Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx - Toán lớp 11

Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx

A. Phương pháp giải

+ Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx có dạng:

a (sinx+ cosx)+ b.sinx. cosx + c = 0

Để giải phương trình này ta làm như sau:

Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

+ Phương trình phản đối xứng đối với sinx và cosx có dạng:

a (sinx- cosx)+ b.sinx. cosx + c = 0

Để giải phương trình này ta làm như sau:

Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Phương trình:Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11 có nghiệm là:

A. Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

B. Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

C. Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

D. Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

Lời giải

Đặt sinx+cosx= t (|t| ≤ √2)

⇒ sin 2 x+ cos2 x+ 2sinx.cosx= t2

⇒ 1+ sin2x= t2 ⇒ sin2x= t2 – 1

Thay vào phương trình đã cho ta được:

Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

Chọn D.

Ví dụ 2. Phương trình Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11 có nghiệm là:

A.Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

B.Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

C.Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

D.Đáp án khác

Lời giải

Ta có: sin3 x+ cos3 x= 1- 1/2. sin2x

⇒ ( sinx+ cosx) .( sin2 x- sinx. cosx + cos2 x) = 1- 1/2. 2sinx. cosx

⇒ (sinx+ cosx). ( 1- sinx. cosx) = 1- sinx. cosx

⇒ ( sinx+ cosx) . ( 1- sinx. cosx) –( 1 – sinx.cosx) = 0

⇒ (sinx+ cosx – 1) . ( 1 – sinx.cosx) = 0

Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

Chọn A.

Ví dụ 3: Phương trình sinx + cosx – 4.sinx.cosx – 1= 0 có bao nhiêu họ nghiệm

A. 2

B. 1

C. 3

D.4

Lòi giải

Ta có : sinx + cosx – 4sinx. cosx – 1= 0

Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

Chọn D.

Ví dụ 4: Giải phương trình sin2x – 12(sinx - cosx) + 12 = 0

A.Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

B.Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

C.Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

D. Tất cả sai

Lời giải

Đặt t= sinx- cosx = √2 sin⁡( x- π/4) với |t| ≤ √2

⇒ sin2 x + cos2 x- 2sinx.cosx = t2

⇒ 1- sin2x = t2 ⇒ sin2x= 1-t2

Thay vào phương trình đã cho ta được : 1- t2 -12. t+12=0

⇒ - t2 – 12t+ 13 = 0

Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

Chọn C.

Ví dụ 5: Giải phương trình Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

A. Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

B. Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

C. Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

D. Đáp án khác

Lời giải

Đặt t=sinx-cosx=√2sin⁡(x- π/4) với |t| ≤ √2

⇒ sin2 x+ cos2 x – 2sinx. cosx= t2

⇒ 1 – 2sinx. cosx = t2

⇒ 2sinx.cosx = 1- t2

Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

Chọn C.

Ví dụ 6. Giải phương trình Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

A.Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

B.Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

C.Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

D. Đáp án khác

Lời giải

+ Điều kiện: sinx ≠ 0

Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

Chọn A.

Ví dụ 7. Giải phương trình |sinx-cosx|+4.sinx.cosx-1=0

A. x= kπ/2

B. x= kπ

C. x= π/2+kπ

D. x= k2π

Lời giải

Đặt t= |sinx-cosx|= √2 |sin⁡( x- π/4) | (0 ≤ t ≤ √2)

⇒ sin2 x+ cos2 x – 2sinx. cosx = t2

⇒ 1 – 2sinx. cosx= t2

⇒ 2sinx. cosx= 1- t2

Khi đó; ta có: t+ 2(1-t2 ) – 1= 0

⇒ - 2t2 + t+ 1= 0

Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

Ví dụ 8: Giải phương trình cos3 x + sin3 x= cos2 x- sin2x

A.Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

B.Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

C.Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có: cos3 x + sin3 x= cos2 x- sin2x

⇒ (cosx+ sinx) .(cos2 x – cosx. sinx + sin2 x)= (cosx- sinx) .(cosx +sinx)

⇒ (cosx+ sinx).( 1- cos x. sinx) – (cosx- sinx). (cosx+ sinx) = 0

⇒ (cosx+ sinx). ( 1- cosx. sinx – cosx+ sinx) = 0

⇒ (cosx+ sinx ).[ ( 1- cosx) + ( sinx- cosx. sinx) ]= 0

⇒ ( cosx + sinx) . [ ( 1- cosx) + sinx(1- cos) ]= 0

⇒ ( cosx+ sinx ).(1- cosx) . ( 1+ sinx) = 0

Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

Chọn C.

Ví dụ 9: Giải phương trình sin3 x – cosx + cos3 x- sinx = 2sin2x

A. x= kπ

B. x= kπ/2

C. x= kπ/4

D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có: sin3 x – cosx + cos3 x- sinx = 2sin2x

⇒ ( sin3 x+ cos3 x) - (cosx+ sinx) - 2sin2x= 0

⇒ ( sinx+ cosx) . (sin2 x- sinx.cosx + cos2 x) – ( cosx+ sinx) – 2sin2x = 0

⇒ ( sinx+ cosx) . (1- sinx. cosx) – (cosx + sinx) – 2.2.sinx. cosx=0

⇒ (sinx+ cosx).( 1- sinx.cosx- 1) – 4.sinx. cosx= 0

⇒ - (sinx+ cosx). sinx. cosx – 4.sinx.cosx=0 (*)

⇒ - sinx. cosx [ sinx+ cosx + 4] = 0

Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

Chọn B.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:Giải phương trình Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

A. x=+kπ

B.Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

C.Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

D.Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

Chọn D.

Câu 2:Cho phương trình sinx.cosx – sinx- cosx + m= 0 trong đó m là tham số thực. Để phương trình có nghiệm, các giá trị thích hợp của m là

A. -√2-1/2 ≤ m ≤ 1

B.√2-1/2 ≤ m ≤ 1

C.-√2-1/2 < m < 1

D. Đáp án khác

Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

Chọn A.

Câu 2:Phương trình 2sin2x-3√6 |sinx+cosx|+8=0 có nghiệm là

A.Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

B. Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

C.Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

D. Đáp án khác

Đặt t= |sinx+cosx|= √2|sin(x+ π/4)|;0 ≤ t ≤ √2

⇒ sin2 x+ cos2 x+ 2sinx. cosx = t2

⇒ 1 + 2sinx. cosx= t2 nên 2sinx.cosx= t2 -1

Khi đó; phương trình đã cho trở thành:

2(t2 -1)-3√6.t+8=0

Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

Câu 3:Giải phương trình sinx.cosx + 2(sinx+ cosx) = 2.

A.Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

B.Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

C.Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

D.Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

Đặt t= sinx+ cosx = √2sin⁡( x+ π/4) với |t| ≤ √2

⇒ t2 = sin2 x+ cos2 x + 2sinx.cosx

⇒ t2 = 1+ 2sinx. cosx ⇒ sinx.cosx= Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

Khi đó, phương trình đã cho trở thành:

Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

Câu 4:Cho phương trình 5sin2x+sinx+cosx+6=0 . Trong các phương trình sau, phương trình nào tương đương với phương trình đã cho?

A. sin x = 1/2

B. cosx = 1

C.cot x= 1

D. 1+ sin2x=0

Đặt t= sinx+ cosx = √2 sin⁡(x+π/4) với |t| ≤ √2

⇒ t2 = sin2 x+ cos2 x+ 2.sinx.cosx

⇒ t2 =1+ 2sinx.cosx ⇒ sin2x= 2sinx.cosx = t2 – 1

Khi đó, phương trình đã cho trở thành:

5.(t2 -1) + t+ 6= 0

⇒ 5t2 + t + 1= 0 phương trình này vô nghiệm

Ta thấy trong các phương án A, B, C, D thì phương trình ở đáp án D vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho tương đương với phương trình 1+sin2 x=0

( chú ý: Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm) .

Chọn D:

Câu 5:Câu 5.Giải phương trình: cos3 x+ sin3 x= cos2x

A. Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

B. Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

C. Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

D. Đáp án khác

Ta có: cos3 x+ sin3 x= cos2x

⇒ (cosx+ sinx). ( cos2x - cosx.sinx +sin2x) – cos2x= 0

⇒ (cosx+ sinx).( 1 – cosx. sinx) – (cosx- sinx).(cosx+ sinx) = 0

⇒ ( cosx+ sinx). ( 1 – cosx. sinx- cosx + sinx) = 0

⇒ ( cosx+ sinx).[( 1+ sinx) – ( cosx. sinx+ cosx)]=0

⇒ ( cosx+ sinx)[ (1+ sinx) – cosx( sinx+ 1) ]=0

⇒ ( cosx+ sinx) .( 1- cosx).( 1+ sinx) = 0

Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

Chọn C.

Câu 6:Giải phương trình; sin(x+ π/4)+sin2x+1=0

A.Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

B.Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

C.Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

D.Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

⇒ phương trình đã cho có ba họ nghiệm là (1); (2) và (3).

Chọn A.

Câu 7:Giải phương trình Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

A.Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

B.Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

C.Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

D.Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

Chọn C.

Câu 8:Tìm nghiệm dương bé nhất của phương trình : Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

A. x= Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

B. x= Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

C. x= Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

D. x= Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

Chọn A.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, soạn văn, văn mẫu.... Tải App để chúng tôi phục vụ tốt hơn.

Tải App cho Android hoặc Tải App cho iPhone

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 11 Đại số, Giải tích và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số, Giải tích 11 và Hình học 11.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.