Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

Bài viết Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx.

Phương trình quy về phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx

A. Phương pháp giải

+ Phương trình bậc nhất đối với sin x và cosx có dạng: a.sinx + b.cosx = c

Trong đó; a,b và c là hằng số.

+ Cách giải phương trình:

• Cách 1.

• Cách 2.

* Chú ý:

+ Cách 2 thường dùng để giải và biện luận.

+ Điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm là a² + b² ≥ c²

+ Bất đẳng thức bunhia xcopski:

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Giải phương trình :

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn A.

Ví dụ 2. Phương trình có các nghiệm là

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn B.

Ví dụ 3. Phương trình có các họ nghiệm là:

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn A.

Ví dụ 4. Phương trình: có các nghiệm là

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn D.

Ví dụ 5. Phương trình có nghiệm là:

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn B

Ví dụ 6. Phương trình có nghiệm là

A.

B.

C.

D. Tất cả sai

Lời giải

Chọn B.

Ví dụ 7: Phương trình: có nghiệm là:

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn B.

Ví dụ 8. Phương trình:có nghiệm là:

A.

B.

C.

D.

Lời giải

Chọn B.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:Phương trình: có các nghiệm là:

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Chọn A.

Câu 2:Phương trình có nghiệm là:

A.

B.

C.

D.Vô nghiệm

Lời giải:

Chọn D.

Câu 3:Giải phương trình

A.

B.

C.Vô nghiệm

D.

Lời giải:

⇒ 2cos2x+ 2sin2x= 2

⇒ cos2x + sin2x= 1

⇒ (cos2x+ sin2x)² = 1

⇒ cos²2x + 2.cos2x. sin2x + sin² 2x= 1

⇒ (cos² 2x+ sin² 2x) + 2.cos2x. sin2x= 1

⇒ 1+ sin4x= 1 ⇒ sin4x= 0 ( loại do không thỏa mãn điều kiện )

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Chọn C.

Câu 4:Giải phương trình: sinx. tanx- 2cosx -2sinx + cosx. tanx =0

A.

B.

C.

D.Tất cả đều sai

Lời giải:

Điều kiện: cosx ≠ 0 hay x ≠ π/2+kπ

Ta có: sinx. tanx – 2cosx – 2sinx + cosx. tanx= 0

⇒ ( sinx. tanx+ cosx. tanx) - 2( cosx+ sinx) = 0

⇒ tanx( sinx+ cosx) – 2( cosx+ sinx) = 0

⇒ ( tanx- 2). ( sinx+ cosx) = 0

+ Nếu tanx= 2 thì x=arctan⁡2+kπ

+ Nếu sinx+ cosx = 0 ⇒ sinx= - cosx

⇒ tanx = - 1 ⇒ x= (- π)/4+kπ

Kết hợp điều kiện; suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho là:

Chọn C.

Câu 5:Giải phương trình :

A.

B

C.

D.

Lời giải:

Chọn B.

Câu 6:Giải phương trình :

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Chọn A.

Câu 7:Giải phương trình : sin2x + 2cos²x + sinx - 3cosx – 2 = 0?

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Ta có: sin2x + 2cos² x+ sinx – 3cosx - 2= 0

⇒ ( sin2x+ sinx) + ( 2cos²s + cosx) – ( 4cosx+2) =0

⇒ (2sinx.cosx+ sinx) + cosx.(2cosx+1) – 2( 2cosx+ 1)= 0

⇒ sinx. (2cosx+ 1) + cosx. (2cosx+1) – 2( 2cosx+ 1)= 0

⇒ (2cosx+1) .( sinx+ cosx – 2)= 0

Câu 8:Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình: - 2sinx -2cosx= 2cos²x – 1?

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Ta có: - 2sinx- 2cosx = 2cos² x- 1

⇒ - 2( sinx- cosx) – ( 2cos² x- 1) = 0

⇒ - 2( sinx –cosx) – cos2x= 0

⇒ - 2( sinx- cosx) – (cosx- sinx).(cosx+ sinx) =0 (vì cos2x= cos² x- sin²x)

⇒ ( sinx – cosx).( -2- cosx- sinx) = 0

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Tìm điều kiện của tham số m để phương trình lượng giác có nghiệm
• Điều kiện để phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có nghiệm
• Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
• Phương trình thuần nhất bậc 2 đối với sinx và cosx
• Phương trình đối xứng, phản đối xứng đối với sinx và cosx
• Phương trình lượng giác đưa về dạng tích
• Phương trình lượng giác không mẫu mực
• Tìm số nghiệm của phương trình lượng giác trong khoảng, đoạn

---