Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác - Toán lớp 11

Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác

A. Phương pháp giải

Để giải phương trình quy về phương trình phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

• Sử dụng các công thức cộng; công thức nhân đôi; công thức biến đổi tổng thành tích; tích thành tổng. ..để đưa phương trình đã cho về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

• Sử dụng cách giải phương trình phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác. Từ đó;suy ra nghiệm của phương trình đã cho.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Giải phương trình: cosx = 3 - sin2 x

A. π+k2π

B. k2π

C. kπ

D. π/2+ k2π

Lời giải

Ta có: cosx = 3- sin2 x

⇒ 3- sin2 x – cosx= 0

⇒ 3- (1- cos2 x ) – cosx= 0

⇒ cos2 x- cosx + 2= 0

Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Với cosx= -1 thì x= π+k2π

Chọn A.

Ví dụ 2. Giải phương trình : sin2 x+ 2sin2 2x – 6sinx. cosx+ cos2x = 0

A.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

B.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

C.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

D.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Lời giải

Ta có: sin2x+ 2sin2 2x – 6sinx. cosx+ cos2x = 0

⇒ 2sin22x -6sinx.cosx + (sin2 x+ cos2x ) = 0

⇒ 2sin2 2x – 3sin2x +1= 0

Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Chọn A.

Ví dụ 3. Giải phương trình: 2cos2 x+ 5sin2x+ 5sinx= 0

A.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

B.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

C.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có: 2cos2 x+ 5sin2 x+ 5sinx=0

⇒ 2( cos2 x+ sin2 x) + 3sin2x+ 5sinx = 0

⇒ 2+ 3sin2 x+ 5sinx= 0

Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Chọn D.

Ví dụ 4. Các họ nghiệm của phương trình cos2x- sinx= 0 là

A.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

B.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

C.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

D.Đáp án khác

Lời giải

Ta có: cos2x- sinx=0

⇒ 1- 2sin2 x – sinx= 0

Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Chọn A.

Ví dụ 5. Họ nghiệm của phương trình – cos22x – 2sin2x + 2= 0 là :

A.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

B.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

C.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

D.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Lời giải

Ta có: - cos2 2x – 2sin2x+ 2 = 0

⇒ sin2 2x- 1- 2sin2x + 2= 0

⇒ sin2 2x – 2sin2x +1=0

⇒ sin2x= 1

⇒ 2x= π/2+k2π ⇒ x= π/4+kπ

Chọn B.

Ví dụ 6: Một họ nghiệm của phương trình cos22x + sin2x- 1= 0 là

A.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

B.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

C.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

D.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Lời giải

Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Chọn D.

Ví dụ 7. Giải phương trình lượng giác 4sin4x +12cos2 x – 7= 0 có nghiệm là:

A.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

B.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

C.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

D.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Lời giải

Ta có: 4sin2x +12cos2 x – 7= 0

⇒ 4sin2 x + 12(1-sin2 x) – 7 = 0

⇒ 4sin2 x – 12sin2x + 5= 0 .

Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Chọn B.

Ví dụ 8: Phương trình cos2(x+ π/3)+4 cos⁡(π/6-x)= 5/2 có nghiệm là:

A.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

B.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

C.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

D.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Lời giải

Ta có:

Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Chọn A.

Ví dụ 9. Phương trình cos2x - 10cosx + 13= 0 có nghiệm là:

A. x= π/2+k2π

B.Ø .

C. x = ±arccos 2 + k2π.

D. x = ±arccos 3 + k2π.

Lời giải

Ta có: cos2x- 10cosx + 13= 0

⇒ 2cos2 x – 1- 10cosx + 13= 0

⇒ 2cos2 x – 10cosx + 12= 0

Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

⇒ Phương trình đã cho vô nghiệm.

Chọn B.

Ví dụ 10: Phương trình sin22x- 2cos2 x+ 3/4=0 có nghiệm là

A.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

B.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

C.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

D.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Lời giải

Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Chọn A.

Ví dụ 11: Họ nghiệm của phương trình 3cos 4x + 2cos2x- 5= 0 là

A.k2π

B. π/3+ k2π.

C.kπ

D. π/3+ k2π.

Lời giải

Ta có: 3cos4x + 2cos2x – 5 = 0

Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Với cos2x= 1 thì 2x= k2π ⇒ x= k.π

Chọn C.

Ví dụ 12. Giải phương trình:Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11 .

A.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

B.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

C.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

D. Đáp án khác

Lời giải

Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:Câu 1: Phương trình sin2 x+ sin2 2x = 1 có nghiệm là:

A.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

B.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

C.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

D. Vô nghiệm.

Ta có: sin2 x+ sin2 2x = 1

Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Câu 2:Phương trình tanx + 3cotx = 4 có nghiệm là:

A.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

B.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

C.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

D.Đáp án khác

Điều kiện: x ≠ kπ

Ta có: tanx+ 3cotx = 4

Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Chọn C.

Câu 3:Phương trình Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11 có mấy họ nghiệm :

A. 0

B.1

C. 2

D. 3

Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Vậy phương trình đã cho có hai họ nghiệm.

Chọn C.

Câu 4:Phương trình 2√2 ( sinx+cosx).cosx=3+cos2x có nghiệm là:

A.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

B.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

C.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

D. Vô nghiệm.

Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

(vì cosx = 0 không là nghiệm của phương trình nên ta chia cả hai vế của phương trình cho cos2 x)

Phương trình vô nghiệm.

Chọn D.

Câu 5:Giải phương trình Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

A.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

B.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

C.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

D.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Chọn A.

Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Câu 6:Phương trình:Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11 có các nghiệm là

A.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

B.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

C.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

D.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Chọn C

Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Câu 7:Phương trình cos2x + sin2 x+ 2cosx + 1= 0 có nghiệm là

A.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

B.π+k2π

C.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

D.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Chọn B

Ta có: cos2x + sin2 x+ 2cosx + 1= 0

⇒ 2 cos2 x- 1+ 1- cos2 x+ 2cosx+1= 0

⇒ cos2x + 2cosx+1 =0 ⇒ cosx=-1 ⇒ x= π+k2π, k nguyên.

Câu 8:Phương trình:Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11 có nghiệm là:

A.k2π , k nguyên .

B.k3π , k nguyên .

C.k4π , k nguyên .

D.π/4 + kπ , k nguyên .

Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Chọn D.

Câu 9:Giải phương trình sin3x+ cos2x= 1+ 2sinx.cos2x

A.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

B.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

C.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

D. Đáp án khác

Chọn B.

Phương trình sin3x+ cos2x = 1+ 2sinx.cos2x

⇒ sin3x +cos2x = 1+ sin3x + sin(-x)

⇒ cos2x–1-sin(-x) = 0

⇒ 1- 2sin2 x- 1 + sinx= 0

Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Câu 10:Số họ nghiệm của phương trình cos5x+ cos2x+2sin3x.sin2x=0 là

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Ta có: cos5x+ cos2x + 2sin3x. sin2x= 0

⇒ cos 5x+ cos 2x – cos 5x+ cosx= 0

⇒ cos2x + cosx= 0

⇒ 2cos2 x- 1+ cosx= 0

Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Vậy phương trình đã cho có 3 họ nghiệm.

Chọn C

Câu 11:Tìm nghiệm của phương trình Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

A.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

B.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

C.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

D. Đáp án khác

Chọn A

Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Câu 12:Nghiệm phương trình Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

A.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

B.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

C.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

D.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Chọn D.

Câu 13:Cho phương trình cos5x.cosx= cos4x.cos2x + 3cos2 x+ 1. Các nghiệm thuộc khoảng của phương trình là:

A.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

B.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

C.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

D.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Ta có: cos 5x.cosx= cos4x. cos2x + 3cos2 x+ 1

Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Vậy các nghiệm thuộc khoảng (-π;π) của phương trình là x= -π/2; x= π/2

Chọn D

Câu 14:Phương trình: Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11 có nghiệm là:

A.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

B.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

C.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

D.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Chọn B.

Câu 15: Phương trình: Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11 có nghiệm là:

A.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

B.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

C.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

D.Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Chọn B.

Phương trình quy về phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác | Toán lớp 11

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, soạn văn, văn mẫu.... Tải App để chúng tôi phục vụ tốt hơn.

Tải App cho Android hoặc Tải App cho iPhone

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 11 Đại số, Giải tích và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số, Giải tích 11 và Hình học 11.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.