Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx - Toán lớp 11

Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx

A. Phương pháp giải

+ Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx là phương trình có dạng:

a.sin2 x+ b. sinx. cosx + c. cos2 x= 0 (1)

trong đó a; b và c là các số đã cho với a ≠ 0 hoặc b ≠ 0 hoặc c ≠ 0

+Có hai cách để giải phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx :

* Cách 1.

Bước 1: Kiểm tra cosx = 0 có nghiệm của phương trình.

Chú ý: cosx=0 ⇒ sin2 x= 1

Bước 2. Nếu cosx ≠ 0 chia cả hai vế của phương trình cho cos2x. Khi đó phương trình đã cho có dạng: a. tan2 x+ b. tanx+ c= 0

Đây là phương trình bậc hai ẩn tanx. Giải phương trình ta tính được tanx

⇒ x= ....

Chú ý:Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

* Cách 2.Áp dụng công thức hạ bậc; công thức nhân đôi ta có:

a. sin2 x+ b. sinx. cosx+ c.cos2 x= 0

Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

⇒ b.sin2x+( c-a) cos2x = - a- c

Đây là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Giải phương trình: Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

A. Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

B. Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

C. Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

D. Vô nghiệm

Lời giải

+ Trường hợp 1.

Thay cosx = 0 vào phương trình đã cho ta thấy không thỏa mãn.

+ Trường hợp 2. Với cosx ≠ 0

Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

Phương trình này vô nghiệm

⇒ Phương trình đã cho vô nghiệm.

Chọn D.

Ví dụ 2: Phương trình Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11 có các nghiệm là:

A.Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

B. Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

C.Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

D. Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

Lời giải

Trường hợp 1. Với cosx=0 ⇒ sin2x = 1 thay vào phương trình đã cho ta được :

6.1+0 – 0= 6 (luôn đúng )

⇒ phương trình có nghiệm x= π/2+kπ

Trường hợp 2. Nếu cos x ≠ 0 chia cả hai vế cho cos2x ta được

Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

Chọn A

Ví dụ 3. Cho phương trình 2sin2 x – 5sinx. cosx +3cos2 x= 0. Tìm một họ nghiệm của phương trình:

A.Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

B.Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

C.Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

D.Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

Lời giải

+ Trường hợp 1. Nếu cosx=0 ⇒ sin2 x= 1 thay vào phương trình đã cho ta thấy không thỏa mãn.

+ Trường hợp 2. Nếu cosx ≠ 0. Chia cả hai vế của phương trình cho cos2 x ta được:

2tan2 x – 5tanx + 3= 0

Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

Chọn C

Ví dụ 4. Giải phương trình 4sin2 x+4sinx. cosx+ cos2x= 0 .

A.Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

B.x= arctan⁡(-2)+kπ

C.Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

D.x= arctan⁡2+kπ

Lời giải

+ Trường hợp 1.Nếu cosx= 0 ⇒ sin2 x= 1 thay vào phương trình đã cho ta thấy không thỏa mãn.

+Trường hợp 2. Nếu cosx ≠ 0. Chia cả hai vế phương trình cho cos2 x ta được :

4tan2 x + 4tanx +1= 0 ⇒ (2tanx+1)2= 0

⇒ 2tanx+1 = 0 ⇒ tan x= (-1)/2

⇒ x= arctan⁡(- 1)/2+kπ

Chọn C.

Ví dụ 5. Phương trìnhPhương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11 có các nghiệm là:

A .Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

B. Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

C. Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

D. Tất cả sai

Lời giải

+ Trường hợp 1: Nếu cosx= 0 ⇒ sin2x = 1 thay vào phương trình đã cho ta thấy không thỏa mãn

+ trường hợp 2: Nếu cosx ≠ 0 ta chia cả hai vế của phương trình cho cos2 x ta được:

Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

Chọn A.

Ví dụ 6: Giải phương trình - 3sin2x – 2sinx.cosx + 4cos2 x= - 3

A.Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

B .Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

C. Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

D. Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

Lời giải

+ Trường hợp 1. Nếu cosx= 0 ⇒ sin2 x= 1 thay vào phương trình đã cho ta thấy không thỏa mãn.

+ Trường hợp 2. Nếu cosx ≠ 0. Chia hai vế phương trình cho cos2 x ta được:

- 3tan2 x -2tanx + 4= (- 3)/(cos2 x)

⇒ - 3tan2 x – 2tanx + 4= - 3( 1+ tan2 x)

⇒ - 2tanx = -7 ⇒ tanx= 7/2

⇒ x=arctan 7/2+kπ

Chọn A.

Ví dụ 7: Phương trình 2sin2 x+ sinx.cosx – cos2 x= 0 có nghiệm là:

A. Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

B. Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

C. Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

D. Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

Lời giải

+ Trường hợp 1. Nếu cosx= 0 ⇒ sin2 x=1 thay vào phương trình ta thấy không thỏa mãn.

+ Trường hợp 2. Nếu cosx ≠ 0; chia cả hai vế của phương trình cho cos2 x ta được:

2tan2 x+ tanx – 1= 0

Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

Chọn C.

Ví dụ 8: Một họ nghiệm của phương trình: 2sin2x - 5sinx.cosx–cos2 x= - 2 là

A. x= Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

B. x= Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

C. x= Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

D. x= Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

Lời giải

+ Trường hợp 1: Nếu cosx= 0 ⇒ sin2 x= 1 thay vào phương trình đã cho ta thấy không thỏa mãn.

+ trường hợp 2. Nếu cosx ≠ 0 chia cả hai vế cho cos2 x ta được :

2 tan2x – 5 tanx - 1= (- 2)/(cos2 x)

⇒ 2tan2 x – 5tanx – 1= - 2( 1+ tan2x)

⇒ 2tan2x – 5tanx -1= - 2 – 2tan2 x

⇒ 4tan2 x – 5tanx + 1= 0

Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

Chọn B.

Ví dụ 9. Cho phương trình : 2sin2 x- 4sinx.cosx+4 cos2x= m. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm

A. 1 < m hoặc m < - 1

B.m > √3 hoặc m < - √5

C. 2- √5 ≤ m ≤ 2+ √5

D.Đáp án khác

Lời giải

Áp dụng công thức hạ bậc và công thức nhân đôi ta có:

2sin2 x- 4sinx.cosx+ 4cos2 x=m

⇒ (1-cos2x)-2sin2x+2cos2x+1 = m

⇒ cos2x – 2sin2x = m- 2

Đây là phương trình bậc nhất đối với sin2x và cos2x nên điều kiện để phương trình có nghiệm là: 12 + (-2)2 ≥ (m-2)2

⇒ 5 ≥ m2 - 4m+ 4 ⇒ m2 – 4m - 1 ≤ 0

⇒ 2- √5 ≤ m ≤ 2+ √5

Chọn C.

Ví dụ 10: Giải phương trình 4sin3 x+ 3cos3x- 3sinx – sin2x.cosx= 0

A. Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

B. Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

C. Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

D. Đáp án khác

Lời giải

+ Trường hợp 1. Nếu cosx= 0 ⇒ sin2 x= 1 thay vào phương trình đã cho ta thấy không thỏa mãn.

+ Trường hợp 2.Nếu cosx ≠ 0. Chia cả hai vế cho cos3 x ta được:

Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

⇒ 4.tan3 x+ 3- 3tanx.(1+ tan2 x) – tan2x = 0

⇒ 4.tan3 x + 3- 3tanx – 3tan3x – tan2 x = 0

⇒ tan3 x – tan2 x -3tanx + 3= 0

Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

Chọn B.

Ví dụ 11: Giải phương trình 2cos3x = sin3x

A.Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

B.Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

C.Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

D.Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

Lời giải

Ta có: 2cos3x = sin3x

⇒ 2cos3 x= 3sinx- 4sin3x

Ta thấy cosx=0 không là nghiệm của phương trình đã cho.Chia cả hai vế phương trình cho cos3 x ta được:

Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

⇒ 2= 3. tanx( 1+ tan2 x) – 4tan3 x

⇒ 2= 3tanx + 3tan3x – 4tan3x

⇒ tan3x – 3tanx + 2= 0

Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

Chọn C.

Ví dụ 12: Giải phương trình Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

A. Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

B. Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

C. Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

D. Đáp án khác

Lời giải

Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

Chọn A.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:Giải phương trình 4sin2x+ 5sinx. cosx – 9cos2 x= 0

A.Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

B.Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

C.Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

D.Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

+ Trường hợp 1. Nếu cos x = 0 ⇒ sin2 x= 1

Thay vào phương trình đã cho ta thấy không thỏa mãn

+ Trường hợp 2. Nếu cosx ≠ 0.

Chia cả hai vế cho cos2 x ta được:

4tan2 x + 5tanx – 9=0

Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

Chọn A.

Câu 2:Giải phương trình – sin2 x – 2sin2x- 4cos2 x = 0

A. x = arctan (-3)+ kπ

B. x = arctan 3+ kπ

C. x = arctan 2+ kπ

D. x = arctan (-2)+ kπ

+ Trường hợp 1. Nếu cosx = 0 ⇒ sin2 x= 1

Thay vào phương trình đã cho ta thây không thỏa mãn.

+ Trường hợp 2. Nếu cosx ≠ 0.

Ta có: - sin2 x – 2sin2x – 4cos2 x = 0

⇒ -sin2 x – 4sinx. cosx – 4cos2 x= 0

Chia cả hai vế của phương trình cho cos2 x ta được :

- tan2 x – 4tanx – 4= 0

⇒ - (tanx + 2)2 = 0

⇒ tanx +2= 0 ⇒ tanx = - 2

⇒ x = arctan (-2)+ kπ

Chọn D

Câu 3:Giải phương trình Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

A. Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

B. Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

C.Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

D. Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

Áp dụng công thức hạ bậc và công thức nhân đôi ta có:

Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

Chọn C.

Câu 4:Một họ nghiệm của phương trình: sin2 x – 3sinx. cosx = 2 là

A.Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

B.Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

C.Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

D.Đáp án khác

+ Trường hợp 1. Nếu cosx= 0 ⇒ sin2x= 1 thay vào phương trình đã cho thấy không thỏa mãn.

+ Trường hợp 2. Nếu cosx ≠ 0; chia cả hai vế phương trình cho cos2 x ta được :

tan2 x – 3tanx = 2/(cos2 x)

⇒ tan2 x -3tanx= 2( 1+tan2 x)

⇒ tan2 x – 3tanx = 2+ 2 tan2 x

⇒ - tan2 x – 3tanx – 2 = 0

Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

Chọn C.

Câu 5:Giải phương trình 3sin2 x – 4sinx.cosx + 5cos2 x = 2.

A.Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

B.Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

C.Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

D.Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

+ trường hợp 1.Nếu cosx=0 ⇒ sin2x= 1 thay vào phương trình đã cho ta thấy không thỏa mãn.

+ Trường hợp 2. Nếu cosx ≠ 0.

Chia cả hai vế của phương trình cho cos2 x ta được :

3tan2 x – 4tan x+ 5= 2/(cos2 x)

⇒ 3. tan2 x – 4tanx + 5= 2( 1+ tan2 x)

⇒ tan2 x - 4tanx + 3= 0

Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

Chọn A

Câu 6:Phương trình : Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11 có nghiệm là

A.Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

B.Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

C.Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

D.Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

+ Trương hợp 1.

Nếu cosx = 0 ⇒ sin2 x= 1

Thay vào phương trình đã cho ta thấy không thỏa mãn.

+ Trường hợp 2.

Nếu cosx ≠ 0. Chia cả hai vế phương trình cho cos2x ta được :

Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

Chọn B.

Câu 7:Phương trình Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11 có nghiệm là

A.Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

B.Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

C.Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

D.Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

+ Trường hợp 1. Nếu cos2x = 0 ⇒ sin2 2x= 1

Thay vào phương trình đã cho ta thấy không thỏa mãn.

+ Trường hợp 2.Nếu cos2x ≠ 0. Chia cả hai vế phương trình cho cos2 2x ta được :

Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

Chọn D

Câu 8:Phương trình Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11 có một họ nghiệm là

A. Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

B. Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

C. Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

D. Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

+ Trường hợp 1. Nếu cosx = 0 ⇒ sin2 x= 1

Thay vào phương trình đã cho ta thấy thỏa mãn.

⇒ x= π/2+kπ là nghiệm của phương trình đã cho

+ Trường hợp 2. Nếu cosx ≠ 0

Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

Chọn D.

Câu 9:Giải phương trình sin2x + 3tanx = cosx.( 4sinx – cosx)

A. Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

B. Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

C. Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

D. Đáp án khác

Điều kiện : cosx ≠ 0

Ta có: sin2 x+ 3tanx =cosx. (4sinx-cosx)

⇒ sin2 x+ 3tanx= 4sinx. cosx- cos2x

Chia cả hai vế cho cos2 x ta được :

Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

⇒ tan2 x+ 3tanx (1+ tan2 x)- 4tanx + 1= 0

⇒ tan2 x + 3tanx + 3tan3 x – 4tanx + 1 = 0

⇒ 3tan3 x + tan2 x – tanx +1= 0

⇒ tanx= - 1

⇒ x= (- π)/4+kπ

Chọn A.

Câu 10:Giải phương trình: sin2 x. ( tanx+ 1) = 3sinx.(cosx – sinx) + 3

A. Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

B.Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

C.Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

D. Đáp án khác

Điều kiện: cosx ≠ 0 .

Ta có: sin2 x. (tanx+ 1) = 3sinx.( cosx- sinx) + 3

⇒ sin2 x. (tanx+ 1) = 3sinx. cosx – 3sin2 x+ 3

⇒ sin2 x.(tanx+ 1) = 3sinx.cosx + 3cos2 x ( vì 3-3sin2 x= 3cos2 x)

Chia cả hai vế phương trình cho cos2 x ≠ 0 ta được :

tan2x. ( tanx+ 1) = 3tanx + 3

⇒ tan2 x. ( tanx+ 1) – (3tanx+ 3)= 0

⇒ tan2 x. (tanx +1)- 3( tanx+ 1) = 0

⇒ (tan2 x- 3)( tanx+ 1) = 0

Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx | Toán lớp 11

Chọn B.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, soạn văn, văn mẫu.... Tải App để chúng tôi phục vụ tốt hơn.

Tải App cho Android hoặc Tải App cho iPhone

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 11 Đại số, Giải tích và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số, Giải tích 11 và Hình học 11.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.