Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm- Toán lớp 11

Bài viết Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm.

Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm

A. Phương pháp giải

Quảng cáo

+ Phương trình a. sinx+ b=0 hoặc a.cosx+ b=0 ( với a ≠ 0) có nghiệm nếu:

- 1 ≤ sinx( hoặc cosx) ≤ 1.

+Xét phương trình a.sin2 x + bsinx+ c= 0 hoặc a.cos2 x+ b. cosx+ c= 0 ( với a ≠ 0) :

Đặt sinx= t ( hoặc cosx = t) phương trình đã cho trở thành:

at2 + bt + c= 0 (*)

để phương trình đã cho có nghiệm nếu phương trình (*) có nghiệm t0 và -1 ≤ t0 ≤ 1

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho phương trình 2sinx+ cos900 = m. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm?

A. - 2 ≤ m ≤ 2

B. - 1 ≤ m ≤ 1

C. - 4 ≤ m ≤ 4

D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có: 2sinx+ cos900= m

⇒ 2sinx + 0= m

⇒ sinx= m/2 (*)

Với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ sinx ≤ 1

⇒ để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi:

- 1 ≤ m/2 ≤ 1 ⇒ - 2 ≤ m ≤ 2

Chọn A.

Ví dụ 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm- Toán lớp 11 có nghiệm

A. 2

B.4

C. 3

D.1

Lơì giải

Ta có: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm- Toán lớp 11

⇒ sinx - 2sinx = m

⇒ - sinx = m ⇒ sinx= - m

Với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ sinx ≤ 1

⇒ để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi:

- 1 ≤ -m ≤ 1 ⇒ - 1 ≤ m ≤ 1

⇒ m∈{ -1;0;1}

Chọn C.

Quảng cáo

Ví dụ 3. Tìm tất cả giá trị của m để phương trình sin2x -2(m-1)sinxcosx-(m-1)cos2x=m có nghiệm?

A.0≤m≤1

B.m > 1

C.0 < m < 1

D.m≤0

Lời giải

Ta có: sin2 x- 2(m -1) sinx. cosx – ( m – 1) cos2 x= m

Ta có: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm- Toán lớp 11

⇒ 1- cos2x -2 (m- 1) .sin2x- ( m- 1) . ( 1 + cos2x) = 2m

⇒ 1- cos2x -2(m-1)sin2x – m+ 1 – (m-1).cos2x – 2m= 0

⇒ -2(m -1) sin2x – mcos2x= 3m - 2

Phương trình có nghiệm

Ta có: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm- Toán lớp 11

Chọn A.

Ví dụ 4. Để phương trình: sin2 x+2(m+1).sinx – 3m(m-2)= 0 có nghiệm, các giá trị thích hợp của tham số m là:

A.Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm- Toán lớp 11 .

B.Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm- Toán lớp 11 .

C.Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm- Toán lớp 11 .

D.Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm- Toán lớp 11 .

Lời giải

Đặt t = sinx.

Điều kiện .

Phương trình trở thành: t2 + 2(m+1).t – 3m(m- 2)= 0 (1).

Đặt f(t) = t2 + 2(m+1)t – 3m(m- 2).

Phương trình đã cho có nghiệm thuộc đoạn [-1;1] khi phương trình (1) có một nghiệm thuộc [-1;1] hoặc có hai nghiệm thuộc [-1;1]

Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm- Toán lớp 11

Chọn B.

Ví dụ 5: Để phương trình Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm- Toán lớp 11 có nghiệm, điều kiện thích hợp cho tham số là:

A.Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm- Toán lớp 11 .

B.Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm- Toán lớp 11 .

C.Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm- Toán lớp 11 .

D.Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm- Toán lớp 11 .

Lời giải

Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm- Toán lớp 11

Phương trình (1) trở thành 3t2+ 4at – 4= 0 (2).

Để phương trình (1) có nghiệm thì phương trình (2) phải có nghiệm trong đoạn .

Xét phương trình (2), ta có:Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm- Toán lớp 11

nên (2) luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu.

Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm- Toán lớp 11

Chọn D.

Quảng cáo

Ví dụ 6: Cho phương trình cos6 x + sin6 x= m. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm?

A. 1/4 ≤ m ≤ 1

B. 1/2 ≤ m ≤ 1

C. 1/2 ≤ m ≤ 2

D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có: cos6 x + sin6 x= m

⇒ (cos2 x+ sin2 x) . (cos4 x – cos2x. sin2 x+ sin4 x) =m

⇒ 1.[ (cos2x+ sin2 x)2 – 3.cos2 x. sin2 x= m

Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm- Toán lớp 11

Với mõi ta a luôn có: - 1 ≤ sin2x ≤ 1 nên 0 ≤ sin2 2x ≤ 1

Do đó; để phương trình đã cho co nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm

Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm- Toán lớp 11

Chọn B.

Ví dụ 7. Cho phương trình: 4(sin4 x + cos4 x ) -8(sin6 x + cos6 x) -4sin2 4x = m trong đó m là tham số. Để phương trình là vô nghiệm, thì các giá trị thích hợp của m là:

A.Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm- Toán lớp 11 .

B.Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm- Toán lớp 11

C.Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm- Toán lớp 11

D.Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm- Toán lớp 11

Lời giải

Ta có:

Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm- Toán lớp 11

+ Ta tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm. Rồi từ đó suy ra các giá trị của m để phương trình đã cho vô nghiệm.

(1) có nghiệm thì (2) phải có nghiệm thoả t0 thuộc [-1;1] .

Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm- Toán lớp 11

Chọn D.

Ví dụ 8. Cho phương trình cos(x-300) + sin( x+ 600)= m. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm?

A.0 ≤ m ≤ 1

B. -1 ≤ m ≤ 2

C. - 1 ≤ m ≤ 1

D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có: cos(x- 300) - sin(x+ 600) + sinx = m

⇒ cosx . cos300+ sinx. sin300 - sinx. cos600 - cosx. sin600 + sinx= m

Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm- Toán lớp 11

⇒ sinx= m (*)

Với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ sinx ≤ 1 nên để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm

⇒ - 1 ≤ m ≤ 1

Chọn C.

C. Bài tập vận dụng

Quảng cáo

Câu 1:Cho phương trình: cosx. sinx – 2m– 2sinx+ m.cosx= 0.Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm.

A.0 ≤ m ≤ 1

B. -1 ≤ m ≤ 2

C. - 2 ≤ m ≤ 1

D. -1 ≤ m ≤ 1

Lời giải:

Ta có: cosx.sinx – 2m -2sinx + m. cosx = 0

⇒ (cosx. sinx -2sinx) + ( m. cosx – 2m) = 0

⇒ sinx( cosx- 2) + m( cosx- 2) = 0

⇒ ( sinx + m) . (cosx- 2) = 0

Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm- Toán lớp 11

Để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình sinx= - m có nghiệm

⇒ - 1 ≤ m ≤ 1

Chọn D.

Câu 2:Cho phương trình cos2x+ 4cosx+ m= 0. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm?

A. -7 ≤ m ≤ 1

B. -5 ≤ m ≤ 2

C. – 6 ≤ m ≤ 2

D. - 4 ≤ m ≤ 2

Lời giải:

Ta có: cos2x + 4cosx + m=0

⇒ 2cos2 x – 1+ 4cosx+ m= 0

⇒ 2cos2 x+ 4cosx + 2 + m-3= 0

⇒ 2(cosx+ 1)2 + m- 1= 0

⇒ 2(cosx+1)2 = 1- m

⇒ (cosx+ 1)2 = (1-m)/2 (*)

Với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ cosx ≤ 1 ⇒ 0 ≤ cosx+1 ≤ 2

⇒ 0 ≤ (cosx+1)2 ≤ 4

Do đó để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm

⇒ 0 ≤ (1-m)/2 ≤ 4 ⇒ 0 ≤ 1-m ≤ 8

⇒ - 7 ≤ m ≤ 1

Chọn A.

Câu 3:Cho phương trình cos( x+ y) – cos( x-y) = m. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm.

A. -3 ≤ m ≤ 1

B. -2 ≤ m ≤ 2

C. – 3 ≤ m ≤ 1

D. - 4 ≤ m ≤ 2

Lời giải:

Ta có: cos(x+ y) – cos (x- y) = m

⇔ cosx . cosy – sinx. siny – ( cosx. cosy + sinx. sin y)= m

⇔ -2sinx. sin y = m (*)

Với mọi x; y ta có; - 1 ≤ sin⁡〖x ≤ 1 và-1 ≤ siny ≤ 1

⇒ - 1 ≤ sin⁡〖x.siny ≤ 1 ⇔ - 2 ≤ -2.sinx.siny ≤ 2

Do đó; để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình ( *)có nghiệm

⇔ - 2 ≤ m ≤ 2

Chọn B.

Câu 4:Cho phương trình sin6 x- cos6 x + cos2x= m. Biết rằng khi m thuộc đoạn [a; b] phương trình đã cho có nghiệm. Tính a+ b

A. – 2

B. -1

C. 0

D. 1

Lời giải:

Ta có:sin6 x- cos6 x + cos2x= m

⇒ (sin2 x- cossin2 x) . ( sinsin4 x+ sin2 x. cos2 x+ cossin4x)+ cos2x = m

⇒ - cos2x. [ (sinsin2 x+ cossin2 x)sin2 – sinsin2 x.cossin2 x] + cos2x= m

Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm- Toán lớp 11

Chon C.

Câu 5:Cho phương trình:Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm- Toán lớp 11 , trong đó m là tham số. Để phương trình có nghiệm, các giá trị thích hợp của m là

A.Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm- Toán lớp 11

B.Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm- Toán lớp 11

C.Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm- Toán lớp 11

D.Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm- Toán lớp 11

Lời giải:

Điều kiện: cos2x #0

Ta có: sin6 x+ cos6 x= (sin2 x+ cos2x). (sin4 x- sin2x.cos2x + cos4 x)

= 1. [ (sin2 x+ cos2 x)2 – 3sin2 x.cos2 x] = 1- 3/4 sin2 2x

Khi đó phưởng trình đã cho trở thành:

Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm- Toán lớp 11

Chọn C  

Câu 6:Cho phương trình cos( 900- x)+ sin( 1800- x) + sinx= 3m. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm

A. 3

B. 4

C. 2

D .5

Lời giải:

Ta có: cos( 900- x) + sin( 1800 – x) + sinx= 3m

⇒ sinx + sin x + sinx = 3m

⇒ 3sinx= 3m ⇒ sin x= m (*)

Với mọi x ta luôn có: - 1 ≤ sinx ≤ 1 nên tử (*) suy ra phương trình đã cho có nghiệm

⇒ - 1 ≤ m ≤ 1

⇒ Có ba giá nguyên của m là – 1; 0; 1 để phương trình đã cho có nghiệm.

Chọn A.

Câu 7:Cho phương trình: sin2 x+ (m-1) sinx – m = 0. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình trên có nghiệm.

A.m > 2

B. m < 1

C. 1 < m < 10

D.Phương trình luôn có nghiệm với mọi m

Lời giải:

Ta có; sin2 x+ (m-1)sinx – m= 0

⇒ sin2 x – sinx + m.sinx- m= 0

⇒ sinx(sinx -1) + m.(sinx -1) = 0

⇒ (sinx – 1).(sinx+ m)= 0

Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm- Toán lớp 11

Vì phương trình sinx= 1 có nghiệm là x= π/2+k2π

⇒ Phương trình đã cho luôn nhận x= π/2+k2π làm nghiệm

⇒ Với mọi giá trị của m thì phương trình đã cho luôn có nghiệm

Chọn D.

Câu 8:Cho phương trình sin2x+ 2sin2 x+ 4cos2 x=m. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm?

A. -3√2 ≤ m ≤ 3√2

B. 3- √2 ≤ m ≤ √2+3

C. 2- √2 ≤ m ≤ √2+2

D. -2√2 ≤ m ≤ 2√2

Lời giải:

Ta có: sin2x+ 2sin2 x+ 4cos2 x= m

⇒ sin2x + 2( sin2 x+ cos2 x) + 2cos2 x = m

⇒ sin2x+ 2.1+ cos2x+ 1 = m

⇒ sin2x + cos2x + 3 = m

⇒ sin2x+ cos2x = m – 3

⇒ √2 sin⁡( 2x+ π/4)=m-3

Với mọi x ta luôn có - 1 ≤ sin⁡( 2x+ π/4) ≤ 1

⇒ - √2 ≤ √2 sin⁡(2x+ π/4) ≤ √2

⇒ - √2 ≤ m-3 ≤ √2

⇒ 3- √2 ≤ m ≤ √2+3

Chọn B.

Câu 9:Để phương trình Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm- Toán lớp 11 có nghiệm, tham số m phải thỏa mãn điều kiện:

A. -1 ≤ m < -1/4

B. -2 ≤ m ≤ -1

C.0 ≤ m ≤ 2

D.(- 1)/4 ≤ m ≤ 0

Lời giải:

Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm- Toán lớp 11

Chọn A.

Câu 10:Để phương trình: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm- Toán lớp 11 có nghiệm, tham số a phải thỏa điều kiện:

A.- 1 ≤ a ≤ 0 .

B. - 2 ≤ a ≤ 2.

C. - 1/2 ≤ m ≤ 1/4.

D. - 2 ≤ m ≤ 0

Lời giải:

Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm- Toán lớp 11

Chọn B.

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tìm điều kiện để phương trình 2(sinx + cosx) + m – 2 = 0 có nghiệm.

Bài 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình dưới đây có nghiệm thực?

sin2x – cos2x + sinx+cosx2cos2x+mm=0.

Bài 3. Để phương trình sin6x+cos6xtanx+π4tanxπ4=m

có nghiệm, tham số m phải thỏa mãn điều kiện gì?

Bài 4. Cho phương trình: cosx.sinx – 2m – 2sinx + m.cosx = 0. Tìm điều kiện của m để phương trình đã cho có nghiệm.

Bài 5. Tìm điều kiện cần và đủ của a, b, c để phương trình asinx + bcosx = c có nghiệm.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH LUYỆN THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 11

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi, sách dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


Giải bài tập lớp 11 sách mới các môn học
Tài liệu giáo viên