Bài tập Hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông (chọn lọc, có lời giải)
Bài viết Hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông.
Bài tập Hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông (chọn lọc, có lời giải)
A. Phương pháp giải
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Khi đó ta có hệ thức sau:
AB2 = BH.BC hay c2 = ac’
AC2 = CH.BC hay b2 = ab’
AB.AC = BC.AH hay cb = ah
AH2 = BH.CH hay h2 = c’b’
hay
BC2 = AB2 + AC2 (Định lý Pytago)
- Nếu biết độ dài hai trong sau đoạn thẳng AB, AC, BC, AH, BH, CH thì ta tính luôn được bốn đoạn còn lại khi áp dụng hệ thức.
- Sử dụng các hệ thức một cách hợp lí để chứng minh các hệ thức liên quan đến tam giác vuông theo hướng:
+ Bước 1: Chọn các tam giác vuông thích hợp chứa các đoạn thẳng có trong hệ thức;
+ Bước 2: Tính các đoạn thẳng đó nhờ hệ thức về cạnh và đường cao;
+ Bước 3: Liên kết các giá trị trên để rút ra hệ thức cần chứng minh.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, chiều cao AH và AB = 5; AC = 12. Đặt BC = y, AH = x. Tính x, y.
Hướng dẫn giải:
Tam giác ABC vuông tại A.
Áp dụng định lí Pytago: BC2 = AC2 + AB2 = 122 + 52 = 169.
Suy ra BC = = 13
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ta có:
AB.AC = BC.AH
Vậy ; BC = y = 13.
Ví dụ 2: Cho tam giác vuông có các cạnh góc vuông là 7 và 24. Kẻ đường cao ứng với cạnh huyền. Tính độ dài đường cao và các đoạn thẳng mà đường cao đó chia ra trên cạnh huyền.
Hướng dẫn giải:
Giả sử tam giác ABC vuông tại A với AB = 24 và AC = 7.
Kẻ đường cao AD ứng với cạnh huyền
Áp dụng định lí Pytago: BC2 = AC2 + AB2 = 72 + 242 = 625.
Suy ra BC = = 25
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ta có:
AC2 = CD.BC
Nên BD = BC – CD = 25 – 1,96 = 23,04.
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao trong tam giác vuông, ta có:
AD2 = BD.CD Suy ra
C. Bài tập tự luyện
Bài 1: Tính x, y trong mỗi hình sau:
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB : AC = 7 : 24, BC = 625 cm. Tính độ dài hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AC = 20 cm, BH = 9cm. Tính độ dài BC và AH
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB/AC = 20/21 và AH = 420. Tính chu vi tam giác ABC
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH
Cho biết AC/AB = √2; HC - HB = 2cm.Tính:
a) Tỉ số HC : HB
b) Các cạnh của tam giác ABC
Bài 6: Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Trên HB, HC lần lượt lấy các điểm M, N sao cho góc AMC bằng góc ANB bằng 900. Chứng minh rằng AM = AN
Bài 7: Cho tam giác ABC đường cao AH. Vẽ HD ⊥ AB. Tia phân giác của góc AHC cắt AC tại F. Biết AB = 6cm, AC = 8cm, BC = 10 cm. Tính:
a) Độ dài AH
b) Chu vi tam giác ADF
Bài 8: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC. Chứng minh rằng
Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A có diện tích S không đổi. Gọi p là chu vi của nó. Tìm giá trị nhỏ nhất của p.
Đáp án và hướng dẫn giải
Bài 1:
a) x = 4,5 và y = 7,5
b) Áp dụng hệ thức b2 = a.b' ta được: 302 = x(x + 32)
x2 + 32x - 900 = 0 ⇔ (x - 18)(x + 50) = 0
y2 = 18(18 + 18) ⇒ y = 18√2
Bài 2:
Vẽ AH ⊥ BC
Ta có: AB2 = BH.BC ; AC2 = CH.BC
Ta có:
⇒ BH = 49.1 = 49; CH = 576.1 = 576
Bài 3:
Đặt HC = x. Áp dụng hệ thức AC2 = BC.HC
⇒ 202 = (9 + x)x
⇔ x2 + 9x - 400 = 0
⇔ (x + 25)(x - 16) = 0
⇔ x = -25 (loại); x = 16
Vậy BC = 16 + 9 = 25 cm
Ta có: AH2 = HB.HC = 9.25 ⇒ AH = 15 (cm)
Bài 4:
Đặt AB = 20k ⇒ AC = 21k
Áp dụng định lí Pytago, tính được BC = 29k
Áp dụng hệ thức AB. AC = AH. BC
⇒ 20k.21k = 420.29k ⇒ k = 29
Do đó: AB = 580; AC = 609; BC = 841
Khi đó, chu vi của tam giác ABC là 2030
Bài 5:
a) Ta có: AB2 = BH.BC ; AC2 = CH.BC
b) Ta có: HC - HB = 2; CH/BH = 2
⇒ HC = 4; HB = 2; BC = 6 (cm)
Vì AB2 = BH.BC nên AB = √2.6 = 2√3 (cm)
AC2 = CH.BC nên AC = √4.6 = 2√6 (cm)
Bài 6:
Áp dụng hệ thức b2 = a.b' vào các tam giác vuông AMC và ANB ta được:
AM2 = AC.AD ; AN2 = AE.AB
ΔABD ~ ΔACE (g.g)
⇒ AB/AC = AD/AE ⇒ AC.AD = AE.AB
⇒ AM2 = AN2 hay AM = AN
Bài 7:
a) Ta có: AB = 6cm; AC = 8cm; BC = 10cm
Vì 62 + 82 = 100 = 102
Nên AB2 + AC2 = BC2
Áp dụng định lý đảo của định lý Py - ta - go
Suy ra tam giác ABC vuông tại A
Ta có: AB. AC = AH. BC
b) Xét tam giác ABH vuông tại H, có:
AH2 = AB.AD
Xét tam giác ABC vuông tại A có:
AC2 = BC.HC
Xét tam giác AHC có HF là đường phân giác nên
Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ADF vuông tại A có:
Vậy chu vi tam giác ADF là:
3,84 + 24/7 + 5,15 = 12,4 (cm)
Bài 8:
ΔABC vuông tại A, AH là đường cao nên AH2 = HB.HC
⇔ AH4 = HB2.HC2
Lại có: HB2 = AB.BD; HC2 = AC.CE
⇔ AH4 = AB.BD.AC.CE
Nhưng AB. AC = AH. BC nên AH4 = AH.BC.BD.CE
Do đó: AH3 = BC.BD.CE
Vì AH2 = HB.HC nên
Bài 9:
Gọi độ dài hai cạnh góc vuông là x và y
⇒ độ dài cạnh huyền là
Ta có:
Mặt khác:
Do đó:
Vậy minp = 2√S (√2 + 1) khi ∆ABC vuông cân.
D. Bài tập tự luyện (không có lời giải)
Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH, biết rằng AH = 10 cm và BH = 8 cm.
a) Tính tỉ số ;
b) Tính diện tích tam giác ABC.
Bài 2. Cho ABCD là hình thang vuông tại A và D. Đường chéo BD ⊥ BC. Biết rằng AD = 12 cm, DC = 25 cm. Tính độ dài các đoạn thẳng AB, BC và BD.
Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Độ dài các đoạn thẳng BH = 4cm, CH = 9cm. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H lên các cạnh AB, AC.
a) Tính độ dài đoạn thẳng DE;
b) Các đường thẳng vuông góc với DE tại D, E lần lượt cắt BC tại M, N. Chứng minh;
c) Tính diện tích tứ giác DENM.
Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của H lên các cạnh AB, AC. Chứng minh
a) ;
b) ;
c) MN3 = BM.CN.BC;
d) .
Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại C có đường cao CK.
a) Biết AB = 10cm, AC = 8cm. Hãy tính BC, CK, BK, AK;
b) Gọi H và I theo thứ tự là hình chiếu của K lên BC và AC. Chứng minh BC.CH = AC.IC;
c) Gọi M là chân đường vuông góc kẻ từ K xuống IH. Chứng minh ;
d) Chứng minh .
Chuyên đề Toán 9: đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:
- Lý thuyết Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
- Chủ đề: Hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông
- Chủ đề: Tỉ số lượng giác của góc nhọn
- Bài tập Tỉ số lượng giác của góc nhọn
- Chủ đề: Hệ thức về góc và cạnh trong tam giác vuông
- Bài tập Hệ thức về góc và cạnh trong tam giác vuông
- Chủ đề: Cách tính diện tích tam giác bằng tỉ số lượng giác
- Bài tập tính diện tích tam giác bằng tỉ số lượng giác
- Bài tập trắc nghiệm Toán 9 Hệ thức lượng trong tam giác vuông (phần 1 - có đáp án)
- Bài tập trắc nghiệm Toán 9 Hệ thức lượng trong tam giác vuông (phần 2 - có đáp án)
Tủ sách VIETJACK shopee luyện thi vào 10 cho 2k9 (2024):
Săn shopee siêu SALE :
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti's ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9.
Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
- Soạn Văn 9
- Soạn Văn 9 (bản ngắn nhất)
- Văn mẫu lớp 9
- Đề kiểm tra Ngữ Văn 9 (có đáp án)
- Giải bài tập Toán 9
- Giải sách bài tập Toán 9
- Đề kiểm tra Toán 9
- Đề thi vào 10 môn Toán
- Chuyên đề Toán 9
- Giải bài tập Vật lý 9
- Giải sách bài tập Vật Lí 9
- Giải bài tập Hóa học 9
- Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Hóa học 9 (có đáp án)
- Giải bài tập Sinh học 9
- Giải Vở bài tập Sinh học 9
- Chuyên đề Sinh học 9
- Giải bài tập Địa Lí 9
- Giải bài tập Địa Lí 9 (ngắn nhất)
- Giải sách bài tập Địa Lí 9
- Giải Tập bản đồ và bài tập thực hành Địa Lí 9
- Giải bài tập Tiếng anh 9
- Giải sách bài tập Tiếng Anh 9
- Giải bài tập Tiếng anh 9 thí điểm
- Giải sách bài tập Tiếng Anh 9 mới
- Giải bài tập Lịch sử 9
- Giải bài tập Lịch sử 9 (ngắn nhất)
- Giải tập bản đồ Lịch sử 9
- Giải Vở bài tập Lịch sử 9
- Giải bài tập GDCD 9
- Giải bài tập GDCD 9 (ngắn nhất)
- Giải sách bài tập GDCD 9
- Giải bài tập Tin học 9
- Giải bài tập Công nghệ 9