Cách giải phương trình lượng giác bằng cách đưa về dạng tích cực hay

Bài viết Cách giải phương trình lượng giác bằng cách đưa về dạng tích với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách giải phương trình lượng giác bằng cách đưa về dạng tích.

Cách giải phương trình lượng giác bằng cách đưa về dạng tích cực hay

A. Phương pháp giải

+ Để đưa một phương trình lượng giác về dạng tích ta cần sử dụng linh hoạt các công thức lượng giác: Công thức cộng; công thức nhân đôi; công thức hạ bậc; công thức biến đổi tổng thành tích; tích thành tổng...

+ Sau khi đưa được phương trình về dạng tích: A.B=0

Giải từng phương trình A = 0; B= 0

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải phương trình 1+ cosx + cos² x+ cos3x – sin² x=0

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Ta có: 1+ cosx + cos² x+ cos3x – sin² x=0

⇒ ( 1- sin² x)+ cos² x+ ( cosx+ cos3x )=0

⇒ cos² x+ cos² x + 2.cos 2x.cos x= 0

⇒ 2cos² x + 2cos2x.cosx=0

⇒ 2cosx . (cosx + cos2x) = 0

Chọn B

Ví dụ 2: Phương trình sin3x – 4sinx. cos2x = 0 có các nghiệm là:

A.x=k2π

B.x= π/2+kπ

C.x=kπ

D. x= π/2+k2π

Lời giải

Ta có: sin 3x- 4sinx. cos2x = 0

⇒ sin3x- 2[ sin3x + sin( -x)]=0

⇒ sin3x- 2sin3x + 2sinx=0 ( vì sin(-x)= - sinx)

⇒ 2sinx= -sin3x

⇒ 2sinx= 4sin³ x- 3sinx

⇒ 2sinx – 4sin³ x+ 3sinx= 0

⇒ 5sinx – 4sin³ x= 0

⇒ sinx ( 5- 4sin2 x) = 0

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x=kπ

Chọn C.

Ví dụ 3. Giải phương trình: ( -sinx + cosx) ( 1+ sinx) = cos² x

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Ta có: (- sinx + cosx) . (1+ sinx)= cos²x

⇒ ( - sinx + cosx). ( 1+sinx)- cos² x = 0

⇒ ( -sinx + cosx). (1+ sinx) – (1- sin² x) = 0

⇒ ( - sinx + cosx). ( 1+sinx) – (1- sinx).( 1+ sinx) = 0

⇒ (1+ sinx).( - sinx + cosx – 1 + sinx) = 0

⇒ ( 1+ sinx).( cosx- 1) = 0

Chọn D.

Ví dụ 4. Giải phương trình: 2+ sin2x – 2cos² x= 0

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Ta có: 2 + sin2x – 2cos² x = 0

⇒ sin 2x + ( 2-2cos² x) = 0

⇒ 2sinx.cosx + 2sin² x= 0

⇒ 2sinx ( cosx + sinx) = 0

Chọn A

Ví dụ 5: Giải phương trình:cos² 4x + sin²2x= 1

A.

B.

C. Cả A và B đúng

D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có: cos² 4x + sin² 2x= 1

⇒ cos²4x + sin² 2x- 1=0

⇒ cos² 4x- cos² 2 x=0

⇒ (cos 4x- cos2x).( cos4x+ cos2x) = 0

Chọn C.

Ví dụ 6: Phương trình 4cosx – 2cos 2x – cos4x= 1 có các nghiệm là:

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Ta có: 4cosx- 2cos2x – cos4x = 1

⇒ 4cosx – 2cos 2x – ( 2cos²2x – 1) – 1= 0

⇒ 4cosx – 2cos2x - 2cos² 2x =0

⇒ 4cos x- 2cos2x( 1+ cos2x) = 0

⇒ 4cosx- 2cos2x .2cos² x = 0

⇒ 4cosx. (1 – cos 2x. cosx) = 0

⇒ 4cosx. [ 1- ( 2cos² x-1) . cos x]= 0

⇒ 4cos x. [1- 2cos³ x + cosx] = 0

Chọn A .

Ví dụ 7: Phương trình cosx - 1+ 2sinx – sin2x= 0 có nghiệm là:

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Ta có: cosx- 1 + 2sinx – sin2x= 0

⇒ ( cosx- sin2x) + ( 2sinx- 1) = 0

⇒ (cosx – 2. sinx. cosx) + ( 2sinx- 1) = 0

⇒ cosx(1 - 2sinx) – ( 1 - 2sinx)= 0

⇒ ( cosx- 1) . ( 1-2sinx)= 0

Chọn C.

Ví dụ 8: Giải phương trình: sin3x – 1= 2sinx.cos2x – cos2x

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có: sin3x- 1= 2sinx. cos2x- cos2x

⇒ sin 3x- 1= sin3x + sin( -x) – cos2 x

⇒ sin 3x- 1 = sin3x – sin x – cos 2x

⇒ (sin3x- sin3x) + (cos2x – 1) + sinx = 0

⇒ - 2sin²x + sin x = 0

⇒ sinx(- 2sinx + 1) = 0

Chọn B.

Ví dụ 9. Giải phương trình : cot2x + 3tan 3x = 2tan2x

A. x= π/4+kπ

B. x=kπ

C.x= π/2+kπ

D. Vô nghiệm

Lời giải

Điều kiện:

Ta có; cot2x + 3tan3 x = 2tan2x

⇒ (cot2x + tan 3x) +(2tan3x- 2tan2x)= 0

⇒ cosx. cos2x + 2sinx. sin2x=0

⇒ ( cosx.cos2x + sinx.sin2x) + sinx. sin2x = 0

⇒ cosx+ sinx. 2sinx.cosx= 0

⇒ cosx. (1+ 2sin² x) = 0

⇒ cosx=0 ( vì 1+ 2sin2 x > 0 với mọi x)

⇒ x= π/2+kπ

Kết hợp với điều kiện suy ra phương trình đã cho vô nghiệm

Chọn D.

Ví dụ 10. Giải phương trình: 4cos⁵x.sinx – 4sin⁵ x.cosx = cos²2x

A .

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có: 4cos⁵x.sinx – 4sin⁵ x.cosx = cos²2x

⇒ 4cosx.sinx .( cos⁴ x- sin⁴ x) = cos² 2x

⇒ 4.cosx.sinx. ( cos² x –sin² x) .( cos² x+ sin² x) – cos² 2x = 0

⇒ 2sin2x. cos2x. 1 – cos² 2x= 0

⇒ cos2x ( 2sin2x – cos2x) = 0

Chọn B

Ví dụ 11. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình: cos⁴x – cos2x+ 2sin⁶ x=0

A. x= π/2 B.x= π C. x= π/3 D.x= π/4

Lời giải

Ta có: cos⁴x – cos2x+ 2sin⁶ x=0

⇒ (1- sin² x)² – (1- 2sin² x) + 2sin⁶ x = 0

⇒ 1 – 2sin² x+ sin⁴ x – 1 +2sin²x + 2sin⁶ x=0

⇒ sin⁴ x + 2sin⁶ x= 0

⇒ sin⁴ x. ( 1+ 2sin² x) = 0

⇒ sin⁴ x= 0 ( vì 1+ 2sin² x > 0 với mọi x)

⇒ sinx=0 ⇒ x=kπ

⇒ Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là x= π ( khi đó k = 1)

Chọn B

Ví dụ 12. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình: cos2x + cos22x+ cos23x = 1

A. x= π/3 B. x= π/4 C. x= π/6 D. x= π/2

Lời giải

Ta có: cos2x+ cos22x+ cos23x= 1

⇒ 1+cos2x+ 1+ cos4x+ 1+ cos 6x= 2

⇒ ( cos 2x+ cos 6x)+ cos4x + 1 = 0

⇒ 2cos4x. cos2x + 2cos2 2x= 0

⇒ 2cos 2x. ( cos 4x+ cos2x)= 0

⇒ 2cos2x. 2.cos3x. cosx = 0

⇒ Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là x= π/6

Chọn C.

Ví dụ 13. Tìm nghiệm âm lớn nhất của phương trình :

A. x=

B. x=

C. x=

D. x=

Lời giải

Chọn D.

Ví dụ 14. Giải phương trình: sin²2x + sin² 4x= cos² 2x+ cos² 4x

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Ta có: sin²2x + sin² 4x= cos² 2x+ cos² 4x

⇒ ( sin² 2x – cos²2x ) + ( sin²4x – cos²4x) = 0

⇒ - cos4x – cos8x = 0

⇒ cos4x+ cos 8x = 0

⇒ 2.cos 6x.cos2x= 0

Chọn B.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:Giải phương trình sin2x. ( cotx + tan2x) = 4cos² x

A .

B.

C.

D.

Lời giải:

Chọn D.

Câu 2:Giải phương trình: cos³ x- sin³ x= 1- 2sin² x

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Do 1- 2sin² x= sin² x+ cos² x- 2sin² x= cos² x- sin² x

Nên: cos² x – sin² x = 1- 2sin² x

⇒ (cosx – sinx) .( cos² x + cosx. sinx + sin² x) = cos² x- sin² x

⇒ ( cosx- sinx ). (1+ cosx. sinx) – ( cos² x –sin² x)= 0

⇒ ( cosx- sinx). ( 1 + cosx. sinx) - ( cosx- sinx ) . (cosx+ sinx) = 0

⇒ ( cosx- sinx ). ( 1 + cosx. sinx – cosx- sinx) = 0

⇒ ( cosx- sinx). [ (1- cosx ) - ( - cosx. sinx + sinx) = 0

⇒ (cosx- sinx). [( 1- cosx) - sinx(1- cosx)]= 0

⇒ (cosx- sinx) . (1- cosx) (1- sinx) = 0

Chọn A.

Câu 3:Giải phương trình: 1+ sinx+ cosx + tanx =0

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Điều kiện: cosx ≠ 0

Chọn B

Câu 4:Một họ nghiệm của phương trình 2sin2x – 2sinx = cot x – 1.

A. x=

B. x=

C. x=

D .Tất cả sai

Lời giải:

Điều kiện: sinx ≠ 0

Ta có: 2sin2x – 2sinx = cot x- 1

⇒ 2sin2x -2sinx – cotx + 1 = 0

+ Nếu 2cosx. sinx + cosx- sinx = 0 hay sinx- cosx – 2sinx. cosx=0 (*)

Chọn A.

Câu 5:Giải phương trình sin³ x+ cos³x= 2sin⁵ x+ 2cos⁵x.

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Ta có: sin³ x+ cos³x= 2sin⁵ x+ 2cos⁵x.

⇒ (sin³ x – 2sin⁵x ) + (cos³ x – 2cos⁵ x) = 0

⇒ sin³ x( 1- 2sin² x) + cos³ x. ( 1- 2cos² x) = 0

⇒ sin³ x.cos2x + cos³ x. (-cos2x) = 0

⇒ cos 2x.( sin³ x – cos³x) = 0

⇒ cos2x. (sinx- cosx).( sin² x+ sinx.cosx + cos²x) =0

⇒ cos 2x. (sinx- cosx) . (1+ sinx.cosx) = 0

Chọn B.

Câu 6:Giải phương trình: tanx + tan 2x = - sin3x. cos2x

A. x= kπ/6

B. x= kπ/4

C. x= kπ/3

D. Cả A và B đúng

Lời giải:

Chọn C.

Câu 7:Giải phương trình

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Chọn D.

Câu 7:Phương trình 2√2.sin 5x. cos 3x = sin4x + 2√2 sin3x. cos 5x có nghiệm là:

A. x= kπ/2

B. x= kπ

C.

D.

Lời giải:

Chọn A.

Câu 8:Giải phương trình cosx – sinx = sin2x - 2cos² x :

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Ta có: cosx- sinx= sin2x -2cos²x

⇒ cosx – sinx - ( sin2x – 2cos² x) = 0

⇒ (cosx- sinx) - (2.sinx.cosx – 2cos² x) = 0

⇒ ( cosx – sinx) – 2cosx( sinx – cosx) = 0

⇒ ( cosx- sinx).( 1- 2cosx) = 0

Chọn C.

Câu 9:Đâu không là một họ nghiệm của phương trình: sin2 x+ sin²2x + sin²3x=2 là.

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Chọn A.

Câu 10:Tìm nghiệm âm lớn nhất của phương trình :

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Chọn B.

Câu 10:Phương trình có bao nhiêu họ nghiệm ?

A. 2

B. 3

C. 4

D. 1

Lời giải:

Kết hợp điều kiện suy ra phương trình đã cho có ba họ nghiệm

Chọn B

Câu 11:Phương trình: có nghiệm là:

A.

B.

C.

D.Đáp án khác

Lời giải:

Chọn D

Câu 12:Giải phương trình : sin²3x + cos²6x = sin² 5x +cos² 4x

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

⇒ 1- cos 6x+ 1+ cos12x= 1- cos10x + 1+ cos 8x

⇒ - cos 6x+ cos12x = - cos10x + cos 8x

⇒ (cos12x + cos10x) – ( cos8x+ cos6x)= 0

⇒ 2.cos 11x.cosx – 2cos7x. cos x= 0

⇒ 2cosx. ( cos11x- cos7x)=0

Chọn A.

Câu 12:Giải phương trình :

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Ta có: cosx+ cos2x + cos3x = ( cosx+cos 3x) + cos2x

= 2cos 2x.cosx + cos2x = cos2x. (2cosx + 1)

Câu 13:Giải phương trình: sin2x + cosx + 1+ 3sin² x – cos² x + 2sinx= 0

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

Ta có: sin2x+ cosx + 1+ 3sin2 x –cos2 x+2sinx=0

⇒ (sin2x + 2sinx ) + (cosx+ 1) + (3sin2 x – cos2x) = 0

⇒ ( 2sinx. cosx+ 2sinx) + (cosx+1) +( 3sin2 x + sin2 x- 1) = 0

⇒ 2sinx.( cosx+ 1) + ( cosx+ 1) + ( 4sin2 x -1) = 0

⇒ (2sinx+ 1).( cosx+1) + ( 2sinx- 1). ( 2sinx+1) = 0

⇒ (2sinx +1) . (cosx+ 1 +2sinx -1) = 0

⇒ ( 2sinx+1) .( cosx+ 2sinx) = 0

Chọn C .

Câu 14:Phương trình: 5sinx+ 5cosx + sin3x = cos3x + √3 (2+ sin2x) có bao nhiêu họ nghiệm?

A. 1

B. 2

C.3

D.4

Lời giải:

Vậy phương trình đã cho có hai họ nghiệm.

Chọn B.

Câu 15:Giải phương trình

A.

B.

C.

D. Cả A và B đều đúng

Lời giải:

Chọn C.

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Giải phương trình: sin2x – cos2x + 3sinx – cosx – 1 = 0.

Bài 2. Giải phương trình: sin3x – 2cos2x = 3sinx + 2cosx.

Bài 3. Giải phương trình:

a) sin2x(cosx + 3) - $2\sqrt{3}$cos³x - $3\sqrt{3}$cos2x + $8\left(\sqrt{3}\cos x-\sin x\right)=3\sqrt{3}$;

b) 9sinx + 6cosx – 3sin2x + cos2x = 8;

c) sin2x + 2cos2x = 1 + sinx – 4 cosx;

d) 2sin2x – cos2x = 7sinx + 2cosx – 4.

Bài 4. Giải phương trình: cos2x + 5 = 2(2 – cosx)(sinx – cosx).

Bài 5. Giải phương trình sau:

a) sin3x – 3sin2x – cos2x + 3sinx + 3cosx – 2 = 0;

b) 1 + sinx + cos3x = cosx + sin2x + cos2x;

c) 2cos³x + cos2x + sinx = 0;

d) 2sinx + cos3x + sin2x = 1 + sin4x.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm
• Điều kiện để phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có nghiệm
• Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
• Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
• Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx
• Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx
• Phương trình lượng giác không mẫu mực
• Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn

---