Điều kiện để phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có nghiệm - Toán lớp 11

Điều kiện để phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có nghiệm

A. Phương pháp giải

+ Phương trình bậc nhất đối với sin x và cosx có dạng: a. sinx+ bcosx = c

Trong đó: a, b và c là hằng số.

+ Cách giải phương trình:

Cách 1:

Điều kiện để phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có nghiệm | Toán lớp 11

Cách 2:

Điều kiện để phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có nghiệm | Toán lớp 11

* Chú ý:

+ Cách 2 thường dùng để giải và biện luận.

+ Điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm là a2 + b2 ≥ c2

+ Bất đẳng thức bunhia-xcopski:

Điều kiện để phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có nghiệm | Toán lớp 11

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho phương trình a. sinx+ b cosx= c .Điều kiện để phương trình trên có nghiệm là:

A. a2 + b2 > c2

B. a2 + b2 < c2

C. a2+ b2 ≥ c2

D. a2+ b2 ≤ c2

Lời giải

Điều kiện để phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có nghiệm | Toán lớp 11

Chọn C.

Ví dụ 2. Cho các phương trình sau:

(I). 2cosx + 4= 0

(II). – 4sinx =1

(III). 2cosx – sinx= 2

(IV). sin2 x + 2sinx – 3= 0

(V) . 7sinx+ 14.sinx.cosx=0

Hỏi có bao nhiêu phương trình là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx .

A. 3

B. 1

C. 2

D. 4

Lời giải

Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có dạng :

a. sinx+ b. cosx= c ( trong đó a khác 0 hoặc b khác 0)

Ta xét các phương trình :

+(I): 2cosx+ 4= 0 ⇒ 2cosx = - 4 có a= 0; b=2 và c=- 4

⇒ (I) có là phương trình bậc nhất đối sinx và cosx.

+ (II). – 4sinx = 1 có a= -4; b= 0 và c= 1

⇒ (II) có là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

+ (III). 2cos x- sinx= 2 có a= -1; b= 2 và c= 2

⇒ (III) có là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.

+ (IV). sin2 x + 2sinx – 3= 0 không có dạng:a. sinx+ b. cosx = c (với a ≠ 0 hoặc b ≠ 0)

⇒ (IV) không là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.

(V) . 7sinx+ 14.sinx.cosx=0 ⇒ 7sinx(1+ 2cosx) = 0

Phương trình trên không có dạng: a.sinx + b.cosx= c nên (V) không là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.

Chọn A.

Ví dụ 3. Cho các phương trình sau:

(1). 3cosx+2 = 0

(2). 4- 2sinx= 0

(3). – 2sinx+ cosx= 3

(4). cos2x- sinx = 0

(5).cosx- sin3x. sinx= 0

(6).sin2x – sinx. cosx+ 2cos2 x= 0

Hỏi trong các phương trình trên có bao nhiêu phương trình đã có dạng phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.

A. 2 B. 4 C. 3 D. 5

Lời giải

Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có dạng :

a.sinx+ b cosx= c ( với a ≠ 0 hoặc b ≠ 0)

Trong các phương trình đã cho có các phương trình : (1); (2); (3) đã có dạng phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.

Chọn C.

Ví dụ 4. Cho các phương trình:

(I). 2sinx- 3cos x= 1

(II).4sinx + 5cos x=10.

(III). - 3sinx – 2cosx= 3

(IV) . – 5sinx + cosx= 3

Hỏi có bao nhiêu phương trình có nghiệm.

A. 1     B.2     C. 3     D.4

Lời giải

+ Các phương trình trên là các phương trình bậc nhất đối với sinx; cosx và có dạng:

a. sinx+ b. cosx = c

Điều kiện để phương trình trên có nghiệm là: a2 + b2 ≥ c2

+ Ta xét các phương án :

(I). 2sinx- 3cos x= 1 có a= 2; b=- 3; c= 1

⇒ a2 + b2 ≥ c2 ( 13 ≥ 1)

⇒ (I) là phương trình có nghiệm.

(II).4sinx + 5cos x=10 có a= 4; b= 5; c= 10

⇒ a2 + b2 < c2 (41 < 100)

⇒ (II) là phương trình vô nghiệm

(III). - 3sinx – 2cosx= 3 có a= - 3; b= - 2 và c= 3

⇒ a2 + b2 ≥ c2 ( 13 ≥ 9)

⇒ (III) là phương trình có nghiệm

(IV) . – 5sinx + cosx= 3 có a= - 5; b= 1 và c= 3

⇒ a2 + b2 ≥ c2 ( 26 ≥ 9)

⇒ (IV) có nghiệm

Vậy có 3 phương trình có nghiệm.

Chọn C.

Ví dụ 5. Cho các phương trình sau:

(1).2sinx - √3 cosx= √5

(2). - √5sin2x + cos2x = 5

(3).√7 cosx= 3

(4). 3√2 sinx= -4

Hỏi có bao nhiêu phương trình vô nghiệm?

A. 0 B.2 C. 1 D.3

Lời giải

Các phương trình trên đều có dạng: a.sinx+ b. cosx= c ( với a ≠ 0 hoặc b ≠ 0 )

Điều kiện để các phương trình bậc nhất đối với sinx và cos x có nghiệm là:

a2 + b2 ≥ c2

⇒ Điều kiện để các phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx vô nghiệm là:

a2+ b2 < c2

+ Ta xét các phương trình:

(1): 2sinx - √3 cosx= √5 có a= 2; b= -√3 và c= √5

⇒ a2 + b2 > c2 (7 > 5)

⇒ Phương trình này có nghiệm

(2). - √5sin2x + cos2x = 5 có a= -√5;b=1;c=5

⇒ a2 + b2 < c2 ( vì 6 < 25)

⇒ phương trình (2) vô nghiệm.

(3). √7 cosx= 3 có a= 0; b= √7 và c= 3

⇒ a2 + b2 < c2 ( vì 7 < 9)

⇒ Phương trình (3) vô nghiệm

(4). 3√2 sinx= -4 có a= 3√2; b=0 và c = -4

⇒ a2 + b2 > c2 ( vì 18 > 16)

⇒ Phương trình (4) có nghiệm

Vậy chỉ có phương trình (2) và (3) vô nghiệm

Chọn B.

Ví dụ 6. Phương trình nào sau đây vô nghiệm

A.2sinx- 10 cosx = 12

B. – sinx+ cosx= - 1

C. 2sinx= 2

D. –10 cosx+ 1=0

Lời giải

Xét phương án A: có a= 2; b= -10 và c= 12

⇒ a2 + b2 < c2 (104 < 144)

⇒ Phương trình này vô nghiệm.

Chọn A.

Ví dụ 7: Phương trình nào sau đây vô nghiệm:

A. √3 sinx+cosx=2.

B.√2 sin2x- √2 cos2x=-2.

C.Điều kiện để phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có nghiệm | Toán lớp 11

D.Điều kiện để phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có nghiệm | Toán lớp 11

Lời giải

+ Các phương trình ở đáp án A, B, D đều có dạng A. Sinax+ B.cosax = C và A2+B2 ≥ C2 nên các phương trình này đều có nghiệm.

+Phương trình ở đáp án C có dạng cos(x+a)= m với m= 2π/3 > 1 nên phương trình này vô nghiệm.

Chọn C.

Ví dụ 8. Cho phương trình m.sinx+ cosx= 2. Tìm điều kiện của m để phương trình trên có nghiệm?

A.Điều kiện để phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có nghiệm | Toán lớp 11

B.Điều kiện để phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có nghiệm | Toán lớp 11

C. -√3 ≤ m ≤ √3

D. -√2 ≤ m ≤ √2

Lời giải

Phương trình: m.sinx+ cosx=2 có nghiệm khi và chỉ khi:

m2+ 12 ≥ 22

⇒ m2 + 1 ≥ 4 ⇒ m2 ≥ 3

Điều kiện để phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có nghiệm | Toán lớp 11

Chọn A.

Ví dụ 9. Cho phương trình: m.sinx+ (m-2).cosx= √2. Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm?

A. 1 ≤ m ≤ 3

B. m ≤ 2;m ≥ 3

C.m > 2; m < 3

D. Phương trình luôn có nghiệm với mọi m

Lời giải

Phương trình: m.sinx+ (m-2).cosx= √2 có nghiệm khi và chỉ khi:

m2+ (m-2)2 ≥ (√2)2

⇒ m2+m2 - 4m+4 ≥ 2 ⇒ 2m2 – 4m+ 2 ≥ 0

⇒ 2(m-1)2 ≥ 0 luôn đúng với mọi m.

⇒ Phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.

Chọn D.

Ví dụ 10. Cho phương trình sinx+ (m-1)cosx= 2m- 1. Tìm điều kiện của m để phương trình trên vô nghiệm.

A.Điều kiện để phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có nghiệm | Toán lớp 11

B.Điều kiện để phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có nghiệm | Toán lớp 11

C. – 1 < m < 2

D. - 2 ≤ m ≤ 1

Lời giải

Phương trình: sinx+ (m-1)cosx = 2m- 1 vô nghiệm khi và chỉ khi:

12 +(m-1)2 < (2m- 1)2

⇒ 1+ m2 – 2m+ 1 < 4m2 - 4m+ 1

⇒ -3m2 + 2m +1 < 0

Điều kiện để phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có nghiệm | Toán lớp 11

Chọn A .

Ví dụ 11. Cho phương trình: (m-1).sinx+ cosx= m. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho vô nghiệm

A. m > 2

B. m < 2

C. m > 1

D. 1 < m < 2

Lời giải

Để phương trình: (m- 1). sinx+ cosx= m vô nghiệm thì:

(m-1)2 +12 < m2

⇒ m2 -2m+ 1 + 12 < m2

⇒ 2-2m < 0 ⇒ m > 1.

Chọn C.

Ví dụ 13: Cho phương trình:Điều kiện để phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có nghiệm | Toán lớp 11 . Tìm m để phương trình có nghiệm.

A.Điều kiện để phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có nghiệm | Toán lớp 11

B.Điều kiện để phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có nghiệm | Toán lớp 11

C. Không có giá trị nào của m.

D. m ≥ 3

Lời giải

Điều kiện để phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có nghiệm | Toán lớp 11

Chọn C.

Ví dụ 14: Tìm m để phương trình: 2sin2 x+ m. sin2x = 2m vô nghiệm.

A.Điều kiện để phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có nghiệm | Toán lớp 11

B.Điều kiện để phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có nghiệm | Toán lớp 11

C.Điều kiện để phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có nghiệm | Toán lớp 11

D.Điều kiện để phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có nghiệm | Toán lớp 11

Lời giải

Ta có: 2sin2 x + m. sin2x = 2m

⇒ 1- cos2x + m. sin 2x= 2m

⇒ m.sin 2x – cos2x = 2m- 1

Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi:

Điều kiện để phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có nghiệm | Toán lớp 11

Chọn D.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:Cho các phương trình sau:

(I). – 4sinx + 2= 0

(II). 10cosx = 0

(III). – 4cosx + 2sinx= 1

(IV). 2sin2 x - 12sinx + 9= 0

(V) . -2sinx - 2.sinx.cosx=0

Hỏi có bao nhiêu phương trình là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx .

A. 3

B. 1

C. 2

D. 4

Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có dạng :

a. sinx+ b. cosx= c ( trong đó a khác 0 hoặc b khác 0)

Ta xét các phương trình :

+(I): - 4sinx + 2= 0 ⇒ - 4sinx = - 2 có a= -4; b=0 và c=- 2

⇒ (I) có là phương trình bậc nhất đối sinx và cosx.

+ (II). 10 cosx= 0 có a= 0; b=10 và c = 0

⇒ (II) có là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

+ (III). – 4cosx + 2sinx = 1 có a= 2; b= -4 và c= 1

⇒ (III) có là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.

+ (IV).2sin2 x -12sinx + 9 = 0 không có dạng:a. sinx+ b. cosx = c (với a ≠ 0 hoặc b ≠ 0)

⇒ (IV) không là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.

(V) . -2sinx - 2.sinx.cosx = 0 ⇒ - 2sinx( 1+ cosx)= 0

Phương trình trên không có dạng: a.sinx + b.cosx= c nên (V) không là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.

Chọn A.

Câu 2:Tìm phương trình không phải là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.

A. sinx + cosx= 0

B. – 10sinx = 0

C. 8- cosx =0

D. 2sin2x + cosx = 1

Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có dạng :

a.sinx+ b cosx = c ( với a ≠ 0 hoặc b ≠ 0) ⇒ a. sinx+ b.cosx – c= 0

Trong các phương trình đã cho có các phương trình : A; B; C đã có dạng phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.

Phương trình D: 2sin2x + cosx= 1chưa có dạng phương trình bậc nhất.

Chọn D.

Câu 3:Cho các phương trình:

(I). 10sinx- cos x= 2

(II). - 3sinx = 2.

(III). 2sinx - 6cosx= 8

(IV) . 2cosx= 3

Hỏi có bao nhiêu phương trình có nghiệm.

A. 1

B.2

C. 3

D.4

+ Các phương trình trên là các phương trình bậc nhất đối với sinx; cosx và có dạng:

a. sinx+ b. cosx = c

Điều kiện để phương trình trên có nghiệm là: a2 + b2 ≥ c2

+ Ta xét các phương án : (I). 10sinx- cos x= 2

(I). 10sinx – cosx= 2 có a= 10; b= -1 và c = 2

⇒ a2 + b2 ≥ c2 ( 101 ≥ 4)

⇒ (I) là phương trình có nghiệm.

(II). – 3sinx = 2 có a= - 3; b = 0 và c= 2

⇒ a2 + b2 > c2 ( 9 > 4)

⇒ (II) là phương trình có nghiệm

(III). 2sinx – 6cosx= 8 có a= 2; b= - 6 và c= 8

⇒ a2 + b2 < c2 ( 40 < 64)

⇒ (III) là phương trình vô nghiệm

(IV) . 2cosx= 3 có a= 0; b= 2 và c= 3

⇒ a2 + b2 < c2 ( 4 < 9)

⇒ (IV) vô nghiệm

Vậy có 2 phương trình có nghiệm.

Chọn B.

Câu 4:Cho các phương trình sau:

(1).- sinx + 2√3 cosx= √15

(2). √5sin2x + 3cos2x = - 5

(3).√15 cosx= 4

(4). -2√2 sinx= 1

Hỏi có bao nhiêu phương trình vô nghiệm?

A. 0

B.2

C. 1

D.3

Các phương trình trên đều có dạng: a.sinx+ b. cosx= c( với a ≠ 0 hoặc b ≠ 0)

Điều kiện để các phương trình bậc nhất đối với sinx và cos x có nghiệm là:

a2 + b2 ≥ c2

⇒ Điều kiện để các phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx vô nghiệm là:

a2+ b2 < c2

+ Ta xét các phương trình

(1): -sinx + 2√3cosx= √15 có a= -1 ; b= 2√3 và c= √15

⇒ a2 + b2 < c2 (13 < 15)

⇒ Phương trình này vô nghiệm

(2). √5sin2x + 3cos2x = -5 có a= √5;b=3;c=-5

⇒ a2 + b2 < c2 ( vì 14 < 25)

⇒ phương trình (2) vô nghiệm.

(3). √15 cosx= 4 có a= 0; b= √15 và c= 4

⇒ a2 + b2 < c2 ( vì 15 < 16)

⇒ Phương trình (3) vô nghiệm

(4). - 2√2 sinx= 1 có a= -2√2; b=0 và c = 1

⇒ a2 + b2 > c2 ( vì 8 > 1)

⇒ Phương trình (4) có nghiệm

Vậy có ba phương trình (1),(2) và (3) vô nghiệm

Chọn D.

Câu 5:Phương trình nào sau đây vô nghiệm

A. - 4sinx + 4 cosx = 4

B. – sinx + 10cosx= 11

C. -100sinx= 50

D. 48cosx+ 1=0

Xét phương án B: có a= -1; b= 10 và c= 11

⇒ a2 + b2 < c2 (101 < 121)

⇒ Phương trình này vô nghiệm.

Chọn B.

Câu 6:Phương trình nào sau đây vô nghiệm:

A. √2 sinx-√2 cosx=2.

B.√19 sin3x- 9cos3x=9.

C. cos(x-π/3)= 3π

D. cos( x-100) + 2sin(x-100) = 1

+Các phương trình ở đáp án A, B, D đều có dạng A. Sinax+ B.cosax = C và A2 + B2 ≥ C2 nên các phương trình này đều có nghiệm.

+Phương trình ở đáp án C có dạng cos(x+a)= m với m= 3.π > 1 nên phương trình này vô nghiệm.

Chọn C.

Câu 7:Cho phương trình 2sinx+m.cosx= 3. Tìm điều kiện của m để phương trình trên có nghiệm?

A.Điều kiện để phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có nghiệm | Toán lớp 11

B.Điều kiện để phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có nghiệm | Toán lớp 11

C. -√3 ≤ m ≤ √3

D. -√5 ≤ m ≤ √5

Phương trình: 2.sinx+m. cosx=3 có nghiệm khi và chỉ khi:

22+ m2 ≥ 32

m2 + 4 ≥ 9 ⇒ m2 ≥ 5

Điều kiện để phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có nghiệm | Toán lớp 11

Chọn B.

Câu 8:Cho phương trình: 2m.sinx+ (m+ 1).cosx = 2√2. Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm?

A.Điều kiện để phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có nghiệm | Toán lớp 11

B. m ≤ 2;m ≥ 3

C.Điều kiện để phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có nghiệm | Toán lớp 11

D. 2 ≤ m ≤ 3

Phương trình: 2m.sinx + (m+1).cosx= 2√2 có nghiệm khi và chỉ khi:

⇒ 4m2+ (m+1)2 ≥ (2√2)2

⇒ 4m2+m2 +2m+1 ≥ 8 ⇒ 5m2 +2m -7 ≥ 0

Điều kiện để phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có nghiệm | Toán lớp 11

Chọn C.

Câu 9:Câu 9. Cho phương trình sinx- 3mcosx= 3m. Tìm điều kiện của m để phương trình trên vô nghiệm.

A.Điều kiện để phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có nghiệm | Toán lớp 11

B.Điều kiện để phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có nghiệm | Toán lớp 11

C. – 2 < m < 1

D. Đáp án khác

Phương trình: sinx – 3m.cosx = 3m vô nghiệm khi và chỉ khi:

12 +(-3m)2 < (3m)2

⇒ 1+ 9m2 < 9m2

⇒ 1 < 0 vô lí

⇒ Với mọi m phương trình đã cho luôn có nghiệm.

Chọn D

Câu 10:Câu 10. Cho phương trình: 2sinx+ (2-m) cosx= m. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho vô nghiệm

A. m < 2

B. m > 2

C. m > 1

D. 1 < m < 2

Để phương trình: 2. sinx+ (2-m)cosx= m vô nghiệm thì:

22 +(2-m)2 < m2

⇒ 4+ 4- 4m+ m2 < m2

⇒ 8 -4m < 0 ⇒ m > 2.

Chọn B .

Câu 11:Cho phương trình: 2m.sin2x – (m2 + 2).cos2 x+ 1= 0. Để phương trình có nghiệm thì giá trị thích hợp của tham số m là

A. m > 1 hoặc m < -2

B.- 2 ≤ m

C.- 1 ≤ m ≤ 2

D.Điều kiện để phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có nghiệm | Toán lớp 11

Ta có: 2m.sin2x - (m2 +2).cos2x + 1= 0

Điều kiện để phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có nghiệm | Toán lớp 11

⇒ 4m. sinx - (m2 +2)cos 2x + m2 +2+ 2=0

⇒ 4m. sinx – (m2 +2).cos2x + m2 + 4= 0

Phương trình trên là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx. Do đó; điều kiện để phương trình có nghiệm là :

16m2 +(m2 +2)2 ≥ (m2 +4)2

⇒ 16m2 + m4 + 4m2 + 4 ≥ m4 + 8m2 + 16

⇒ 12m2 ≥ 12 hay m2 ≥ 1

Điều kiện để phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có nghiệm | Toán lớp 11

Câu 12:Tìm m để phương trình: sinx .cosx+ cos2 x=m có nghiệm là

A.Điều kiện để phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có nghiệm | Toán lớp 11

B.Điều kiện để phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có nghiệm | Toán lớp 11

C.Điều kiện để phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có nghiệm | Toán lớp 11

D. Đáp án khác

Ta có: sinx. cosx+ cos2 x= m

Điều kiện để phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có nghiệm | Toán lớp 11

⇒ sin2x + 1+ cos2x = 2m

⇒ sin 2x+ cos2x= 2m -1

Điều kiện để phương trình trên có nghiệm là :

12 + 12 ≥ (2m-1)2

⇒ 2 ≥ 4m2-4m+1

⇒ 4m2 – 4m- 1 ≤ 0

Điều kiện để phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có nghiệm | Toán lớp 11

Chọn A.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 11 tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2003 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com

Toán 11 - Thầy Nguyễn Quý Huy

4.5 (243)

799,000đs

599,000 VNĐ

Ngữ văn lớp 11 - cô Hương Xuân

4.5 (243)

799,000đ

599,000 VNĐ

Tiếng Anh lớp 11 - Thầy Vũ Việt Tiến

4.5 (243)

799,000đ

599,000 VNĐ

Vật Lý lớp 11 - Thầy Võ Thanh Được

4.5 (243)

799,000đs

599,000 VNĐ

Hóa Học lớp 11 - cô Lê Thúy Hằng

4.5 (243)

799,000đ

599,000 VNĐ

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.