Công thức xét tính đồng biến nghịch biến của hàm số (siêu hay)

Công thức xét tính đồng biến nghịch biến của hàm số (siêu hay)

Công thức xét tính đồng biến nghịch biến của hàm số Toán lớp 10 sẽ giúp học sinh nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 10.

Bài viết Công thức xét tính đồng biến nghịch biến của hàm số gồm 4 phần: Lí thuyết tổng hợp, Công thức, Ví dụ minh họa và Bài tập tự luyện có lời giải chi tiết giúp học sinh dễ học, dễ nhớ Công thức xét tính đồng biến nghịch biến của hàm số Toán 10.

                             

I. Lí thuyết tổng hợp.

- Cho K là một khoảng hoặc một đoạn hoặc nửa khoảng, y = f(x) là hàm số xác định trên K. 

+ Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi x thuộc K thì khi x tăng f(x) cùng tăng, khi x giảm f(x) cùng giảm. 

+ Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi x thuộc K thì khi x tăng f(x) giảm, khi x giảm f(x) tăng. 

- Lưu ý.

+ Nếu một hàm số đồng biến trên K thì trên đó, đồ thị của nó đi lên. 

+ Nếu một hàm số nghịch biến trên K thì trên đó, đồ thị của nó đi xuống.

+ Hàm số bậc nhất y = ax + b luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên R. 

II. Các công thức. 

- Cho hàm số y = f(x) xác định trên K. Lấy x₁, x₂ ∈ K và x₁ < x₂ 

Đặt  T = f(x₁) - f(x₂) . Ta có:

T > 0 ⇔ Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K

T < 0 ⇔ Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K

- Cho hàm số y = f(x) xác định trên K. Lấy x₁, x₂ ∈ K và x₁ ≠ x₂

Đặt  . Ta có:

T > 0 ⇔ Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K

T < 0 ⇔ Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K

- Nếu một hàm số đồng biến trên K thì trên đó, đồ thị của nó đi lên. 

- Nếu một hàm số nghịch biến trên K thì trên đó, đồ thị của nó đi xuống.

                                   

III. Ví dụ minh họa. 

Bài 1: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số  trên khoảng (3; +∞) .

Lời giải:

- Điều kiện xác định của hàm số  là: x - 3 ≠ 0 ⇔ x ≠ 3

=> Tập xác định của hàm số y = f(x) là: D = R\{3} 

=> Hàm số  xác định trên khoảng (3; +∞)

- Lấy x₁, x₂ ∈ (3; +∞) và x₁ ≠ x₂. Đặt .

Ta thấy trong khoảng (3; +∞) thì T luôn xác định. 

Với x₁, x₂ ∈ (3; +∞) =>  

=> Hàm số  đồng biến trên khoảng (3; +∞)

Bài 2: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số: y = f(x) = x² - 4 trên khoảng (-∞;0).

Lời giải:

Hàm số y = f(x) = x² - 4 xác định trên R 

=> Hàm số y = f(x) = x² - 4 xác định trên khoảng (-∞;0). 

Lấy x₁, x₂ ∈ (-∞;0) và

Ta có: T = f(x₂) - f(x₁) = (x₂² - 4) - (x₁² - 4) = x₂² - x₁² = (x₂ - x₁)(x₁ + x₂)  (2)

Từ (1) và (2) => T < 0 => Hàm số y = f(x) = x² - 4 nghịch biến trên khoảng (-∞;0) 

Bài 3: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trên khoảng (2; 4) và đoạn [-4; -2]. 

Lời giải:

Ta thấy khi x ∈ (2;4) thì đồ thị của hàm số y = f(x) đi lên 

=> Hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng (2; 4)  

Ta thấy khi x ∈ [-4;-2] thì đồ thị của hàm số y = f(x) đi xuống 

=> Hàm số y = f(x) nghịch biến trên đoạn [-4; -2]

IV. Bài tập tự luyện. 

Bài 1: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f(x) = 4x – 9 trên toàn tập xác định của nó.

Bài 2: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f(x) = x² - 5x + 7 trên các khoảng (-∞;0) và (4;+∞) . 

Xem thêm các Công thức Toán lớp 10 quan trọng hay khác:

• Công thức về mệnh đề và mệnh đề phủ định

• Công thức xét tính chẵn, lẻ của hàm số

• Hàm số y = |x|

• Công thức tọa độ đỉnh của parabol, tọa độ giao điểm của parabol với các trục tọa độ

• Cách vẽ đồ thị Parabol

---