Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Cánh diều)

Với tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 1: Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 11.

Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Cánh diều)

(199k) Xem Khóa học Toán 11 CD

Lý thuyết Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

1. Đạo hàm tại một điểm

1.1. Một số bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm

Bài toán 1. Bài toán tìm vận tốc tức thời

Bài toán 2. Bài toán tìm cường độ tức thời

Nhận xét. Nhiều bài toán trong Vật lí, Hoá học, Sinh học, ... đưa đến việc tìm giới hạn dạng

$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0},$

ở đó y = f(x) là một hàm số đã cho.

Giới hạn trên dẫn đến một khái niệm quan trọng trong Toán học, đó là khái niệm đạo hàm.

1.2. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và điểm $x_0\in \left(a;b\right).$

Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$ thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x₀ và được kí hiệu là $f^{\text{'}}\left(x_0\right)$ hoặc ${y^{\text{'}}}_{x_0}.$

Nhận xét: Trong định nghĩa trên, ta đặt:

$\Delta x=x-x_0$ và gọi ∆x là số gia của biến số tại điểm x₀;

$\Delta y=f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)$ và gọi $\Delta y$ là số gia của hàm số ứng với số gia ∆x tại điểm x₀.

Khi đó, ta có: $f^{\text{'}}\left(x_0\right)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}$$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}.$

1.3. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và điểm x₀ thuộc khoảng đó.

Để tính đạo hàm $f^{\text{'}}\left(x_0\right)$ của hàm số y = f(x) tại x₀, ta lần lượt thực hiện ba bước sau:

Bước 1. Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x₀. Tính $\Delta y=f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right).$

Bước 2. Rút gọn tỉ số $\frac{\Delta y}{\Delta x}.$

Bước 3. Tính $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}.$

Kết luận: Nếu $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=a$thì $f^{\text{'}}\left(x_0\right)=a.$

Ví dụ 1. Tính đạo hàm của hàm số $\frac{1}{x}$ tại điểm x₀ = 2.

Hướng dẫn giải

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x₀ = 2.

Ta có: $\Delta y=f\left(2+\Delta x\right)-f\left(2\right)$$=\frac{1}{2+\Delta x}-\frac{1}{2}=-\frac{\Delta x}{2\left(2+\Delta x\right)}.$

Suy ra $\frac{\Delta y}{\Delta x}=-\frac{1}{2\left(2+\Delta x\right)};$

Ta thấy $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{-1}{2\left(2+\Delta x\right)}=-\frac{1}{4}.$

Vậy $f^{\text{'}}\left(2\right)=-\frac{1}{4}.$

Ví dụ 2. Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x² tại điểm x bất kì bằng định nghĩa.

Hướng dẫn giải

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x.

Ta có: $\Delta y=f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)$$={\left(x+\Delta x\right)}^2-x^2=\Delta x\left(2x+\Delta x\right).$

Suy ra: $\frac{\Delta y}{\Delta x}=2x+\Delta x.$

Ta thấy: $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left(2x+\Delta x\right)=2x.$

Vậy $f^{\text{'}}\left(x\right)=2x.$

Nhận xét. Hàm số f(x) = x² có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng $\left(-\infty ;+\infty \right)$. Ta nói hàm số đó có đạo hàm trên khoảng $\left(-\infty ;+\infty \right)$.

→ Một cách tổng quát: Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó.

1.4. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm

Đạo hàm xuất hiện trong nhiều khái niệm vật lí. Chẳng hạn: Xét chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = s(t), với s = s(t) là một hàm số có đạo hàm. Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t₀ là đạo hàm của hàm số tại t₀: $v\left(t_0\right)=s^{\text{'}}\left(t_0\right).$

2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

• Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x₀ là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm $M_0\left(x_0;f\left(x_0\right)\right).$

• Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm $M_0\left(x_0;f\left(x_0\right)\right)$ là $y=f^{\text{'}}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)+f\left(x_0\right).$

Ví dụ 3. Cho hàm số $y=-x^2+3x-2$có đồ thị (C).

a) Xác định hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 2.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M(2; 0).

Hướng dẫn giải

a) Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 2 có hệ số góc là:

$f^{\text{'}}\left(2\right)=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(2\right)}{x-2}$$=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\left(-x^2+3x-2\right)-\left(-2^2+3\cdot 2-2\right)}{x-2}$$=\underset{x\to 2}{\lim }\left(-x+1\right)=-1.$

b) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M(2; 0) là:

y = −1(x – 2) + 0 hay y = −x + 2.

Bài tập Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Bài 1. Tính đạo hàm của hàm số f(x) = 3x³ – 1 tại điểm x₀ = 1 bằng định nghĩa.

Hướng dẫn giải

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x₀ = 1.

Ta có $\Delta y=f\left(1+\Delta x\right)-f\left(1\right)$$=3{\left(1+\Delta x\right)}^3-1-\left(3\cdot 1^3-1\right)$$=9\Delta x+9{\left(\Delta x\right)}^2+3{\left(\Delta x\right)}^3.$

Suy ra $\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{9\Delta x+9{\left(\Delta x\right)}^2+3{\left(\Delta x\right)}^3}{\Delta x}$$=9+9\Delta x+3{\left(\Delta x\right)}^2;$

Ta thấy $\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }[9+9\Delta x+3{\left(\Delta x\right)}^2]=9.$

Vậy $f^{\text{'}}\left(1\right)=9.$

Bài 2. Chứng minh rằng hàm số f(x) = |x – 2| không có đạo hàm tại điểm x₀ = 2, nhưng có đạo hàm tại mọi điểm x ≠ 2.

Hướng dẫn giải

+ Với x > 2, ta có: f(x) = |x – 2| = x – 2.

Đạo hàm của hàm số f(x) = |x – 2| tại điểm x > 2 là 1.

+ Với x < 2, ta có: f(x) = |x – 2| = 2 – x.

Đạo hàm của hàm số f(x) = |x – 2| tại điểm x < 2 là –1.

+ Ta có f(x) – f(2) = |x – 2| – |2 – 2| = |x – 2|.

Với x ≠ 2, ta có $\frac{f\left(x\right)-f\left(2\right)}{x-2}=\frac{|x-2|}{x-2}.$

Có $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(2\right)}{x-2}=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x-2}{x-2}=1$ và $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(2\right)}{x-2}=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{-\left(x-2\right)}{x-2}=-1.$

Do đó, không tồn tại $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(2\right)}{x-2}.$

Vậy hàm số f(x) = |x – 2| không có đạo hàm tại điểm x₀ = 2, nhưng có đạo hàm tại mọi điểm x ≠ 2.

Bài 3.Một viên đạn được bắn lên cao theo phương trình $s\left(t\right)=196t-4,9t^2$ trong đó t > 0,t tính bằng giây kể từ thời điểm viên đạn được bắn lên cao và s(t) là khoảng cách của viên đạn so với mặt đất được tính bằng mét. Tại thời điểm vận tốc của viên đạn bằng 0 thì viên đạn cách mặt đất bao nhiêu mét?

Hướng dẫn giải

Ta tính được $s^{\text{'}}\left(t\right)=196-9,8t.$

Vận tốc của viên đạn

$v\left(t\right)=s^{\text{'}}\left(t\right)=196-9,8t\Rightarrow v\left(t\right)=0$$\iff 196-9,8t=0\iff t=20.$

Khi đó viên đạn cách mặt đất một khoảng $h=s\left(20\right)=196\cdot 20-4,9\cdot {20}^2$ = 1960 (m).

Bài 4. Cho hàm số $y=\frac{8}{x},x\ne 0$ có đồ thị (C).

a) Xác định hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 2.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M(2; 4).

Hướng dẫn giải

a) Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng 2 có hệ số góc là:

$f^{\text{'}}\left(2\right)=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(2\right)}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\frac{8}{x}-\frac{8}{2}}{x-2}$$=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{4\left(2-x\right)}{\left(x-2\right)x}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{-4}{x}=-2.$

b) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M(2; 4) là:

y = −2(x – 2) + 4 hay y = −2x + 8.

Học tốt Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Các bài học để học tốt Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm Toán lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Bài 1: Định nghĩa đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

(199k) Xem Khóa học Toán 11 CD

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 6

• Lý thuyết Toán 11 Bài 2: Các quy tắc tính đạo hàm

• Lý thuyết Toán 11 Bài 3: Đạo hàm cấp hai

• Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 7

• Lý thuyết Toán 11 Bài 1: Hai đường thẳng vuông góc

• Lý thuyết Toán 11 Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Cánh diều
• Giải SBT Toán 11 Cánh diều
• Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---