5

B.3

C.4

D. 6

Ta có; sin2 x+ 1- sin22x= 1

⇒ 2sin2 x + 2. (1- sin22x)- 2 = 0

⇒ 1- cos2x + 2. cos22x - 2 =0

⇒ 2cos22x – cos2x - 1 = 0

Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn | Toán lớp 11

+ Ta có: π/2 ≤ x ≤ 2π nên: π/2 ≤ kπ ≤ 2π

⇒ 1/2 ≤ k ≤ 2 mà k nguyên nên k= 1 hoặc 2.

+ Tương tự: π/2 ≤ π/3+ kπ ≤ 2π

⇒ 1/6 ≤ k ≤ 5/3 mà k nguyên nên k= 1.

+ π/2 ≤ (-π)/3+ kπ ≤ 2π

⇒ 5/6 ≤ k ≤ 7/3 mà k nguyên nên k= 1 hoặc 2 .

Từ ba trường hợp trên suy ra phương trình có 5 nghiệm thuộc đoạn [π/2;2π]

Chọn A.

Câu 7:Cho phương trình 3cot⁡(x+ π/3)=3√3. Tìm số nghiệm của phương trình trên đoạn [2π;8π]?

A. 5

B. 6

C. 7

D. 8

Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn | Toán lớp 11

Mà k nguyên nên k∈{ 3; 4;..; 8}

⇒ Phương trình có 6 nghiệm thuộc đoạn [2π;8π].

Chọn B.

Câu 8:Cho phương trình:Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn | Toán lớp 11. Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng (-2π;2π)?

A. 3

B.5

C. 4

D.6

Điều kiện:

Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn | Toán lớp 11

⇒ tanx + 2 tanx = 3cos22x+ 3sin22x (vì tanx. cotx= 1)

⇒ 3tanx = 3 ( vì cos2 2x + sin22x = 1)

⇒ tanx= 1 ⇒ x= π/4+kπ ( thỏa mãn điều kiện ) .

Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn | Toán lớp 11

⇒ phương trình có 4 nghiệm thuộc khoảng (-2π; 2π).

Chọn C.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 11 tại Học cùng VietJack

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2003 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Đăng ký học thử khóa học bởi các thầy cô giỏi bằng cách inbox page Học cùng VietJack

Toán 11 - Thầy Nguyễn Quý Huy

4.5 (243)

799,000đs

599,000 VNĐ

Ngữ văn lớp 11 - cô Hương Xuân

4.5 (243)

799,000đ

599,000 VNĐ

Tiếng Anh lớp 11 - Thầy Vũ Việt Tiến

4.5 (243)

799,000đ

599,000 VNĐ

Vật Lý lớp 11 - Thầy Võ Thanh Được

4.5 (243)

799,000đs

599,000 VNĐ

Hóa Học lớp 11 - cô Nguyễn Thanh Thủy

4.5 (243)

799,000đ

599,000 VNĐ

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.