Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn

Bài viết Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn.

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn

A. Phương pháp giải

Quảng cáo

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Phương trình 2sin2x+ 4cosx = 0 có bao nhiêu nghiệm trong khoảng (0; 3000)

A. 954

B.955

C. 956

D. 957

Lời giải

Ta có: 2sin2x + 4cosx = 0

⇒ 4. sinx.cos+ 4cosx= 0

⇒ 4cosx. ( sinx+ 1) = 0

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn

Mà k nguyên nên k∈{0;1;2;3;…;954} có 955 giá trị của k thỏa mãn.

⇒ Phương trình có 955 nghiệm thuộc khoảng (0;3000)

Chọn B.

Ví dụ 2. Cho phương trình 2sinx+ 2cosx – cos2x=0. Tìm số nghiệm của phương trình thuộc (0; 2000).

A.624

B. 652

C. 645

D. 636

Lời giải

Ta có: 2sinx+ 2cosx – cos2x = 0

⇒ ( 2sinx+ 2cosx) – (cos2 x – sin2 x)= 0

⇒ 2(sinx + cosx) - ( cosx- sinx) . ( cosx+ sinx)= 0

⇒ ( sinx+ cosx). ( 2- cosx + sinx) = 0

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn

Mà k nguyên nên k∈{ 1;2;3..;635;636}. Do đó; phương trình đã cho có 636 nghiệm trong khoảng (0; 2000)

Chọn D.

Quảng cáo

Ví dụ 3. Phương trình 2cos2 x+ 2cos22x + 2cos23x – 3= cos4x. (2sin2x+ 1) có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng( 10; 1000) ?

A. 1207

B. 1260

C.1261

D. 1208

Lời giải.

Ta có: 2cos2 x+ 2cos22x + 2cos23x – 3= cos4x

⇒ 1+ cos2x + 1+ cos4x + 1+ cos6x- 3 = 2.cos4x.sin2x + cos4x

⇒ cos2x+ cos4x+ cos6x = 2cos 4x. sin2x + cos4x

⇒ cos2x+ cos6x – 2cos 4x.sin2x=0

⇒ 2cos 4x. cos2x – 2.cos4x. sin2x= 0

⇒ 2cos 4x.(cos2x – sin2x) = 0

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn

⇒ 12,23 < k < 1272,8

Mà k nguyên nên k∈{ 13;14;…1271;1272}

⇒ có 1260 số thỏa mãn.

Chọn B.

Ví dụ 4. Phương trình Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng (0; 108π)

A. 3025

B. 3026

C. 3027

D. Tất cả sai

Lời giải.

Điều kiện: ( 1+2cosx).sinx ≠ 0

Với điều kiện trên phương trình trên tương đương:

( 1- 2cosx).( 1+ cosx) = ( 1+ 2cosx). sinx

⇒ 1+ cosx – 2cosx – 2cos2 x= sinx + 2sinx. cosx

⇒ 2cos2 x – 1 + cosx+ sinx + 2sinx.cosx= 0

⇒ cos2x + cosx + sinx + sin2x=0

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn

Mà k nguyên nên k∈ {1; 2; 3; ..; 3027}

⇒ Phương trình đã cho có 3027 nghiệm.

Chọn C.

Ví dụ 5. Phương trình Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn có bao nhiêu nghiệm nguyên dương?

A. 1

B. 2

C.3

D. 4

Lời giải.

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn

Vì x nguyên dương nên (3k- 2)∈Ư (98)={1;2; 7;14;49;98}

Từ đó ta tính được k∈ {1; 3; 17} – chú ý k nguyên.

+ k= 1 ⇒ x= 12

+ k= 3 ⇒ x = 4

+ k= 17 ⇒ x = 12

⇒ Phương trình có hai nghiệm nguyên dương là 12 và 4

Chọn B.

Quảng cáo

Ví dụ 6. Phương trình: Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng (0; 2017π)

A.4033

B. 4032

C. 4035

D. 4036

Lời giải.

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn

⇒ ( 1- cos2x)2 + (cosx- sinx)4=1

⇒ 1- 2cos2x + cos22x + ( cos2x + sin2x – 2.cosx. sinx)2= 1

⇒ 1- 2cos2x + cos22x + (1- sin2x)2 - 1= 0

⇒ - 2cos2x + cos22x + 1- 2sin2x+ sin22x = 0

⇒ (cos22x + sin22x ) +1 – 2.(cos2x+ sin2x)= 0

⇒ 2- 2(cos2x + sin2x) = 0

⇒ cos2x + sin2x = 1

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn

Mà k nguyên nên k∈{0;1;2; ...; 2016} ⇒ có 2017 nghiệm

Kết hợp 2 trường hợp có 4033 nghiệm trong khoảng đang xét.

Chọn A.

Ví dụ 7. Tìm số nghiệm của phương trình: tan4x – tan2x – 4tanx= 4tan4x. tan2x. tanx trên đoạn [0; 2π]?

A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

Lời giải

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn

Ta có: tan4x – tan2x – 4tanx = 4tan4x. tan2x. tanx

⇒ tan4x – tan2x = 4tan4x. tan2x. tanx + 4 tanx

⇒ tan4x - tan2x = 4tanx. (tan 4x. tan2x + 1)

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn

Chọn B.

Ví dụ 8. Tính tổng các nghiệm của phương trình Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn trên khoảng (0; π)?

A. π/4

B. π/3

C. π

D.Đáp án khác

Lời giải

Điều kiện:

Ta có: tan 3x + cot(π/2+x)=0

⇒ tan3x – tanx = 0 ⇒ tan3x= tanx

⇒ 3x = x+kπ ⇒ 2x= kπ

⇒ x= kπ/2 ( không thỏa mãn điều kiện )

Do đó; phương trình đã cho vô nghiệm.

Chọn D.

Ví dụ 9. Tìm số nghiệm của phương trình sin(cosx) = 0 trên khoảng (0; 4π) ?

A. 2

B.3

C. 4

D. 5

Lời giải

Ta có: sin(cosx)=0

⇒ cosx = kπ (*)

Do với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ cosx ≤ 1 nên từ (*) suy ra: k= 0

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn

Mà k nguyên nên k∈ {0;1; 2;3}.

⇒ Phương trình đã cho có 4 nghiệm trên khoảng (0; 4π)

Chọn C.

Quảng cáo

Ví dụ 10: Cho phương trình: 2cos23x + (3- 2m)cos3x + m-2= 0. Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình có đúng ba nghiệm thuộc khoảng Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn ?

A. 1 < m < 2

B. 2 < m ≤ 3

C. 1 < m ≤ 2

D. 2 < m < 3

Lời giải.

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn

Chọn C.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:Cho phương trình: (cos4 x- sin4 x).( 2cos2x+5) – 3 = 0. Tìm số nghiệm của phương trình trên khoảng ( π;4π)

A. 5

B. 7

C. 6

D. 8

Lời giải:

Ta có: (cos4 x- sin4 x).(2cos2x+ 5) – 3 = 0.

⇒ ( cos2 x- sin2 x).( cos2 x+ sin2x) .( 2cos 2x + 5) – 3= 0

⇒ cos2x.1.( 2cos 2x + 5) - 3= 0

⇒ 2cos22x + 5cos 2x – 3=0

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn

⇒ Phương trình có ba nghiệm đối với họ nghiệm này.

Kết hợp cả hai trường hợp; suy ra phương trình đã cho có 6 nghiệm thuộc (π;4π)

Chọn C.

Câu 2:Tìm số nghiệm của phương trình Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn trên đoạn [0;2π]

A.3

B.4

C.5

D. 6

Lời giải:

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn

Chọn B.

Câu 3:Tìm số nghiệm của phương trình: sinx. cosx + |sinx+cosx|= 1 trên (0; 2π)?

A. 2

B.4

C.3

D.5

Lời giải:

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn

⇒ 0 < k < 4 mà k nguyên nên k∈ {1; 2; 3}.

Vậy phương trình có ba nghiệm trên khoảng đang xét.

Chọn C.

Câu 4:Tìm số nghiệm của phương trình Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn trên đoạn [ 2π;10π]?

A. 6

B .7

C. 8

D. 9

Lời giải:

Điều kiện: cosx ≠ -√3/2

Với điều kiện trên phương trình đã cho tương đương với phương trình:

2sin2 x-cosx+2-5sinx+sin2x = 0

⇒ ( sin2x – cosx) + (2sin2x – 5sinx + 2) =0

⇒ (2sinx. cosx – cosx) + ( 2sin2x – 5sinx + 2) = 0

⇒ cosx.( 2sinx- 1) + ( sinx- 2). ( 2sinx – 1)= 0

⇒ ( 2sinx – 1). (cosx + sinx- 2) = 0

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn

Kết hợp 2 trường hợp; suy ra phương trình có tất cả 8 nghiệm trên đoạn [2π;10π]

Chọn C.

Câu 5:Tìm số nghiệm của phương trình: cos2x.(tan2 x – cos2x)= cos3x- cos2 x+ 1 trên khoảng (0; 6π) ?

A. 9

B. 8

C. 10

D.11

Lời giải:

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn

+ Trường hợp 1: Nếu cosx=- 1

⇒ x= π+k2π .Ta có: 0 < x < 6π nên: 0 < π+k2π < 6π

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn

⇒ Kết hợp hai trường hợp suy ra số nghiệm của phương trình thuộc khoảng (0; 6π) là 9 nghiệm.

Chọn A.

Câu 6:Cho phương trình: m.sin2x – 3sinx.cosx – m- 1 = 0. Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của m thuộc đoạn [-4; 7] để phương trình có đúng ba nghiệm thuộc (0; 3π/2). Số các phần tử của tập S là:

A. 4

B. 3

C. 5

D. 6

Lời giải:

Ta có: m. sin2 x – 3sinx. cosx – m- 1= 0

⇒ m.( sin2 x- 1) - 3sinx. cosx – 1=0

⇒ - m.cos2 x – 3sinx. cosx – 1=0

⇒ m.cos2 x+ 3sinx. cosx + 1= 0

+ Nhận thấy cosx=0 không thỏa phương trình.

Chia hai vế phương trình cho cos2x ta được:

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn

⇒ tan2 x+3tanx + m+ 1=0 (*)

Đặt t= tanx; phương trình (*) trở thành: t2 + 3t + m + 1= 0

Để phương trình đã cho có ba nghiệm thuộc (0; 3π/2) khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu

⇒ a.c= m+ 1 < 0 ⇒ m < - 1

Mà m nguyên và m∈ [ -4;7]

⇒ m∈{ -4; -3; -2}.

⇒ Tập S có 3 phần tử.

Chọn B.

Câu 7:Cho phương trình: ( cosx+ 1).(4cos 2x – m.cosx)= m.sin2 x. Số các giá trị nguyên của m để phương trình có đúng hai nghiệm thuộc đoạn [0;2π/3] là:

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Lời giải:

Ta có: (cosx+ 1). (4cos2x – m.cosx) = m.sin2x

⇒ ( cosx+ 1).( 4cos2x – m. cosx) = m.(1- cos2 x)

⇒ (cosx+ 1) . ( 4cos2x- m. cosx) – m.( 1- cosx).( 1+ cosx) =0

⇒ ( cosx+ 1)( 4cos2x -m.cosx - m+m. cosx)= 0

⇒ (cosx+ 1). ( 4cos 2x – m) = 0

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn

Câu 8:Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình: (sinx-1).[2cos2x- ( 2m+1).cosx + m]=0 có đúng bốn nghiệm thuộc đoạn [0; 2π]

A . 1

B. 2

C .3

D .4

Lời giải:

Ta có: (sinx- 1).[2cos2 x – (2m+ 1).cosx + m] = 0

⇒ (sinx -1). ( 2cosx- 1).( cosx – m) = 0

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn

Kết luận: Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn.

Chọn B.

Câu 9:Biết rằng khi m= m0 thì phương trình : 2sin2 x – (5m+ 1).sinx +2m2 + 2m = 0 có đúng 5 nghiệm thuộc khoảng Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn. Tìm mệnh đề đúng?

A. m0= - 2

B. m0= 1

C. Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn

D. Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn

Lời giải:

Đặt t= sinx ( - 1 ≤ t ≤ 1) .

Phương trình đã cho trở thành: 2t2 – (5m+1).t + 2m2 + 2m=0 (* )

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn

Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn

Chọn D.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH LUYỆN THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 11

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi, sách dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


Giải bài tập lớp 11 sách mới các môn học
Tài liệu giáo viên