Phương trình lượng giác đưa về dạng tích - Toán lớp 11

Phương trình lượng giác đưa về dạng tích

A. Phương pháp giải

+ Để đưa một phương trình lượng giác về dạng tích ta cần sử dụng linh hoạt các công thức lượng giác: Công thức cộng; công thức nhân đôi; công thức hạ bậc; công thức biến đổi tổng thành tích; tích thành tổng...

+ Sau khi đưa được phương trình về dạng tích: A.B=0 Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

Giải từng phương trình A = 0; B= 0

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải phương trình 1+ cosx + cos2 x+ cos3x – sin2 x=0

A. Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

B. Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

C. Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

D. Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

Lời giải

Ta có: 1+ cosx + cos2 x+ cos3x – sin2 x=0

⇒ ( 1- sin2 x)+ cos2 x+ ( cosx+ cos3x )=0

⇒ cos2 x+ cos2 x + 2.cos 2x.cos x= 0

⇒ 2cos2 x + 2cos2x.cosx=0

⇒ 2cosx . (cosx + cos2x) = 0

Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

Chọn B

Ví dụ 2: Phương trình sin3x – 4sinx. cos2x = 0 có các nghiệm là:

A.x=k2π

B.x= π/2+kπ

C.x=kπ

D. x= π/2+k2π

Lời giải

Ta có: sin 3x- 4sinx. cos2x = 0

⇒ sin3x- 2[ sin3x + sin( -x)]=0

⇒ sin3x- 2sin3x + 2sinx=0 ( vì sin(-x)= - sinx)

⇒ 2sinx= -sin3x

⇒ 2sinx= 4sin3 x- 3sinx

⇒ 2sinx – 4sin3 x+ 3sinx= 0

⇒ 5sinx – 4sin3 x= 0

⇒ sinx ( 5- 4sin2 x) = 0

Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x=kπ

Chọn C.

Ví dụ 3. Giải phương trình: ( -sinx + cosx) ( 1+ sinx) = cos2 x

A. Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

B. Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

C. Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

D. Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

Lời giải

Ta có: (- sinx + cosx) . (1+ sinx)= cos2x

⇒ ( - sinx + cosx). ( 1+sinx)- cos2 x = 0

⇒ ( -sinx + cosx). (1+ sinx) – (1- sin2 x) = 0

⇒ ( - sinx + cosx). ( 1+sinx) – (1- sinx).( 1+ sinx) = 0

⇒ (1+ sinx).( - sinx + cosx – 1 + sinx) = 0

⇒ ( 1+ sinx).( cosx- 1) = 0

Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

Chọn D.

Ví dụ 4. Giải phương trình: 2+ sin2x – 2cos2 x= 0

A. Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

B. Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

C. Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

D. Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

Lời giải

Ta có: 2 + sin2x – 2cos2 x = 0

⇒ sin 2x + ( 2-2cos2 x) = 0

⇒ 2sinx.cosx + 2sin2 x= 0

⇒ 2sinx ( cosx + sinx) = 0

Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

Chọn A

Ví dụ 5: Giải phương trình:cos2 4x + sin22x= 1

A.Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

B.Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

C. Cả A và B đúng

D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có: cos2 4x + sin2 2x= 1

⇒ cos24x + sin2 2x- 1=0

⇒ cos2 4x- cos2 2 x=0

⇒ (cos 4x- cos2x).( cos4x+ cos2x) = 0

Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

Chọn C.

Ví dụ 6: Phương trình 4cosx – 2cos 2x – cos4x= 1 có các nghiệm là:

A. Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

B. Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

C. Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

D. Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

Lời giải

Ta có: 4cosx- 2cos2x – cos4x = 1

⇒ 4cosx – 2cos 2x – ( 2cos22x – 1) – 1= 0

⇒ 4cosx – 2cos2x - 2cos2 2x =0

⇒ 4cos x- 2cos2x( 1+ cos2x) = 0

⇒ 4cosx- 2cos2x .2cos2 x = 0

⇒ 4cosx. (1 – cos 2x. cosx) = 0

⇒ 4cosx. [ 1- ( 2cos2 x-1) . cos x]= 0

⇒ 4cos x. [1- 2cos3 x + cosx] = 0

Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

Chọn A .

Ví dụ 7: Phương trình cosx - 1+ 2sinx – sin2x= 0 có nghiệm là:

A. Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

B. Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

C. Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

D. Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

Lời giải

Ta có: cosx- 1 + 2sinx – sin2x= 0

⇒ ( cosx- sin2x) + ( 2sinx- 1) = 0

⇒ (cosx – 2. sinx. cosx) + ( 2sinx- 1) = 0

⇒ cosx(1 - 2sinx) – ( 1 - 2sinx)= 0

⇒ ( cosx- 1) . ( 1-2sinx)= 0

Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

Chọn C.

Ví dụ 8: Giải phương trình: sin3x – 1= 2sinx.cos2x – cos2x

A.Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

B.Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

C.Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có: sin3x- 1= 2sinx. cos2x- cos2x

⇒ sin 3x- 1= sin3x + sin( -x) – cos2 x

⇒ sin 3x- 1 = sin3x – sin x – cos 2x

⇒ (sin3x- sin3x) + (cos2x – 1) + sinx = 0

⇒ - 2sin2x + sin x = 0

⇒ sinx(- 2sinx + 1) = 0

Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

Chọn B.

Ví dụ 9. Giải phương trình : cot2x + 3tan 3x = 2tan2x

A. x= π/4+kπ

B. x=kπ

C.x= π/2+kπ

D. Vô nghiệm

Lời giải

Điều kiện:Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

Ta có; cot2x + 3tan3 x = 2tan2x

⇒ (cot2x + tan 3x) +(2tan3x- 2tan2x)= 0

Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

⇒ cosx. cos2x + 2sinx. sin2x=0

⇒ ( cosx.cos2x + sinx.sin2x) + sinx. sin2x = 0

⇒ cosx+ sinx. 2sinx.cosx= 0

⇒ cosx. (1+ 2sin2 x) = 0

⇒ cosx=0 ( vì 1+ 2sin2 x > 0 với mọi x)

⇒ x= π/2+kπ

Kết hợp với điều kiện suy ra phương trình đã cho vô nghiệm

Chọn D.

Ví dụ 10. Giải phương trình: 4cos5x.sinx – 4sin5 x.cosx = cos22x

A . Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

B. Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

C. Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có: 4cos5x.sinx – 4sin5 x.cosx = cos22x

⇒ 4cosx.sinx .( cos4 x- sin4 x) = cos2 2x

⇒ 4.cosx.sinx. ( cos2 x –sin2 x) .( cos2 x+ sin2 x) – cos2 2x = 0

⇒ 2sin2x. cos2x. 1 – cos2 2x= 0

⇒ cos2x ( 2sin2x – cos2x) = 0

Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

Chọn B

Ví dụ 11. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình: cos4x – cos2x+ 2sin6 x=0

A. x= π/2 B.x= π C. x= π/3 D.x= π/4

Lời giải

Ta có: cos4x – cos2x+ 2sin6 x=0

⇒ (1- sin2 x)2 – (1- 2sin2 x) + 2sin6 x = 0

⇒ 1 – 2sin2 x+ sin4 x – 1 +2sin2x + 2sin6 x=0

⇒ sin4 x + 2sin6 x= 0

⇒ sin4 x. ( 1+ 2sin2 x) = 0

⇒ sin4 x= 0 ( vì 1+ 2sin2 x > 0 với mọi x)

⇒ sinx=0 ⇒ x=kπ

⇒ Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là x= π ( khi đó k = 1)

Chọn B

Ví dụ 12. Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình: cos2x + cos22x+ cos23x = 1

A. x= π/3 B. x= π/4 C. x= π/6 D. x= π/2

Lời giải

Ta có: cos2x+ cos22x+ cos23x= 1

Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

⇒ 1+cos2x+ 1+ cos4x+ 1+ cos 6x= 2

⇒ ( cos 2x+ cos 6x)+ cos4x + 1 = 0

⇒ 2cos4x. cos2x + 2cos2 2x= 0

⇒ 2cos 2x. ( cos 4x+ cos2x)= 0

⇒ 2cos2x. 2.cos3x. cosx = 0

Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

⇒ Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là x= π/6

Chọn C.

Ví dụ 13. Tìm nghiệm âm lớn nhất của phương trình :

Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

A. x= Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

B. x= Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

C. x= Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

D. x= Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

Lời giải

Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

Chọn D.

Ví dụ 14. Giải phương trình: sin22x + sin2 4x= cos2 2x+ cos2 4x

A. Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

B.Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

C. Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

D. Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

Lời giải

Ta có: sin22x + sin2 4x= cos2 2x+ cos2 4x

⇒ ( sin2 2x – cos22x ) + ( sin24x – cos24x) = 0

⇒ - cos4x – cos8x = 0

⇒ cos4x+ cos 8x = 0

⇒ 2.cos 6x.cos2x= 0

Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

Chọn B.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:Giải phương trình sin2x. ( cotx + tan2x) = 4cos2 x

A .Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

B. Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

C. Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

D. Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

Chọn D.

Câu 2:Giải phương trình: cos3 x- sin3 x= 1- 2sin2 x

A. Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

B. Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

C.Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

D. Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

Do 1- 2sin2 x= sin2 x+ cos2 x- 2sin2 x= cos2 x- sin2 x

Nên: cos2 x – sin2 x = 1- 2sin2 x

⇒ (cosx – sinx) .( cos2 x + cosx. sinx + sin2 x) = cos2 x- sin2 x

⇒ ( cosx- sinx ). (1+ cosx. sinx) – ( cos2 x –sin2 x)= 0

⇒ ( cosx- sinx). ( 1 + cosx. sinx) - ( cosx- sinx ) . (cosx+ sinx) = 0

⇒ ( cosx- sinx ). ( 1 + cosx. sinx – cosx- sinx) = 0

⇒ ( cosx- sinx). [ (1- cosx ) - ( - cosx. sinx + sinx) = 0

⇒ (cosx- sinx). [( 1- cosx) - sinx(1- cosx)]= 0

⇒ (cosx- sinx) . (1- cosx) (1- sinx) = 0

Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

Chọn A.

Câu 3:Giải phương trình: 1+ sinx+ cosx + tanx =0

A. Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

B. Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

C. Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

D. Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

Điều kiện: cosx ≠ 0

Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

Chọn B

Câu 4:Một họ nghiệm của phương trình 2sin2x – 2sinx = cot x – 1.

A. x= Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

B. x= Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

C. x= Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

D .Tất cả sai

Điều kiện: sinx ≠ 0

Ta có: 2sin2x – 2sinx = cot x- 1

⇒ 2sin2x -2sinx – cotx + 1 = 0

Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

+ Nếu 2cosx. sinx + cosx- sinx = 0 hay sinx- cosx – 2sinx. cosx=0 (*)

Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

Chọn A.

Câu 5:Giải phương trình sin3 x+ cos3x= 2sin5 x+ 2cos5x.

A. Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

B. Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

C. Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

D. Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

Ta có: sin3 x+ cos3x= 2sin5 x+ 2cos5x.

⇒ (sin3 x – 2sin5x ) + (cos3 x – 2cos5 x) = 0

⇒ sin3 x( 1- 2sin2 x) + cos3 x. ( 1- 2cos2 x) = 0

⇒ sin3 x.cos2x + cos3 x. (-cos2x) = 0

⇒ cos 2x.( sin3 x – cos3x) = 0

⇒ cos2x. (sinx- cosx).( sin2 x+ sinx.cosx + cos2x) =0

⇒ cos 2x. (sinx- cosx) . (1+ sinx.cosx) = 0

Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

Chọn B.

Câu 6:Giải phương trình: tanx + tan 2x = - sin3x. cos2x

A. x= kπ/6

B. x= kπ/4

C. x= kπ/3

D. Cả A và B đúng

Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

Chọn C.

Câu 7:Giải phương trình Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

A. Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

B. Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

C. Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

D. Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

Chọn D.

Câu 7:Phương trình 2√2.sin 5x. cos 3x = sin4x + 2√2 sin3x. cos 5x có nghiệm là:

A. x= kπ/2

B. x= kπ

C.Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

D.Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

Chọn A.

Câu 8:Giải phương trình cosx – sinx = sin2x - 2cos2 x :

A. Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

B. Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

C. Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

D. Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

Ta có: cosx- sinx= sin2x -2cos2x

⇒ cosx – sinx - ( sin2x – 2cos2 x) = 0

⇒ (cosx- sinx) - (2.sinx.cosx – 2cos2 x) = 0

⇒ ( cosx – sinx) – 2cosx( sinx – cosx) = 0

⇒ ( cosx- sinx).( 1- 2cosx) = 0

Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

Chọn C.

Câu 9:Đâu không là một họ nghiệm của phương trình: sin2 x+ sin22x + sin23x=2 là.Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

A.Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

B.Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

C.Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

D.Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

Chọn A.

Câu 10:Tìm nghiệm âm lớn nhất của phương trình : Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

A.Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

B.Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

C.Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

D.Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

Chọn B.

Câu 10:Phương trình Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11 có bao nhiêu họ nghiệm ?

A. 2

B. 3

C. 4

D. 1

Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

Kết hợp điều kiện suy ra phương trình đã cho có ba họ nghiệm

Chọn B

Câu 11:Phương trình:Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11 có nghiệm là:

A. Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

B. Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

C. Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

D.Đáp án khác

Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

Chọn D

Câu 12:Giải phương trình : sin23x + cos26x = sin2 5x +cos2 4x

A.Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

B.Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

C.Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

D.Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

⇒ 1- cos 6x+ 1+ cos12x= 1- cos10x + 1+ cos 8x

⇒ - cos 6x+ cos12x = - cos10x + cos 8x

⇒ (cos12x + cos10x) – ( cos8x+ cos6x)= 0

⇒ 2.cos 11x.cosx – 2cos7x. cos x= 0

⇒ 2cosx. ( cos11x- cos7x)=0

Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

Chọn A.

Câu 12:Giải phương trình : Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

A.Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

B.Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

C.Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

D. Đáp án khác

+ Ta có: cosx+ cos2x + cos3x = ( cosx+cos 3x) + cos2x

= 2cos 2x.cosx + cos2x = cos2x. (2cosx + 1)

Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

Câu 13:Giải phương trình: sin2x + cosx + 1+ 3sin2 x – cos2 x + 2sinx= 0

A. Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

B. Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

C. Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

D. Đáp án khác

Ta có: sin2x+ cosx + 1+ 3sin2 x –cos2 x+2sinx=0

⇒ (sin2x + 2sinx ) + (cosx+ 1) + (3sin2 x – cos2x) = 0

⇒ ( 2sinx. cosx+ 2sinx) + (cosx+1) +( 3sin2 x + sin2 x- 1) = 0

⇒ 2sinx.( cosx+ 1) + ( cosx+ 1) + ( 4sin2 x -1) = 0

⇒ (2sinx+ 1).( cosx+1) + ( 2sinx- 1). ( 2sinx+1) = 0

⇒ (2sinx +1) . (cosx+ 1 +2sinx -1) = 0

⇒ ( 2sinx+1) .( cosx+ 2sinx) = 0

Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

Chọn C .

Câu 14:Phương trình: 5sinx+ 5cosx + sin3x = cos3x + √3 (2+ sin2x) có bao nhiêu họ nghiệm?

A. 1

B. 2

C.3

D.4

Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

Vậy phương trình đã cho có hai họ nghiệm.

Chọn B.

Câu 15:Giải phương trình Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

A. Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

B. Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

C. Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

D. Cả A và B đều đúng

Phương trình lượng giác đưa về dạng tích | Toán lớp 11

Chọn C.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 11 tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2003 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com

Toán 11 - Thầy Nguyễn Quý Huy

4.5 (243)

799,000đs

599,000 VNĐ

Ngữ văn lớp 11 - cô Hương Xuân

4.5 (243)

799,000đ

599,000 VNĐ

Tiếng Anh lớp 11 - Thầy Vũ Việt Tiến

4.5 (243)

799,000đ

599,000 VNĐ

Vật Lý lớp 11 - Thầy Võ Thanh Được

4.5 (243)

799,000đs

599,000 VNĐ

Hóa Học lớp 11 - cô Lê Thúy Hằng

4.5 (243)

799,000đ

599,000 VNĐ

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.