Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần - Toán lớp 12



Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Với bài toán tìm nguyên hàm của các hàm số dạng tích (hoặc thương) của hai hàm số “khác lớp hàm” ta thường sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần theo công thức

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Dưới đây là một số trường hợp thường gặp như thế (với P(x) là một đa thức theo ẩn x)

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ví dụ minh họa

Bài 1: Tìm họ nguyên hàm của hàm số

a) ∫xsinxdx

b) ∫ex sinx dx

Hướng dẫn:

a) Xét ∫xsinxdx

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có

F(x) = ∫xsinxdx = -xcosx+∫cosxdx = -xcosx+sinx+C

b) Xét F(x) = ∫ex sinx dx

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

F(x) = ex sinx-∫ex cosx dx = ex sinx-G(x) (1)

Với G(x) = ∫ex cosx dx

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

G(x) = ex cosx+∫ex sinx dx+C'=ex cosx+F(x)+C' (2)

Từ (1) và (2) ta có F(x) = ex sinx-ex cosx - F(x) - C'

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ghi nhớ: Gặp ∫emx+n.sin(ax+b)dx hoặc ∫emx+n.cos(ax+b)dx ta luôn thực hiện phương pháp nguyên hàm từng phần 2 lần liên tiếp.

Bài 2: Tìm họ nguyên hàm của hàm số

a) ∫x.2x dx

b) ∫(x2-1) ex dx

Hướng dẫn:

a) Xét ∫x.2x dx

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

b)

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Suy ra ∫f(x)dx = (x2-1) ex - ∫2x.ex dx

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Suy ra ∫f(x)dx = (x2-1) ex - ∫2x.ex dx = (x2-1) ex-(2x.ex - ∫2.ex dx)

= (x2-1) ex - 2x.ex + 2.ex+C = (x-1)2 ex + C.

Bài 3: Tìm họ nguyên hàm của hàm số

a) ∫2xln(x-1)dx

b) Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Hướng dẫn:

a) Xét ∫2xln(x-1)dx

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

b)

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tìm họ nguyên hàm của hàm số ∫(1-x)cosxdx

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇒ ∫(1-x)cosxdx = (1-x)sinx+∫sinxdx = (1-x)sinx-cosx+C.

Bài 2: Tìm họ nguyên hàm của hàm số y = xsin2x

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 3: Tìm họ nguyên hàm của hàm số ∫x2cosx dx

F(x) = ∫x2cosx dx.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

F(x) = x2sinx - ∫2xsinxdx

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

F(x) = x2sinx - (-2xcosx+∫2cosxdx) = x2sinx+2xcosx-2sinx+C

Bài 4: Tìm họ nguyên hàm của hàm số ∫lnxdx

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ta có ∫lnxdx = xlnx-∫dx = xlnx - x + C

Bài 5: Tìm họ nguyên hàm của hàm số

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án
Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 6: Tìm họ nguyên hàm của hàm số ∫(x+2) e2xdx

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 7: Tìm họ nguyên hàm của hàm số ∫(4x-1)ln(x+1) dx

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 8: Tìm họ nguyên hàm của hàm số ∫x2sin(1-3x)dx

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, soạn văn, văn mẫu.... Tải App để chúng tôi phục vụ tốt hơn.

Tải App cho Android hoặc Tải App cho iPhone

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 12 Đại số, Giải tích và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Giải tích 12 và Hình học 12.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


nguyen-ham-tich-phan-va-ung-dung.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác