Bài tập Hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông (chọn lọc, có lời giải)

---

---

Bài viết Hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông.

Bài tập Hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông (chọn lọc, có lời giải)

A. Phương pháp giải

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Khi đó ta có hệ thức sau:

AB² = BH.BC hay c² = ac’

AC² = CH.BC hay b² = ab’

AB.AC = BC.AH hay cb = ah

AH² = BH.CH hay h² = c’b’

$\frac{1}{A{H}^2}=\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{A{C}^2}$ hay $\frac{1}{h^2}=\frac{1}{c^2}+\frac{1}{b^2}$

BC² = AB² + AC² (Định lý Pytago)

- Nếu biết độ dài hai trong sau đoạn thẳng AB, AC, BC, AH, BH, CH thì ta tính luôn được bốn đoạn còn lại khi áp dụng hệ thức.

- Sử dụng các hệ thức một cách hợp lí để chứng minh các hệ thức liên quan đến tam giác vuông theo hướng:

+ Bước 1: Chọn các tam giác vuông thích hợp chứa các đoạn thẳng có trong hệ thức;

+ Bước 2: Tính các đoạn thẳng đó nhờ hệ thức về cạnh và đường cao;

+ Bước 3: Liên kết các giá trị trên để rút ra hệ thức cần chứng minh.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, chiều cao AH và AB = 5; AC = 12. Đặt BC = y, AH = x. Tính x, y.

Hướng dẫn giải:

Tam giác ABC vuông tại A.

Áp dụng định lí Pytago: BC² = AC² + AB² = 12² + 5² = 169.

Suy ra BC = $\sqrt{169}$ = 13

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ta có:

 AB.AC = BC.AH $\Rightarrow AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{5.12}{13}=\frac{60}{13}$

Vậy $AH=x=\frac{60}{13}$; BC = y = 13.

Ví dụ 2: Cho tam giác vuông có các cạnh góc vuông là 7 và 24. Kẻ đường cao ứng với cạnh huyền. Tính độ dài đường cao và các đoạn thẳng mà đường cao đó chia ra trên cạnh huyền.

Hướng dẫn giải:

Giả sử tam giác ABC vuông tại A với AB = 24 và AC = 7.

Kẻ đường cao AD ứng với cạnh huyền

Áp dụng định lí Pytago: BC² = AC² + AB² = 7² + 24² = 625.

Suy ra BC = $\sqrt{625}$ = 25

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ta có:

AC² = CD.BC $\Rightarrow CD=\frac{A{C}^2}{BC}=\frac{7^2}{25}=1,96$

Nên BD = BC – CD = 25 – 1,96 = 23,04.

 Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ta có:

AD² = BD.CD  Suy ra $AD=\sqrt{BC.CD}=\sqrt{23,04.1,96}=6,72.$

C. Bài tập tự luyện

Bài 1: Tính x, y trong mỗi hình sau:

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB : AC = 7 : 24, BC = 625 cm. Tính độ dài hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AC = 20 cm, BH = 9cm. Tính độ dài BC và AH

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB/AC = 20/21 và AH = 420. Tính chu vi tam giác ABC

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH

    Cho biết AC/AB = √2; HC - HB = 2cm.Tính:

    a) Tỉ số HC : HB

    b) Các cạnh của tam giác ABC

Bài 6: Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Trên HB, HC lần lượt lấy các điểm M, N sao cho góc AMC bằng góc ANB bằng 90⁰. Chứng minh rằng AM = AN

Bài 7: Cho tam giác ABC đường cao AH. Vẽ HD ⊥ AB. Tia phân giác của góc AHC cắt AC tại F. Biết AB = 6cm, AC = 8cm, BC = 10 cm. Tính:

    a) Độ dài AH

    b) Chu vi tam giác ADF

Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. Chứng minh rằng

Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A có diện tích S không đổi. Gọi p là chu vi của nó. Tìm giá trị nhỏ nhất của p.

Đáp án và hướng dẫn giải

Bài 1:

    a) x = 4,5 và y = 7,5

    b) Áp dụng hệ thức b² = a.b' ta được: 30² = x(x + 32)

    x² + 32x - 900 = 0 ⇔ (x - 18)(x + 50) = 0

    y² = 18(18 + 18) ⇒ y = 18√2

Bài 2:

    Vẽ AH ⊥ BC

    Ta có: AB² = BH.BC ; AC² = CH.BC

    Ta có:

    ⇒ BH = 49.1 = 49; CH = 576.1 = 576

Bài 3:

    Đặt HC = x. Áp dụng hệ thức AC² = BC.HC

    ⇒ 20² = (9 + x)x

    ⇔ x² + 9x - 400 = 0

    ⇔ (x + 25)(x - 16) = 0

    ⇔ x = -25 (loại); x = 16

    Vậy BC = 16 + 9 = 25 cm

    Ta có: AH² = HB.HC = 9.25 ⇒ AH = 15 (cm)

Bài 4:

    Đặt AB = 20k ⇒ AC = 21k

    Áp dụng định lí Pytago, tính được BC = 29k

    Áp dụng hệ thức AB. AC = AH. BC

    ⇒ 20k.21k = 420.29k ⇒ k = 29

    Do đó: AB = 580; AC = 609; BC = 841

    Khi đó, chu vi của tam giác ABC là 2030

Bài 5:

    a) Ta có: AB² = BH.BC ; AC² = CH.BC

    b) Ta có: HC - HB = 2; CH/BH = 2

    ⇒ HC = 4; HB = 2; BC = 6 (cm)

    Vì AB² = BH.BC nên AB = √2.6 = 2√3 (cm)

    AC² = CH.BC nên AC = √4.6 = 2√6 (cm)

Bài 6:

    Áp dụng hệ thức b² = a.b' vào các tam giác vuông AMC và ANB ta được:

    AM² = AC.AD ; AN² = AE.AB

    ΔABD ~ ΔACE (g.g)

    ⇒ AB/AC = AD/AE ⇒ AC.AD = AE.AB

    ⇒ AM² = AN² hay AM = AN

Bài 7:

    a) Ta có: AB = 6cm; AC = 8cm; BC = 10cm

    Vì 6² + 8² = 100 = 10²

    Nên AB² + AC² = BC²

    Áp dụng định lý đảo của định lý Py - ta - go

    Suy ra tam giác ABC vuông tại A

    Ta có: AB. AC = AH. BC

    b) Xét tam giác ABH vuông tại H, có:

    AH² = AB.AD

    Xét tam giác ABC vuông tại A có:

    AC² = BC.HC

    Xét tam giác AHC có HF là đường phân giác nên

    Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ADF vuông tại A có:

    Vậy chu vi tam giác ADF là:

    3,84 + 24/7 + 5,15 = 12,4 (cm)

Bài 8:

    ΔABC vuông tại A, AH là đường cao nên AH² = HB.HC

    ⇔ AH⁴ = HB².HC²

    Lại có: HB² = AB.BD; HC² = AC.CE

    ⇔ AH⁴ = AB.BD.AC.CE

    Nhưng AB. AC = AH. BC nên AH⁴ = AH.BC.BD.CE

    Do đó: AH³ = BC.BD.CE

    Vì AH² = HB.HC nên

Bài 9:

    Gọi độ dài hai cạnh góc vuông là x và y

    ⇒ độ dài cạnh huyền là

    Ta có:

    Mặt khác:

    Do đó:

    Vậy minp = 2√S (√2 + 1) khi ∆ABC vuông cân.

D. Bài tập tự luyện (không có lời giải)

Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH, biết rằng AH = 10 cm và BH = 8 cm.

a) Tính tỉ số $\frac{BH}{CH}$;

b) Tính diện tích tam giác ABC.

Bài 2. Cho ABCD là hình thang vuông tại A và D. Đường chéo BD ⊥ BC. Biết rằng AD = 12 cm, DC = 25 cm. Tính độ dài các đoạn thẳng AB, BC và BD.

Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Độ dài các đoạn thẳng BH = 4cm, CH = 9cm. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H lên các cạnh AB, AC.

a) Tính độ dài đoạn thẳng DE;

b) Các đường thẳng vuông góc với DE tại D, E lần lượt cắt BC tại M, N. Chứng minh;

c) Tính diện tích tứ giác DENM.

Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H lên các cạnh AB, AC. Chứng minh

a) $\frac{A{C}^2}{A{C}^2}=\frac{BH}{CH}$;

b) $\frac{A{C}^3}{A{C}^3}=\frac{MB}{NC}$;

c) MN³ = BM.CN.BC;

d) $\sqrt[3]{B{C}^2}=\sqrt[3]{B{D}^2}+\sqrt[3]{C{E}^2}$.

Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại C có đường cao CK.

a) Biết AB = 10cm, AC = 8cm. Hãy tính BC, CK, BK, AK;

b) Gọi H và I theo thứ tự là hình chiếu của K lên BC và AC. Chứng minh BC.CH = AC.IC;

c) Gọi M là chân đường vuông góc kẻ từ K xuống IH. Chứng minh $\frac{1}{M{K}^2}=\frac{1}{C{H}^2}+\frac{1}{C{I}^2}$;

d) Chứng minh $\frac{AI}{BH}=\frac{A{C}^3}{B{C}^3}$.

Chuyên đề Toán 9: đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

• Lý thuyết Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
• Chủ đề: Hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông
• Chủ đề: Tỉ số lượng giác của góc nhọn
• Bài tập Tỉ số lượng giác của góc nhọn
• Chủ đề: Hệ thức về góc và cạnh trong tam giác vuông
• Bài tập Hệ thức về góc và cạnh trong tam giác vuông
• Chủ đề: Cách tính diện tích tam giác bằng tỉ số lượng giác
• Bài tập tính diện tích tam giác bằng tỉ số lượng giác
• Bài tập trắc nghiệm Toán 9 Hệ thức lượng trong tam giác vuông (phần 1 - có đáp án)
• Bài tập trắc nghiệm Toán 9 Hệ thức lượng trong tam giác vuông (phần 2 - có đáp án)

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---

---

---