Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx

Bài viết Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx.

Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx

A. Phương pháp giải

+ Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx có dạng:

a (sinx+ cosx)+ b.sinx. cosx + c = 0

Để giải phương trình này ta làm như sau:

+ Phương trình phản đối xứng đối với sinx và cosx có dạng:

a (sinx- cosx)+ b.sinx. cosx + c = 0

Để giải phương trình này ta làm như sau:

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Phương trình: có nghiệm là:

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Đặt sinx+cosx= t (|t| ≤ √2)

⇒ sin ² x+ cos² x+ 2sinx.cosx= t²

⇒ 1+ sin2x= t² ⇒ sin²x= t2 – 1

Thay vào phương trình đã cho ta được:

Chọn D.

Ví dụ 2. Phương trình có nghiệm là:

A.

B.

C.

D.Đáp án khác

Lời giải

Ta có: sin³ x+ cos³ x= 1- 1/2. sin2x

⇒ ( sinx+ cosx) .( sin² x- sinx. cosx + cos² x) = 1- 1/2. 2sinx. cosx

⇒ (sinx+ cosx). ( 1- sinx. cosx) = 1- sinx. cosx

⇒ ( sinx+ cosx) . ( 1- sinx. cosx) –( 1 – sinx.cosx) = 0

⇒ (sinx+ cosx – 1) . ( 1 – sinx.cosx) = 0

Chọn A.

Ví dụ 3: Phương trình sinx + cosx – 4.sinx.cosx – 1= 0 có bao nhiêu họ nghiệm

A. 2

B. 1

C. 3

D.4

Lòi giải

Ta có : sinx + cosx – 4sinx. cosx – 1= 0

Chọn D.

Ví dụ 4: Giải phương trình sin2x – 12(sinx - cosx) + 12 = 0

A.

B.

C.

D. Tất cả sai

Lời giải

Đặt t= sinx- cosx = √2 sin⁡( x- π/4) với |t| ≤ √2

⇒ sin² x + cos² x- 2sinx.cosx = t²

⇒ 1- sin2x = t² ⇒ sin2x= 1-t²

Thay vào phương trình đã cho ta được : 1- t2 -12. t+12=0

⇒ - t2 – 12t+ 13 = 0

Chọn C.

Ví dụ 5: Giải phương trình

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải

Đặt t=sinx-cosx=√2sin⁡(x- π/4) với |t| ≤ √2

⇒ sin² x+ cos² x – 2sinx. cosx= t²

⇒ 1 – 2sinx. cosx = t²

⇒ 2sinx.cosx = 1- t²

Chọn C.

Ví dụ 6. Giải phương trình

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải

+ Điều kiện: sinx ≠ 0

Chọn A.

Ví dụ 7. Giải phương trình |sinx-cosx|+4.sinx.cosx-1=0

A. x= kπ/2

B. x= kπ

C. x= π/2+kπ

D. x= k2π

Lời giải

Đặt t= |sinx-cosx|= √2 |sin⁡( x- π/4) | (0 ≤ t ≤ √2)

⇒ sin² x+ cos² x – 2sinx. cosx = t²

⇒ 1 – 2sinx. cosx= t²

⇒ 2sinx. cosx= 1- t²

Khi đó; ta có: t+ 2(1-t² ) – 1= 0

⇒ - 2t² + t+ 1= 0

Ví dụ 8: Giải phương trình cos³ x + sin³ x= cos² x- sin²x

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có: cos³ x + sin³ x= cos² x- sin²x

⇒ (cosx+ sinx) .(cos² x – cosx. sinx + sin² x)= (cosx- sinx) .(cosx +sinx)

⇒ (cosx+ sinx).( 1- cos x. sinx) – (cosx- sinx). (cosx+ sinx) = 0

⇒ (cosx+ sinx). ( 1- cosx. sinx – cosx+ sinx) = 0

⇒ (cosx+ sinx ).[ ( 1- cosx) + ( sinx- cosx. sinx) ]= 0

⇒ ( cosx + sinx) . [ ( 1- cosx) + sinx(1- cos) ]= 0

⇒ ( cosx+ sinx ).(1- cosx) . ( 1+ sinx) = 0

Chọn C.

Ví dụ 9: Giải phương trình sin³ x – cosx + cos³ x- sinx = 2sin2x

A. x= kπ

B. x= kπ/2

C. x= kπ/4

D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có: sin³ x – cosx + cos³ x- sinx = 2sin2x

⇒ ( sin³ x+ cos³ x) - (cosx+ sinx) - 2sin2x= 0

⇒ ( sinx+ cosx) . (sin² x- sinx.cosx + cos² x) – ( cosx+ sinx) – 2sin2x = 0

⇒ ( sinx+ cosx) . (1- sinx. cosx) – (cosx + sinx) – 2.2.sinx. cosx=0

⇒ (sinx+ cosx).( 1- sinx.cosx- 1) – 4.sinx. cosx= 0

⇒ - (sinx+ cosx). sinx. cosx – 4.sinx.cosx=0 (*)

⇒ - sinx. cosx [ sinx+ cosx + 4] = 0

Chọn B.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:Giải phương trình

A. x=+kπ

B.

C.

D.

Lời giải:

Chọn D.

Câu 2:Cho phương trình sinx.cosx – sinx- cosx + m= 0 trong đó m là tham số thực. Để phương trình có nghiệm, các giá trị thích hợp của m là

A. -√2-1/2 ≤ m ≤ 1

B.√2-1/2 ≤ m ≤ 1

C.-√2-1/2 < m < 1

D. Đáp án khác

Lời giải:

Chọn A.

Câu 2:Phương trình 2sin2x-3√6 |sinx+cosx|+8=0 có nghiệm là

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

Đặt t= |sinx+cosx|= √2|sin(x+ π/4)|;0 ≤ t ≤ √2

⇒ sin² x+ cos² x+ 2sinx. cosx = t²

⇒ 1 + 2sinx. cosx= t² nên 2sinx.cosx= t² -1

Khi đó; phương trình đã cho trở thành:

2(t² -1)-3√6.t+8=0

Câu 3:Giải phương trình sinx.cosx + 2(sinx+ cosx) = 2.

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Đặt t= sinx+ cosx = √2sin⁡( x+ π/4) với |t| ≤ √2

⇒ t² = sin² x+ cos² x + 2sinx.cosx

⇒ t² = 1+ 2sinx. cosx ⇒ sinx.cosx=

Khi đó, phương trình đã cho trở thành:

Câu 4:Cho phương trình 5sin2x+sinx+cosx+6=0 . Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình đã cho?

A. sin x = 1/2

B. cosx = 1

C.cot x= 1

D. 1+ sin2x=0

Lời giải:

Đặt t= sinx+ cosx = √2 sin⁡(x+π/4) với |t| ≤ √2

⇒ t² = sin² x+ cos² x+ 2.sinx.cosx

⇒ t² =1+ 2sinx.cosx ⇒ sin2x= 2sinx.cosx = t² – 1

Khi đó, phương trình đã cho trở thành:

5.(t² -1) + t+ 6= 0

⇒ 5t² + t + 1= 0 phương trình này vô nghiệm

Ta thấy trong các phương án A, B, C, D thì phương trình ở đáp án D vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho tương đương với phương trình 1+sin² x=0

( chú ý: Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm) .

Chọn D:

Câu 5:Câu 5.Giải phương trình: cos³ x+ sin³ x= cos2x

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

Ta có: cos³ x+ sin³ x= cos2x

⇒ (cosx+ sinx). ( cos²x - cosx.sinx +sin²x) – cos2x= 0

⇒ (cosx+ sinx).( 1 – cosx. sinx) – (cosx- sinx).(cosx+ sinx) = 0

⇒ ( cosx+ sinx). ( 1 – cosx. sinx- cosx + sinx) = 0

⇒ ( cosx+ sinx).[( 1+ sinx) – ( cosx. sinx+ cosx)]=0

⇒ ( cosx+ sinx)[ (1+ sinx) – cosx( sinx+ 1) ]=0

⇒ ( cosx+ sinx) .( 1- cosx).( 1+ sinx) = 0

Chọn C.

Câu 6:Giải phương trình; sin(x+ π/4)+sin2x+1=0

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

⇒ phương trình đã cho có ba họ nghiệm là (1); (2) và (3).

Chọn A.

Câu 7:Giải phương trình

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Chọn C.

Câu 8:Tìm nghiệm dương bé nhất của phương trình :

A. x=

B. x=

C. x=

D. x=

Lời giải:

Chọn A.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm
• Điều kiện để phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có nghiệm
• Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
• Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
• Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx
• Phương trình lượng giác đưa về dạng tích
• Phương trình lượng giác không mẫu mực
• Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn

---