Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn - Toán lớp 11

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn

A. Phương pháp giải

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Phương trình 2sin2x+ 4cosx = 0 có bao nhiêu nghiệm trong khoảng (0; 3000)

A. 954

B.955

C. 956

D. 957

Lời giải

Ta có: 2sin2x + 4cosx = 0

⇒ 4. sinx.cos+ 4cosx= 0

⇒ 4cosx. ( sinx+ 1) = 0

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn | Toán lớp 11

Mà k nguyên nên k∈{0;1;2;3;…;954} có 955 giá trị của k thỏa mãn.

⇒ Phương trình có 955 nghiệm thuộc khoảng (0;3000)

Chọn B.

Ví dụ 2. Cho phương trình 2sinx+ 2cosx – cos2x=0. Tìm số nghiệm của phương trình thuộc (0; 2000).

A.624

B. 652

C. 645

D. 636

Lời giải

Ta có: 2sinx+ 2cosx – cos2x = 0

⇒ ( 2sinx+ 2cosx) – (cos2 x – sin2 x)= 0

⇒ 2(sinx + cosx) - ( cosx- sinx) . ( cosx+ sinx)= 0

⇒ ( sinx+ cosx). ( 2- cosx + sinx) = 0

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn | Toán lớp 11

Mà k nguyên nên k∈{ 1;2;3..;635;636}. Do đó; phương trình đã cho có 636 nghiệm trong khoảng (0; 2000)

Chọn D.

Ví dụ 3. Phương trình 2cos2 x+ 2cos22x + 2cos23x – 3= cos4x. (2sin2x+ 1) có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng( 10; 1000) ?

A. 1207

B. 1260

C.1261

D. 1208

Lời giải.

Ta có: 2cos2 x+ 2cos22x + 2cos23x – 3= cos4x

⇒ 1+ cos2x + 1+ cos4x + 1+ cos6x- 3 = 2.cos4x.sin2x + cos4x

⇒ cos2x+ cos4x+ cos6x = 2cos 4x. sin2x + cos4x

⇒ cos2x+ cos6x – 2cos 4x.sin2x=0

⇒ 2cos 4x. cos2x – 2.cos4x. sin2x= 0

⇒ 2cos 4x.(cos2x – sin2x) = 0

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn | Toán lớp 11

⇒ 12,23 < k < 1272,8

Mà k nguyên nên k∈{ 13;14;…1271;1272}

⇒ có 1260 số thỏa mãn.

Chọn B.

Ví dụ 4. Phương trình Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn | Toán lớp 11 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng (0; 108π)

A. 3025

B. 3026

C. 3027

D. Tất cả sai

Lời giải.

Điều kiện: ( 1+2cosx).sinx ≠ 0

Với điều kiện trên phương trình trên tương đương:

( 1- 2cosx).( 1+ cosx) = ( 1+ 2cosx). sinx

⇒ 1+ cosx – 2cosx – 2cos2 x= sinx + 2sinx. cosx

⇒ 2cos2 x – 1 + cosx+ sinx + 2sinx.cosx= 0

⇒ cos2x + cosx + sinx + sin2x=0

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn | Toán lớp 11

Mà k nguyên nên k∈ {1; 2; 3; ..; 3027}

⇒ Phương trình đã cho có 3027 nghiệm.

Chọn C.

Ví dụ 5. Phương trình Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn | Toán lớp 11 có bao nhiêu nghiệm nguyên dương?

A. 1

B. 2

C.3

D. 4

Lời giải.

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn | Toán lớp 11

Vì x nguyên dương nên (3k- 2)∈Ư (98)={1;2; 7;14;49;98}

Từ đó ta tính được k∈ {1; 3; 17} – chú ý k nguyên.

+ k= 1 ⇒ x= 12

+ k= 3 ⇒ x = 4

+ k= 17 ⇒ x = 12

⇒ Phương trình có hai nghiệm nguyên dương là 12 và 4

Chọn B.

Ví dụ 6. Phương trình: Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn | Toán lớp 11 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng (0; 2017π)

A.4033

B. 4032

C. 4035

D. 4036

Lời giải.

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn | Toán lớp 11

⇒ ( 1- cos2x)2 + (cosx- sinx)4=1

⇒ 1- 2cos2x + cos22x + ( cos2x + sin2x – 2.cosx. sinx)2= 1

⇒ 1- 2cos2x + cos22x + (1- sin2x)2 - 1= 0

⇒ - 2cos2x + cos22x + 1- 2sin2x+ sin22x = 0

⇒ (cos22x + sin22x ) +1 – 2.(cos2x+ sin2x)= 0

⇒ 2- 2(cos2x + sin2x) = 0

⇒ cos2x + sin2x = 1

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn | Toán lớp 11

Mà k nguyên nên k∈{0;1;2; ...; 2016} ⇒ có 2017 nghiệm

Kết hợp 2 trường hợp có 4033 nghiệm trong khoảng đang xét.

Chọn A.

Ví dụ 7. Tìm số nghiệm của phương trình: tan4x – tan2x – 4tanx= 4tan4x. tan2x. tanx trên đoạn [0; 2π]?

A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

Lời giải

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn | Toán lớp 11

Ta có: tan4x – tan2x – 4tanx = 4tan4x. tan2x. tanx

⇒ tan4x – tan2x = 4tan4x. tan2x. tanx + 4 tanx

⇒ tan4x - tan2x = 4tanx. (tan 4x. tan2x + 1)

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn | Toán lớp 11

Chọn B.

Ví dụ 8. Tính tổng các nghiệm của phương trình Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn | Toán lớp 11 trên khoảng (0; π)?

A. π/4

B. π/3

C. π

D.Đáp án khác

Lời giải

Điều kiện:

Ta có: tan 3x + cot(π/2+x)=0

⇒ tan3x – tanx = 0 ⇒ tan3x= tanx

⇒ 3x = x+kπ ⇒ 2x= kπ

⇒ x= kπ/2 ( không thỏa mãn điều kiện )

Do đó; phương trình đã cho vô nghiệm.

Chọn D.

Ví dụ 9. Tìm số nghiệm của phương trình sin(cosx) = 0 trên khoảng (0; 4π) ?

A. 2

B.3

C. 4

D. 5

Lời giải

Ta có: sin(cosx)=0

⇒ cosx = kπ (*)

Do với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ cosx ≤ 1 nên từ (*) suy ra: k= 0

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn | Toán lớp 11

Mà k nguyên nên k∈ {0;1; 2;3}.

⇒ Phương trình đã cho có 4 nghiệm trên khoảng (0; 4π)

Chọn C.

Ví dụ 10: Cho phương trình: 2cos23x + (3- 2m)cos3x + m-2= 0. Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình có đúng ba nghiệm thuộc khoảng Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn | Toán lớp 11 ?

A. 1 < m < 2

B. 2 < m ≤ 3

C. 1 < m ≤ 2

D. 2 < m < 3

Lời giải.

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn | Toán lớp 11

Chọn C.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:Cho phương trình: (cos4 x- sin4 x).( 2cos2x+5) – 3 = 0. Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng ( π;4π)

A. 5

B. 7

C. 6

D. 8

Ta có: (cos4 x- sin4 x).(2cos2x+ 5) – 3 = 0.

⇒ ( cos2 x- sin2 x).( cos2 x+ sin2x) .( 2cos 2x + 5) – 3= 0

⇒ cos2x.1.( 2cos 2x + 5) - 3= 0

⇒ 2cos22x + 5cos 2x – 3=0

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn | Toán lớp 11

⇒ Phương trình có ba nghiệm đối với họ nghiệm này.

Kết hợp cả hai trường hợp; suy ra phương trình đã cho có 6 nghiệm thuộc (π;4π)

Chọn C.

Câu 2:Tìm số nghiệm của phương trình Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn | Toán lớp 11 trên đoạn [0;2π]

A.3

B.4

C.5

D. 6

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn | Toán lớp 11

Chọn B.

Câu 3:Tìm số nghiệm của phương trình: sinx. cosx + |sinx+cosx|= 1 trên (0; 2π)?

A. 2

B.4

C.3

D.5

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn | Toán lớp 11

⇒ 0 < k < 4 mà k nguyên nên k∈ {1; 2; 3}.

Vậy phương trình có ba nghiệm trên khoảng đang xét.

Chọn C.

Câu 4:Tìm số nghiệm của phương trình Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn | Toán lớp 11 trên đoạn [ 2π;10π]?

A. 6

B .7

C. 8

D. 9

Điều kiện: cosx ≠ -√3/2

Với điều kiện trên phương trình đã cho tương đương với phương trình:

2sin2 x-cosx+2-5sinx+sin2x = 0

⇒ ( sin2x – cosx) + (2sin2x – 5sinx + 2) =0

⇒ (2sinx. cosx – cosx) + ( 2sin2x – 5sinx + 2) = 0

⇒ cosx.( 2sinx- 1) + ( sinx- 2). ( 2sinx – 1)= 0

⇒ ( 2sinx – 1). (cosx + sinx- 2) = 0

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn | Toán lớp 11

Kết hợp 2 trường hợp; suy ra phương trình có tất cả 8 nghiệm trên đoạn [2π;10π]

Chọn C.

Câu 5:Tìm số nghiệm của phương trình: cos2x.(tan2 x – cos2x)= cos3x- cos2 x+ 1 trên khoảng (0; 6π) ?

A. 9

B. 8

C. 10

D.11

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn | Toán lớp 11

+ Trường hợp 1: Nếu cosx=- 1

⇒ x= π+k2π .Ta có: 0 < x < 6π nên: 0 < π+k2π < 6π

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn | Toán lớp 11

⇒ Kết hợp hai trường hợp suy ra số nghiệm của phương trình thuộc khoảng (0; 6π) là 9 nghiệm.

Chọn A.

Câu 6:Cho phương trình: m.sin2x – 3sinx.cosx – m- 1 = 0. Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của m thuộc đoạn [-4; 7] để phương trình có đúng ba nghiệm thuộc (0; 3π/2). Số các phần tử của tập S là:

A. 4

B. 3

C. 5

D. 6

Ta có: m. sin2 x – 3sinx. cosx – m- 1= 0

⇒ m.( sin2 x- 1) - 3sinx. cosx – 1=0

⇒ - m.cos2 x – 3sinx. cosx – 1=0

⇒ m.cos2 x+ 3sinx. cosx + 1= 0

+ Nhận thấy cosx=0 không thỏa phương trình.

Chia hai vế phương trình cho cos2x ta được:

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn | Toán lớp 11

⇒ tan2 x+3tanx + m+ 1=0 (*)

Đặt t= tanx; phương trình (*) trở thành: t2 + 3t + m + 1= 0

Để phương trình đã cho có ba nghiệm thuộc (0; 3π/2) khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu

⇒ a.c= m+ 1 < 0 ⇒ m < - 1

Mà m nguyên và m∈ [ -4;7]

⇒ m∈{ -4; -3; -2}.

⇒ Tập S có 3 phần tử.

Chọn B.

Câu 7:Cho phương trình: ( cosx+ 1).(4cos 2x – m.cosx)= m.sin2 x. Số các giá trị nguyên của m để phương trình có đúng hai nghiệm thuộc đoạn [0;2π/3] là:

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Ta có: (cosx+ 1). (4cos2x – m.cosx) = m.sin2x

⇒ ( cosx+ 1).( 4cos2x – m. cosx) = m.(1- cos2 x)

⇒ (cosx+ 1) . ( 4cos2x- m. cosx) – m.( 1- cosx).( 1+ cosx) =0

⇒ ( cosx+ 1)( 4cos2x -m.cosx - m+m. cosx)= 0

⇒ (cosx+ 1). ( 4cos 2x – m) = 0

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn | Toán lớp 11

Câu 8:Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình: (sinx-1).[2cos2x- ( 2m+1).cosx + m]=0 có đúng bốn nghiệm thuộc đoạn [0; 2π]

A . 1

B. 2

C .3

D .4

Ta có: (sinx- 1).[2cos2 x – (2m+ 1).cosx + m] = 0

⇒ (sinx -1). ( 2cosx- 1).( cosx – m) = 0

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn | Toán lớp 11

Kết luận: Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn.

Chọn B.

Câu 9:Biết rằng khi m= m0 thì phương trình : 2sin2 x – (5m+ 1).sinx +2m2 + 2m = 0 có đúng 5 nghiệm thuộc khoảng Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn | Toán lớp 11. Tìm mệnh đề đúng?

A. m0= - 2

B. m0= 1

C. Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn | Toán lớp 11

D. Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn | Toán lớp 11

Đặt t= sinx ( - 1 ≤ t ≤ 1) .

Phương trình đã cho trở thành: 2t2 – (5m+1).t + 2m2 + 2m=0 (* )

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn | Toán lớp 11

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn | Toán lớp 11

Chọn D.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 11 tại Học cùng VietJack

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2003 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Đăng ký học thử khóa học bởi các thầy cô giỏi bằng cách inbox page Học cùng VietJack

Toán 11 - Thầy Nguyễn Quý Huy

4.5 (243)

799,000đs

599,000 VNĐ

Ngữ văn lớp 11 - cô Hương Xuân

4.5 (243)

799,000đ

599,000 VNĐ

Tiếng Anh lớp 11 - Thầy Vũ Việt Tiến

4.5 (243)

799,000đ

599,000 VNĐ

Vật Lý lớp 11 - Thầy Võ Thanh Được

4.5 (243)

799,000đs

599,000 VNĐ

Hóa Học lớp 11 - cô Nguyễn Thanh Thủy

4.5 (243)

799,000đ

599,000 VNĐ

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.