Giải bài 4 trang 99 sgk Hình học 12

Ôn tập cuối năm Hình học 12

Bài 4 (trang 99 SGK Hình học 12): Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; –1), B(7; –2; 3) và đường thẳng d có phương trình:

$\{\begin{matrix} x = - 1 + 3 t \\ y = 2 - 2 t \\ z = 2 + 2 t \end{matrix}$

Quảng cáo

a) Chứng minh rằng hai đường thẳng d và AB cùng nằm trong một mặt phẳng.

b) Tìm điểm I trên d sao cho AI + BI nhỏ nhất.

Lời giải:

a) Đường thẳng d có VTCP $\vec{u}$ = (3; -2; 2)

Lại có: $\vec{AB}$ = (6; -4; 4) => $\vec{AB}$ = 2 $\vec{u}$

Lại có: A ∈ AB; A $\notin$ d

Suy ra: AB // d.

Suy ra, hai đường thẳng AB và d cùng nằm trên một mặt phẳng.

b) Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua d.

Giải bài 4 trang 99 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12

Với mọi điểm I thuộc d ta có:

AI + BI = A’I + BI ≥ A’B

Quảng cáo

Do đó, A’I + BI nhỏ nhất bằng A’B. Khi đó: A’I + BI = A’B

Suy ra: A’ ; I; B thẳng hàng.

Suy ra, I là giao điểm của A’B và d.

Gọi M là trung điểm của AB thì M(4; 0; 1).

Suy ra: MI là đường trung bình của tam giác AA’B.

Suy ra: MI // AA’

Suy ra: MI ⊥ d.

Do đó $\vec{MI}$ . $\vec{a}$ = 0 (1) trong đó;

Điểm I thuộc d nên I(– 1 + 3t; 2 – 2t; 2 + 2t);

$\vec{MI}$ = (3t - 5; 2 - 2t; 2t + 1); $\vec{a}$ = (3; -2; 2)

Thay vào (1) ta được:

3.(3t – 5) – 2.(2– 2t) + 2.(2 t + 1) = 0

⇔ 9t – 15 – 4 + 4t + 4t + 2 = 0

⇔ 17t – 17 = 0 nên t = 1.

Khi đó, I(2; 0; 4).

Vậy để AI + BI nhỏ nhất thì I(2; 0; 4).

Quảng cáo

Các bài giải bài tập Hình học 12 Ôn tập cuối năm Hình học 12 khác :

Các bài giải Hình học 12 Chương 3 khác:

Tài liệu cho giáo viên: Giáo án, powerpoint, đề thi giữa kì cuối kì, đánh giá năng lực, thi thử THPT, HSG, chuyên đề, bài tập cuối tuần..... độc quyền VietJack, giá hợp lí

Sách VietJack thi THPT quốc gia 2025 cho học sinh 2k7:

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12

Bộ giáo án, đề thi, bài giảng powerpoint, khóa học dành cho các thầy cô và học sinh lớp 12, đẩy đủ các bộ sách cánh diều, kết nối tri thức, chân trời sáng tạo tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official