Cách tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần (cực hay)

---

---

Bài viết Cách tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần.

Cách tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần (cực hay)

Bài giảng: Cách tìm nguyên hàm, tích phân bằng phương pháp từng phần - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Với bài toán tìm nguyên hàm của các hàm số dạng tích (hoặc thương) của hai hàm số “khác lớp hàm” ta thường sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần theo công thức

Dưới đây là một số trường hợp thường gặp như thế (với P(x) là một đa thức theo ẩn x)

Ví dụ minh họa

Bài 1: Tìm họ nguyên hàm của hàm số

a) ∫xsinxdx

b) ∫e^x sinx dx

Lời giải:

a) Xét ∫xsinxdx

Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có

F(x) = ∫xsinxdx = -xcosx+∫cosxdx = -xcosx+sinx+C

b) Xét F(x) = ∫e^x sinx dx

F(x) = e^x sinx-∫e^x cosx dx = e^x sinx-G(x) (1)

Với G(x) = ∫e^x cosx dx

G(x) = e^x cosx+∫e^x sinx dx+C'=e^x cosx+F(x)+C' (2)

Từ (1) và (2) ta có F(x) = e^x sinx-e^x cosx - F(x) - C'

Ghi nhớ: Gặp ∫e^mx+n.sin(ax+b)dx hoặc ∫e^mx+n.cos(ax+b)dx ta luôn thực hiện phương pháp nguyên hàm từng phần 2 lần liên tiếp.

Bài 2: Tìm họ nguyên hàm của hàm số

a) ∫x.2^x dx

b) ∫(x²-1) e^x dx

Lời giải:

a) Xét ∫x.2^x dx

b)

Suy ra ∫f(x)dx = (x²-1) e^x - ∫2x.e^x dx

Suy ra ∫f(x)dx = (x²-1) e^x - ∫2x.e^x dx = (x²-1) e^x-(2x.e^x - ∫2.e^x dx)

= (x²-1) e^x - 2x.e^x + 2.e^x+C = (x-1)² e^x + C.

Bài 3: Tìm họ nguyên hàm của hàm số

a) ∫2xln(x-1)dx

b)

Lời giải:

a) Xét ∫2xln(x-1)dx

b)

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tìm họ nguyên hàm của hàm số ∫(1-x)cosxdx

Lời giải:

⇒ ∫(1-x)cosxdx = (1-x)sinx+∫sinxdx = (1-x)sinx-cosx+C.

Bài 2: Tìm họ nguyên hàm của hàm số y = xsin2x

Lời giải:

Bài 3: Tìm họ nguyên hàm của hàm số ∫x²cosx dx

Lời giải:

F(x) = ∫x²cosx dx.

F(x) = x²sinx - ∫2xsinxdx

F(x) = x²sinx - (-2xcosx+∫2cosxdx) = x²sinx+2xcosx-2sinx+C

Bài 4: Tìm họ nguyên hàm của hàm số ∫lnxdx

Lời giải:

Ta có ∫lnxdx = xlnx-∫dx = xlnx - x + C

Bài 5: Tìm họ nguyên hàm của hàm số

Lời giải:

Bài 6: Tìm họ nguyên hàm của hàm số ∫(x+2) e^2xdx

Lời giải:

Bài 7: Tìm họ nguyên hàm của hàm số ∫(4x-1)ln(x+1) dx

Lời giải:

Bài 8: Tìm họ nguyên hàm của hàm số ∫x²sin(1-3x)dx

Lời giải:

Bài giảng: Cách làm bài tập nguyên hàm và phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số cực nhanh - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Dạng 1: Tìm nguyên hàm của hàm số
• Trắc nghiệm tìm nguyên hàm của hàm số
• Dạng 2: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số
• Trắc nghiệm tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số
• Dạng 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần
• Dạng 4: Tìm nguyên hàm của hàm số hữu tỉ
• Trắc nghiệm tìm nguyên hàm của hàm số hữu tỉ
• Dạng 5: Tìm nguyên hàm thỏa mãn điều kiện cho trước
• Trắc nghiệm tìm nguyên hàm thỏa mãn điều kiện cho trước

---

---

---