Cách tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần cực hay



Cách tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần cực hay

Bài giảng: Cách tìm nguyên hàm, tích phân bằng phương pháp từng phần - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Quảng cáo

Với bài toán tìm nguyên hàm của các hàm số dạng tích (hoặc thương) của hai hàm số “khác lớp hàm” ta thường sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần theo công thức

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Dưới đây là một số trường hợp thường gặp như thế (với P(x) là một đa thức theo ẩn x)

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Ví dụ minh họa

Bài 1: Tìm họ nguyên hàm của hàm số

a) ∫xsinxdx

b) ∫ex sinx dx

Hướng dẫn:

a) Xét ∫xsinxdx

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có

F(x) = ∫xsinxdx = -xcosx+∫cosxdx = -xcosx+sinx+C

b) Xét F(x) = ∫ex sinx dx

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

F(x) = ex sinx-∫ex cosx dx = ex sinx-G(x) (1)

Với G(x) = ∫ex cosx dx

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

G(x) = ex cosx+∫ex sinx dx+C'=ex cosx+F(x)+C' (2)

Từ (1) và (2) ta có F(x) = ex sinx-ex cosx - F(x) - C'

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Ghi nhớ: Gặp ∫emx+n.sin(ax+b)dx hoặc ∫emx+n.cos(ax+b)dx ta luôn thực hiện phương pháp nguyên hàm từng phần 2 lần liên tiếp.

Quảng cáo

Bài 2: Tìm họ nguyên hàm của hàm số

a) ∫x.2x dx

b) ∫(x2-1) ex dx

Hướng dẫn:

a) Xét ∫x.2x dx

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

b)

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Suy ra ∫f(x)dx = (x2-1) ex - ∫2x.ex dx

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Suy ra ∫f(x)dx = (x2-1) ex - ∫2x.ex dx = (x2-1) ex-(2x.ex - ∫2.ex dx)

= (x2-1) ex - 2x.ex + 2.ex+C = (x-1)2 ex + C.

Bài 3: Tìm họ nguyên hàm của hàm số

a) ∫2xln(x-1)dx

b) Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Hướng dẫn:

a) Xét ∫2xln(x-1)dx

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

b)

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tìm họ nguyên hàm của hàm số ∫(1-x)cosxdx

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

⇒ ∫(1-x)cosxdx = (1-x)sinx+∫sinxdx = (1-x)sinx-cosx+C.

Quảng cáo

Bài 2: Tìm họ nguyên hàm của hàm số y = xsin2x

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Bài 3: Tìm họ nguyên hàm của hàm số ∫x2cosx dx

F(x) = ∫x2cosx dx.

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

F(x) = x2sinx - ∫2xsinxdx

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

F(x) = x2sinx - (-2xcosx+∫2cosxdx) = x2sinx+2xcosx-2sinx+C

Bài 4: Tìm họ nguyên hàm của hàm số ∫lnxdx

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Ta có ∫lnxdx = xlnx-∫dx = xlnx - x + C

Bài 5: Tìm họ nguyên hàm của hàm số

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải
Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Bài 6: Tìm họ nguyên hàm của hàm số ∫(x+2) e2xdx

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Bài 7: Tìm họ nguyên hàm của hàm số ∫(4x-1)ln(x+1) dx

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Bài 8: Tìm họ nguyên hàm của hàm số ∫x2sin(1-3x)dx

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Bài giảng: Cách làm bài tập nguyên hàm và phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số cực nhanh - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

CHỈ CÒN 250K 1 KHÓA HỌC BẤT KÌ, VIETJACK HỖ TRỢ DỊCH COVID

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com

Tổng đài hỗ trợ đăng ký khóa học: 084 283 45 85


nguyen-ham-tich-phan-va-ung-dung.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác