Cách tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần (cực hay)
Bài viết Cách tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần.
Cách tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần (cực hay)
Bài giảng: Cách tìm nguyên hàm, tích phân bằng phương pháp từng phần - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)
A. Phương pháp giải & Ví dụ
Với bài toán tìm nguyên hàm của các hàm số dạng tích (hoặc thương) của hai hàm số “khác lớp hàm” ta thường sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần theo công thức
Dưới đây là một số trường hợp thường gặp như thế (với P(x) là một đa thức theo ẩn x)
Ví dụ minh họa
Bài 1: Tìm họ nguyên hàm của hàm số
a) ∫xsinxdx
b) ∫ex sinx dx
Lời giải:
a) Xét ∫xsinxdx
Theo công thức tính nguyên hàm từng phần, ta có
F(x) = ∫xsinxdx = -xcosx+∫cosxdx = -xcosx+sinx+C
b) Xét F(x) = ∫ex sinx dx
F(x) = ex sinx-∫ex cosx dx = ex sinx-G(x) (1)
Với G(x) = ∫ex cosx dx
G(x) = ex cosx+∫ex sinx dx+C'=ex cosx+F(x)+C' (2)
Từ (1) và (2) ta có F(x) = ex sinx-ex cosx - F(x) - C'
Ghi nhớ: Gặp ∫emx+n.sin(ax+b)dx hoặc ∫emx+n.cos(ax+b)dx ta luôn thực hiện phương pháp nguyên hàm từng phần 2 lần liên tiếp.
Bài 2: Tìm họ nguyên hàm của hàm số
a) ∫x.2x dx
b) ∫(x2-1) ex dx
Lời giải:
a) Xét ∫x.2x dx
b)
Suy ra ∫f(x)dx = (x2-1) ex - ∫2x.ex dx
Suy ra ∫f(x)dx = (x2-1) ex - ∫2x.ex dx = (x2-1) ex-(2x.ex - ∫2.ex dx)
= (x2-1) ex - 2x.ex + 2.ex+C = (x-1)2 ex + C.
Bài 3: Tìm họ nguyên hàm của hàm số
a) ∫2xln(x-1)dx
b)
Lời giải:
a) Xét ∫2xln(x-1)dx
b)
B. Bài tập vận dụng
Bài 1: Tìm họ nguyên hàm của hàm số ∫(1-x)cosxdx
Lời giải:
⇒ ∫(1-x)cosxdx = (1-x)sinx+∫sinxdx = (1-x)sinx-cosx+C.
Bài 2: Tìm họ nguyên hàm của hàm số y = xsin2x
Lời giải:
Bài 3: Tìm họ nguyên hàm của hàm số ∫x2cosx dx
Lời giải:
F(x) = ∫x2cosx dx.
F(x) = x2sinx - ∫2xsinxdx
F(x) = x2sinx - (-2xcosx+∫2cosxdx) = x2sinx+2xcosx-2sinx+C
Bài 4: Tìm họ nguyên hàm của hàm số ∫lnxdx
Lời giải:
Ta có ∫lnxdx = xlnx-∫dx = xlnx - x + C
Bài 5: Tìm họ nguyên hàm của hàm số
Lời giải:
Bài 6: Tìm họ nguyên hàm của hàm số ∫(x+2) e2xdx
Lời giải:
Bài 7: Tìm họ nguyên hàm của hàm số ∫(4x-1)ln(x+1) dx
Lời giải:
Bài 8: Tìm họ nguyên hàm của hàm số ∫x2sin(1-3x)dx
Lời giải:
Bài giảng: Cách làm bài tập nguyên hàm và phương pháp tìm nguyên hàm của hàm số cực nhanh - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
- Dạng 1: Tìm nguyên hàm của hàm số
- Trắc nghiệm tìm nguyên hàm của hàm số
- Dạng 2: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số
- Trắc nghiệm tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số
- Dạng 3: Tìm nguyên hàm bằng phương pháp từng phần
- Dạng 4: Tìm nguyên hàm của hàm số hữu tỉ
- Trắc nghiệm tìm nguyên hàm của hàm số hữu tỉ
- Dạng 5: Tìm nguyên hàm thỏa mãn điều kiện cho trước
- Trắc nghiệm tìm nguyên hàm thỏa mãn điều kiện cho trước
Sách VietJack thi THPT quốc gia 2024 cho học sinh 2k6:
Săn shopee siêu SALE :
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti's ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
- Soạn Văn 12
- Soạn Văn 12 (bản ngắn nhất)
- Văn mẫu lớp 12
- Giải bài tập Toán 12
- Giải BT Toán 12 nâng cao (250 bài)
- Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 (100 đề)
- Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 (100 đề)
- Giải bài tập Vật lý 12
- Giải BT Vật Lí 12 nâng cao (360 bài)
- Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Vật Lý 12 (có đáp án)
- Bài tập trắc nghiệm Vật Lí 12 (70 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Lí (18 đề)
- Giải bài tập Hóa học 12
- Giải bài tập Hóa học 12 nâng cao
- Bài tập trắc nghiệm Hóa 12 (80 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Hóa (18 đề)
- Giải bài tập Sinh học 12
- Giải bài tập Sinh 12 (ngắn nhất)
- Chuyên đề Sinh học 12
- Đề kiểm tra Sinh 12 (có đáp án)(hay nhất)
- Ôn thi đại học môn Sinh (theo chuyên đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sinh (18 đề)
- Giải bài tập Địa Lí 12
- Giải bài tập Địa Lí 12 (ngắn nhất)
- Giải Tập bản đồ và bài tập thực hành Địa Lí 12
- Bài tập trắc nghiệm Địa Lí 12 (70 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Địa (20 đề)
- Giải bài tập Tiếng anh 12
- Giải bài tập Tiếng anh 12 thí điểm
- Giải bài tập Lịch sử 12
- Giải tập bản đồ Lịch sử 12
- Bài tập trắc nghiệm Lịch Sử 12
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sử (20 đề)
- Giải bài tập Tin học 12
- Giải bài tập GDCD 12
- Giải bài tập GDCD 12 (ngắn nhất)
- Bài tập trắc nghiệm GDCD 12 (37 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn GDCD (20 đề)
- Giải bài tập Công nghệ 12