Phương trình lượng giác không mẫu mực - Toán lớp 11

Phương trình lượng giác không mẫu mực

A. Phương pháp giải

Để giải các phương trình lượng giác không mẫu mực ta cần sử dụng:

• Các công thức lượng giác: Công thức cộng; công thức nhân đôi; công thức biến đổi tổng thành tích; tích thành tổng ...

• Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ..

• Đánh giá: a2 ≥ 0 ; vế trái ≤ a; vế phải ≥ a. Từ đó; suy ra: Vế trái = vế phải= a.

• Đánh giá : Vế trái > a; vế phải < 0 nên phương trình vô nghiệm.....

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Giải phương trình: Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

A. Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

B. Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

C. Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

D. Cả A và C đúng

Lời giải

Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

Chọn B.

Ví dụ 2. Giải phương trình: Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

A.Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

B.Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

C.Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

D. Đáp án khác

Lời giải

Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

Chọn A.

Ví dụ 3. Giải phương trình: Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

A.Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

B.Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

C. x= kπ

D.Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

Lời giải

Ta có: sin4x- cos4x = 1+ 4√2 sin⁡( x- π/4)

⇒ sin 4x – ( 1+ cos4x) = 4(sinx – cosx)

⇒ 2.sin2x. cos2 x- 2cos22x = 4( sinx- cosx)

⇒ 2cos 2x.( sin2x – cos 2x) – 4(sinx- cosx)= 0

⇒ 2(cos2 x- sin2 x). ( sin2x- cos2x) – 4.(sinx- cosx) = 0

⇒ 2. ( cosx- sinx) . ( cosx+ sinx). (sin2x- cos2x) + 4( cosx + sinx) = 0

⇒ 2. ( cosx – sinx) .[ (cosx+ sinx) ( sin2x- cos2x) + 2] = 0

Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

Chọn D.

Ví dụ 4. Giải phương trình sin3x. ( cosx- 2sin3x) + cos 3x.(1+ sinx- 2cos 3x) = 0

A. π/8+ kπ/2

B. k2π/3

C. kπ/4

D. Vô nghiệm

Lời giải

Ta có:

sin3x. ( cosx- 2sin3x) + cos 3x.(1+ sinx- 2cos 3x) = 0

⇒ sin3x. cosx – 2sin23x + cos 3x + cos3x.sinx – 2cos23x = 0

⇒ ( sin3x. cosx + cos3x.sinx) – 2( sin2 3x+ cos2 3x) + cos3x = 0

⇒ sin4x –2 + cos3x= 0

⇒ sin4x+ cos3x = 2 (*)

Với mọi x ta có: - 1 ≤ sin4x ≤ 1 và-1 ≤ cos3x ≤ 1

⇒ - 2 ≤ sin4x+cos3x ≤ 2

Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

⇒ Không có giá trị nào của x thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Chọn D

Ví dụ 5. Giải phương trình: Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

A.Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

B. Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

C. Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

D.Vô nghiệm

Lời giải

Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

Chọn B.

Ví dụ 6. Giải phương trình sin20x + cos20 x= 1

A. x= kπ

B. x= kπ/2

C. x= π/2+kπ

D. x= kπ/4

Lời giaỉ

Ta có: sin20 x + cos20 x = 1

⇒ sin20 x + cos20 x = sin2 x+ cos2 x

⇒ sin20 x - sin2 x = cos2 x- cos20 x

⇒ sin2 x( sin18 x – 1)= cos2 x( 1- cos18 x)

+ Với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ sinx ≤ 1 ⇒ 0 ≤ sin2 x ≤ 1

⇒ sin18x- 1 < 0

⇒ vế trái ≤ 0 (1)

+ Tương tự có: 1- cos18x ≥ 0

⇒ Vế phải ≥ 0 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: vế trái= vế phải = 0

Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

Vậy nghiệm phương trình đã cho là x= kπ/2

Chọn B.

Ví dụ 7. Giải phương trình Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

A. x= π/4+kπ

B. kπ

C. Vô nghiệm

D. Cả A và B đúng

Lời giải

Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

Chọn C.

Ví dụ 8. Giải phương trình: Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

A. Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

B. Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

C. Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

D. Phương trình vô nghiệm

Lời giải

Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

Chọn B .

Ví dụ 9. Giải phương trình:Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

A. Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

B. Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

C. Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

D. Đáp án khác

Lời giải

Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

Chọn A.

Ví dụ 10. Giải phương trình Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

A.Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

B.Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

C.Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

D.Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

Lời giải

Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

Chọn D.

Ví dụ 11. Cho phương trình: Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11 Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình có dạng πa/b với a; b là các số nguyên và nguyên tố cùng nhau. Tính S= b-a

A. 2

B. 3

C. 4

D.1

Lời giải.

Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

Do đó phương trình đã cho trở thành:

22017.( sin2018x + cos2018x ) .(sinx+ cosx) .cosx= cosx( sinx+ cosx)

⇒ 22017.( sin2018x + cos2018x ) .(sinx+ cosx) .cosx- cosx( sinx+ cosx) = 0

⇒ cosx.( cosx+ sinx) .[ 22017.( sin2018x + cos2018x )- 1] = 0

Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

Chọn D.

Ví dụ 12. Giải phương trình : Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

A.Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

B.Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

C.Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

D.Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

Lời giải

+ Điều kiện: sinx ≠ 0

Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

Chọn A.

Ví dụ 13. Giải phương trình: sin3x. ( cosx- 2sin3x) + cos3x. (1+ sinx – 2cos3x) =0

A. Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

B. Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

C. Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

D. Vô nghiệm

Lời giải

Ta có: sin3x. ( cosx- 2sin3x) + cos3x. (1+ sinx – 2cos3x) = 0

⇒ sin3x. cosx – 2sin23x + cos3x + cos3x.sinx – 2cos23x=0

⇒ ( sin3x. cosx + cos3x. sinx) - 2( sin23x + cos23x) +cos3x = 0

⇒ sin4x - 2+ cos3x= 0

⇒ sin4x + cos3x = 2 (1)

Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Chọn D.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:Giải phương trình: Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

A. Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

B. Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

C. Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

D. Đáp án khác

Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

Chọn C.

Câu 2:Giải phương trình:Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

A.Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

B.Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

C.Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

D.Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

Chọn D.

Câu 3:Giải phương trình Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

A. Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

B. Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

C. Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

D. Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

Chọn C.

Câu 4:Giải phương trình:Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

A. Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

B. Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

C. Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

D. Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

Chọn C.

Câu 5:Giải phương trình Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

A.Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

B.Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

C.Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

D.Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

Chọn D.

Câu 6:Giải phương trình Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

A. Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

B. Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

C. Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

D.Vô nghiệm

Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm

Chọn D.

Câu 6:Giải phương trình Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

A. Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

B. Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

C. Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

D. Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

+ Ta thấy khi sinx=0 ⇒ x= kπ không phải là nghiệm của phương trình.

+ Nhân hai vế của phương trình (*) với sinx ≠ 0 ta được:

Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

⇒ 2sinx. cosx+ 2sinx.cos2x+ 2sinx.cos3x + 2sinx. cos4x + 2sinx. cos5x + sinx=0

⇒ sin2x – sinx + sin3x- sin2x + sin4x- sin3x + sin5x- sin4x+ sin6x + sinx= 0

⇒ sin 5x+ sin 6x = 0

⇒ sin5x= - sin6x= sin( π-6x)

Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

Chọn A.

Câu 7:Giải phương trình : 4sin3x. cos2x =1+ 6sinx – 8sin3 x

A. Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

B. Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

C. Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

D. Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

Chọn C.

Câu 8:Giải phương trình: cosx. cos2x. cos4x. cos 8x= 1/16 ( *)

A. x= Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

B. x= Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

C. x= Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

D. Đáp án khác

+ Ta thấy khi sinx=0 hay x=kπ không phải là nghiệm của phương trình đã cho.

+ Nhân hai vế của phương trình (*) với sin x ≠ 0 ta được:

Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

Chọn D.

Câu 9:Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình cos3x. (2cos2x+ 1) = 1/2 có dạng πa/b với a ; b là các số nguyên và nguyên tố cùng nhau. Tính S= a. b

A. 6

B.7

C. 8

D. 9

Ta có: cos3x. (2cos2x+ 1) = 1/2

⇒ 4. cos3x. cos2x+ 2cos3x= 1

⇒ 2. ( cos5x+ cosx) + 2cos3x= 1

⇒ 2cos5x+ 2cosx+ 2cos3x=1

+ Nhận thấy sinx=0 hay x=kπ không thỏa mãn phương trình trên.

+ Nhân hai vế cho sinx ≠ 0 ta được:

2.sinx. cos5x+ 2. cosx. sinx + 2cos3x. sinx= sinx

⇒ sin6x + sin(-4x) + sin2x + sin 4x + sin( - 2x) = sinx

⇒ sin6x - sin 4x + sin2x+sin4x – sin2x- sinx=0

⇒ sin6x- sinx=0 ⇒ sin6x= sinx

Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

Suy ra nghiệm dương nhỏ nhất là π/7 ⇒ a= 1 và b= 7

⇒ S= a.b= 1.7= 7

Chọn B.

Câu 10:Cho phương trình sin2018x + cos2018x = 2( sin2020x+ cos2020x). Số vị trí biểu diễn các nghiệm của phương trình trên đường tròn lượng giác là

A. 3

B. 4

C. 6

D. 8

Ta có: sin2018x+ cos2018 x= 2( sin2020x+ cos2020x)

⇒ ( sin2018 x- 2sin2020 x) + (cos2018 x- 2cos2020 x) = 0

⇒ sin2018 x.(1 – 2sin2 x) + cos2018x. ( 1- 2cos2 x) = 0

⇒ sin2018 x.cos2x – cos2018x. cos2x= 0

⇒ cos2x. ( sin2018 x- cos2018x)= 0

Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

Chọn B.

Câu 11:Nghiệm dương lớn nhất của phương trình tan2018 x+ cot2018x = 2.sin2017(x+ π/4) có dạng πa/b với a; b là các số nguyên a > 0 và a; b nguyên tố cùng nhau. Tính S= a.b

A. 4

B. 3

C. 6

D. 8

Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

⇒ nghiệm dương lớn nhất là x= π/4

⇒ a= 1 và b= 4 nên S=a.b = 4

Chọn A.

Câu 12:Giải phương trình: Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

A. x= kπ/4

B. x= kπ/2

C. kπ

D. kπ/3

+ Ta có: 4cos22x + sin22x = ( cos2 2x + sin22x ) +3cos22x

= 1+ 3cos22x > 0 với mọi x.

⇒ Phương trình luôn xác định với mọi giá trị của x.

Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

⇒ sin10x + cos10x = 1

⇒ sin10 x+ cos10 x= sin2 x+ cos2 x

⇒ (sin10 x- sin2 x)+ ( cos10x – cos2 x) = 0

⇒ sin2 x(sin8x -1) + cos2 x( cos8 x- 1) = 0 (*)

Với mọi ta có: - 1 ≤ sinx;cosx ≤ 1

⇒ sin8 x- 1 < 0 và cos8 x – 1 < 0 nên từ (*) suy ra:

Phương trình lượng giác không mẫu mực | Toán lớp 11

Chọn B.

Câu 13:Cho phương trình: 4cos2x+ tan2 x+ 4= 2.(2cosx – tanx ) . Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng ( 0; 10π)?

A. 10

B.16

C. 22

D. Vô nghiệm

Điều kiện: cosx ≠ 0 hay x ≠ π/2+kπ

Ta có: 4cos2 x+ tan2 x+ 4= 2.( 2cosx- tanx)

⇒ 4cos2 x – 4cosx + 1+ tan2x + 2tanx + 1+ 2= 0

⇒ ( 2cosx-1)2 + ( tanx+ 1)2 + 2= 0

Với mọi x thỏa mãn điều kiện ta có: (2cosx -1)2 ≥ 0 và ( tanx+ 1)2 ≥ 0

⇒ ( 2cosx-1)2 + ( tanx+ 1)2 + 2 > 0

⇒ Phương trình đã cho vô nghiệm.

Chọn D.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, soạn văn, văn mẫu.... Tải App để chúng tôi phục vụ tốt hơn.

Tải App cho Android hoặc Tải App cho iPhone

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 11 Đại số, Giải tích và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số, Giải tích 11 và Hình học 11.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.