Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn

Bài viết Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn.

Tìm nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn

A. Phương pháp giải

Để tìm nghiệm của phương trình bậc nhất;bậc hai của một hàm số lượng giác trên khoảng; đoạn ta làm như sau:

+ Bước 1. Giải phương trình bậc nhất; bậc hai của một hàm số lương giác( chú ý có thể phải sử dụng các công thức cộng; công thức nhân đôi; công thức biến đổ tổng thành tích; tích thành tổng để giải phương trình )

+ Bước 2: Xét họ nghiệm trên khoảng (a; b) để tìm các giá trị k nguyên thỏa mãn điều kiện.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Nghiệm của phương trình lượng giác 2sin2x – 3sinx +1= 0 thõa điều kiện 0 ≤x≤π/2 là:

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn C

Ví dụ 2. Số nghiệm của phương trình sin² x- sinx= 0 trên khoảng (0; 2π) là:

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Lời giải

Ta có sin² x- sinx= 0

+ với họ nghiệm x= kπ.

Ta có: 0 < kπ < 2π

⇒ 0 < k < 2

Mà k nguyên nên k= 1

+ Với họ nghiệm x= π/2+k2π

Ta có; 0 < π/2+ k2π < 2π

⇒ - π/2 < k2π < 3π/2 ⇒ (- 1)/4 < k < 3/4

Mà k nguyên nên k= 0

⇒ Phương trình đã cho có hai nghiệm thuộc khoảng (0; 2π)

Chọn B.

Ví dụ 3. Cho phương trình cos(x- 180⁰) + 2sin(90⁰- x) = 1. Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng (90⁰; 360⁰)

A. 0

B.1

C. 2

D .3

Lời giải

Ta có : cos(x- 180⁰) = - cosx và sin(90⁰- x)= cosx

Do đó; cos( x- 180⁰) + 2sin(90⁰– x)

⇒ - cosx +2cosx = 1

⇒ cosx = 1 ⇒ x= k.360⁰

Với x∈ ( 90⁰; 360⁰) ta có:

90⁰ < x < 360⁰ ⇒ 90⁰ < k.360⁰ < 360⁰

⇒ 1/4 < k < 1

⇒ Không có giá trị nguyên nào của k thỏa mãn

Chọn A.

Ví dụ 4. Cho phương trình cosx – sin2x =0. Tìm số nghiệm của phương trình trên đoạn [0; 360⁰]

A. 4

B. 3

C. 5

D. 6

Lời giải

Ta có:cosx – sin2x= 0

⇒ cosx= sin 2x ⇒ cosx= cos(90⁰-2x)

+ Ta tìm các nghiệm của phương trình trên đoạn [0⁰; 360⁰]

*Với họ nghiệm: x= 30⁰+k.120⁰ ta có:

0⁰ ≤ 30⁰+k.120⁰ ≤ 360⁰

⇒ -30⁰ ≤ k.120⁰ ≤ 330⁰ (-1)/4 ≤ k ≤ 11/4

Mà k nguyên nên k = 0;1 hoặc 2. Khi đó nghiệm của phương trình là: 30⁰; 150⁰; 270⁰

* Với họ nghiệm x= 90⁰-k.360⁰ ta có:

0⁰ ≤ 90⁰-k.360⁰ ≤ 360⁰

⇒ - 90⁰ ≤ -k.360⁰ ≤ 270⁰

⇒ (- 3)/4 ≤ k ≤ 1/4

Mà k nguyên nên k= 0. Khi đó nghiệm phương trình là x= 90⁰

⇒ Phương trình đã cho có bốn nghiệm

Chọn A.

Ví dụ 5. Tìm các nghiệm của phương trình - 2tan² x+ 4tanx – 2= 0 trên khoảng (90⁰; 270⁰)

A. 135⁰

B. 165⁰

C. 225⁰

D. Tất cả sai

Lời giải

Ta có: -2tan²x + 4tanx – 2= 0

⇒ - 2( tanx- 1)2 = 0 ⇒ tan x= 1

⇒ x= 45⁰+ k.180⁰

Ta tìm các nghiệm của phương trình trên khoảng (90⁰; 270⁰)

Ta có: 90⁰ < x < 270⁰ ⇒ 90⁰ < 45⁰+ k.180⁰ < 270⁰

⇒ 45⁰ < k.180⁰ < 225⁰

⇒ 1/4 < k < 5/4

Mà k nguyên nên k = 1. Khi đó: nghiệm của phương trình là: x= 225⁰

Chọn C.

Ví dụ 6. Cho phương trình cos² x + sinx +1= 0. Tìm số nghiệm của phương trình trên đoạn [0; 720⁰]

A. 0

B. 3

C. 4

D. 2

Lời giải

Ta có: cos⁰ x+ sinx +1= 0

⇒ 1-sin⁰ x + sinx +1 = 0

⇒ - sin⁰ x+ sinx + 2= 0

⇒ sinx= - 1 ⇒ x= 270⁰+ k.360⁰

+ Ta có: 0⁰ ≤ 270⁰+k.360⁰ ≤ 720⁰

⇒ -270⁰ ≤ k.360⁰ ≤ 450⁰

⇒ (- 3)/4 ≤ k ≤ 5/4

Mà k nguyên nên k= 0 hoặc k=1.

⇒ Phương trình đã cho có hai nghiệm thuộc đoạn [0⁰; 720⁰]

Chọn D

Ví dụ 7. Cho phương trình sin² 2x +2 cos² x = 0. Tìm tổng các nghiệm của phương trình trên khoảng (0⁰; 180⁰).

A.90⁰

B. 180⁰

C. 165⁰

D. 270⁰

Lời giải.

Ta có: sin2 2x + 2cos2 x= 0

⇒ 1- cos2 2x + 1+ cos2x= 0

⇒ - cos2 2x + cos2x + 2= 0

Với cos2x= -1 ⇒ 2x=180⁰+ k.360⁰

⇒ x= 90⁰ + k.180⁰

Ta xét các nghiệm của phương trình trên (0; 180⁰)

⇒ 0⁰ < 90⁰+ k.180⁰ < 180⁰

⇒ -90⁰ < k.180⁰ < 90⁰

⇒ (- 1)/2 < k < 1/2

K nguyên nên k= 0. Khi đó;x= 90⁰

Chọn A.

Ví dụ 8. Tìm tổng các nghiệm của phương trình cos⁴ x- sin⁴ x= 0 trên khoảng (0;2π)

A. 15π/4

B. 13π/4

C. 5π/2

D. Đáp án khác

Lời giaỉ

Ta có; cos⁴ x- sin⁴ x = 0

⇒ ( cos² x – sin² x) .(cos² x+ sin² x) = 0

⇒ cos2x. 1= 0 ⇒ cos2x= 0

⇒ 2x= π/2+kπ ⇒ x= π/4+ kπ/2

Ta tìm các nghiệm của phương trình trên khoảng(0; 2π)

Ta có: 0 < x < 2π nên 0 < π/4+ kπ/2 < 2π

⇒ π/4 < kπ/2 < 7π/4 ⇒ 1/2 < k < 7/2

Mà k nguyên nên k∈{1;2;3}

⇒ Ba nghiệm của phương trình đã cho trên khoảng ( 0;2 π) là: 3π/4; 5π/4 và 7π/4

⇒ Tổng các nghiệm là : 15π/4

Chọn A.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:Cho phương trình . Tìm số nghiệm của phương trình trên đoạn [0; 4π]?

A. 3

B.4

C. 5

D. 6

Lời giải:

Điều kiện : cosx ≠ 1 ⇒ x ≠ k2π

Với điều kiện trên phương trình trên trở thành:

+Trường hợp 1. Với sinx=0 ⇒ x =kπ

Kết hợp với điều kiện suy ra: x=(2k+1).π

Vì 0 ≤ x ≤ 4π nên 0 ≤ ( 2k+1)π ≤ 4π

⇒ 0 ≤ 2k+1 ≤ 4 ⇒ -1/2 ≤ k ≤ 3/2

Mà k nguyên nên k = 0 hoặc 1.

⇒ Phương trình có hai nghiệm thuộc đoạn [0; 4π]

+ Trường hợp 2:

Với sinx= - 1 ⇒ x= 3π/2+k2π ( thỏa mãn điều kiện ) .

Mà k nguyên nên k= 0 hoặc k= 1.

Kết hợp hai trường hợp; suy ra phương trình có tất cả bốn nghiệm trên đoạn [0; 4π]

Chọn B.

Câu 2:Cho phương trình – 2sin²x – 6cosx+ 6 = 0 . Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng ( 2π;6π)?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Lời giải:

Ta có: - 2sin²x - 6cosx+ 6= 0

⇒ ( 2 -2sin²x ) – 6cosx+ 4=0

⇒ 2cos² x- 6cosx + 4= 0

Với cosx= 1 ⇒ x = k2π

Ta có: x∈( 2π;6π) nên 2π < k2π < 6π

⇒ 1 < k < 3

Mà k nguyên nên k= 1.

Vậy phương trình đã cho có duy nhất một nghiệm trên khoảng ( 2π;6π).

Chọn A.

Câu 3:Cho phương trình: 2cos² x- √3cosx=0. Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng (0;2π) ?

A. 1

B. 3

C. 2

D. 4

Lời giải:

Ta có: 2cos²x- √3 cosx=0

⇒ cosx.( 2cosx- √3)=0

+ Xét cosx = 0 ⇒ x=k2π

Mà 0 < x < 2π nên 0 < k2π < 2π

⇒ 0 < k < 1

Mà k nguyên nên không có giá trị nào của k thỏa mãn.

Với mỗi giá trị của k cho ta một nghiệm của phương trình trên khoảng đang xét.

⇒ Phương trình có tất cả 2 nghiệm thuộc khoảng (0; 2π) .

Chọn C.

Câu 4:Cho phương trình: .Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng ( 2π;6π)?

A. 3

B.5

C.6

D.4

Lời giải:

Mà k nguyên nên k∈{2;3;4;5}

⇒ Phương trình có 4 nghiệm trên khoảng đang xét.

Chọn D.

Câu 5:Cho phương trình : tan⁴ x - 3tan² x= 0. Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng (0; 10π)

A. 27

B. 28

C. 29

D. 30

Lời giải:

Điều kiện:cosx ≠ 0 hay x ≠ π/2+kπ

Ta có: tan4x - 3tan2 x=0

⇒ tan2 x. (tan2 x- 3) = 0

+ Xét họ nghiệm x= kπ

⇒ 0 < kπ < 10 π ⇒ 0 < k < 10

Mà k nguyên nên k∈{1;2;3;..;9} có 9 giá trị của k thỏa mãn.

+ Xét họ nghiệm: x= π/3+kπ

⇒ 0 < π/3+ kπ < 10 π ⇒ (- 1)/3 < k < 29/3

Mà k nguyên nên k∈{0;1;2;…;9} có 10 giá trị của k thỏa mãn.

+ Xét họ nghiệm: x= (-π)/3+kπ

⇒ 0 < -π/3+ kπ < 10 π ⇒ 1/3 < k < 31/3

Mà k nguyên nên k∈{1;2;…;9;10} có 10 giá trị của k thỏa mãn.

Kết hợp 3 trường hợp suy ra phương trình có tất cả:

9+10+ 10= 29 nghiệm trên khoảng ( 0;10π)

Chọn C.

Câu 6:Cho phương trình: sin² x+ 1- sin² 2x= 1. Tìm số nghiệm của phương trình trên đoạn [π/2;2π]

A. 5

B.3

C.4

D. 6

Lời giải:

Ta có; sin² x+ 1- sin²2x= 1

⇒ 2sin² x + 2. (1- sin²2x)- 2 = 0

⇒ 1- cos2x + 2. cos²2x - 2 =0

⇒ 2cos²2x – cos2x - 1 = 0

+ Ta có: π/2 ≤ x ≤ 2π nên: π/2 ≤ kπ ≤ 2π

⇒ 1/2 ≤ k ≤ 2 mà k nguyên nên k= 1 hoặc 2.

+ Tương tự: π/2 ≤ π/3+ kπ ≤ 2π

⇒ 1/6 ≤ k ≤ 5/3 mà k nguyên nên k= 1.

+ π/2 ≤ (-π)/3+ kπ ≤ 2π

⇒ 5/6 ≤ k ≤ 7/3 mà k nguyên nên k= 1 hoặc 2 .

Từ ba trường hợp trên suy ra phương trình có 5 nghiệm thuộc đoạn [π/2;2π]

Chọn A.

Câu 7:Cho phương trình 3cot⁡(x+ π/3)=3√3. Tìm số nghiệm của phương trình trên đoạn [2π;8π]?

A. 5

B. 6

C. 7

D. 8

Lời giải:

Mà k nguyên nên k∈{ 3; 4;..; 8}

⇒ Phương trình có 6 nghiệm thuộc đoạn [2π;8π].

Chọn B.

Câu 8:Cho phương trình:. Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng (-2π;2π)?

A. 3

B.5

C. 4

D.6

Lời giải:

Điều kiện:

⇒ tanx + 2 tanx = 3cos²2x+ 3sin22x (vì tanx. cotx= 1)

⇒ 3tanx = 3 ( vì cos2 2x + sin22x = 1)

⇒ tanx= 1 ⇒ x= π/4+kπ ( thỏa mãn điều kiện ) .

⇒ phương trình có 4 nghiệm thuộc khoảng (-2π; 2π).

Chọn C.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác
• Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với hàm số lượng giác
• Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác
• Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác
• Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm
• Điều kiện để phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có nghiệm
• Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

---