Hai đường thẳng vuông góc lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Cánh diều)

Với tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 1: Hai đường thẳng vuông góc sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 11.

Hai đường thẳng vuông góc lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Cánh diều)

(199k) Xem Khóa học Toán 11 CD

Lý thuyết Hai đường thẳng vuông góc

1. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian

Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a' và b' cùng đi qua điểm O và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b. Kí hiệu (a, b) hoặc $\widehat{\left(a,b\right)}$.

Nhận xét:

• Góc giữa hai đường thẳng a, b không phụ thuộc vào vị trí điểm O. Thông thường, khi ta tìm góc giữa hai đường thẳng a, b, ta chọn O thuộc a hoặc chọn O thuộc b.

• Góc giữa hai đường thẳng a, b bằng góc giữa hai đường thẳng b, a tức là (a, b) = (b, a).

• Góc giữa hai đường thẳng không vượt quá 90°.

• Nếu a // b thì (a, c) = (b, c) với mọi đường thẳng c trong không gian.

Ví dụ 1. Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ có tam giác ABC cân tại A và $\widehat{BAC}=120°$. Các điểm M, N lần lượt thuộc hai đoạn thẳng AA' và BB' thoả mãn MN // AB, các điểm P, Q lần lượt thuộc hai đoạn thẳng AA' và CC' (P khác M) thoả mãn PQ // AC. Tính các góc sau:

a) (AB, AC);

b) (AB, B'C');

c) (MN, PQ).

Hướng dẫn giải

a) Trong mặt phẳng (ABC), vì $\widehat{BAC}=120°$ nên $(AB,AC)=180°-120°=60°.$

b) Vì tam giác ABC cân tại A nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=\frac{180°-\widehat{BAC}}{2}$$=\frac{180°-120°}{2}=30°.$

Ta có BC // B'C'nên $\left(AB,B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\right)=\left(AB,BC\right)=\widehat{ABC}=30°.$

c) Vì MN // AB, PQ // AC nên $\left(MN,PQ\right)=\left(AB,AC\right)=60°.$

2. Hai đường thẳng vuông góc trong không gian

Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau khi giữa chúng bằng 90°.

Khi hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau, ta kí hiệu $a\perp b.$

Nhận xét: Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó vuông góc với đường thẳng còn lại.

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O và tam giác SAC vuông tại S. Gọi M là trung điểm của cạnh SB. Chứng minh rằng đường thẳng OM vuông góc với đường thẳng SB.

Hướng dẫn giải

Ta có tam giác SAC vuông tại S và O là trung điểm của AC nên $SO=\frac{1}{2}AC$. Ta lại có ABCD là hình chữ nhật nên AC = BD, suy ra $SO=\frac{1}{2}BD$, mà O là trung điểm của BD nên tam giác SBD vuông tại S hay $SD\perp SB$. Vì OM // SD (OM là đường trung bình của tam giác SBD) và $SD\perp SB$ nên $OM\perp SB$.

Bài tập Hai đường thẳng vuông góc

Bài 1. Cho hình hộp $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ có 6 mặt là hình vuông cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AA' và A'B'. Tính số đo góc giữa hai đường thẳng MN và BD.

Hướng dẫn giải

Gọi P là trung điểm cạnh A'D'.

Vì hình hộp $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ có 6 mặt là hình vuông cạnh bằng a nên $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ là hình lập phương cạnh a, từ đó suy ra $A{B}^{\text{'}}=B^{\text{'}}{D}^{\text{'}}=D^{\text{'}}A=a\sqrt{2}.$

Ta có MN, NP, PM lần lượt là các đường trung bình của các tam giác AA'B', A'B'D', AA'D'. Suy ra $MN=NP=PM=\frac{A{B}^{\text{'}}}{2}$$=\frac{B^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}{2}=\frac{D^{\text{'}}A}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ và MN // AB', NP // B'D', PM // AD'. Khi đó, tam giác MNP là tam giác đều.

Ta có BD // B'D' và NP // B'D' nên NP // BD.

Suy ra $(MN,BD)=(MN,NP)=\widehat{MNP}=60°.$

Bài 2. Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi M, N, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BC và AB. Tính góc giữa đường thẳng MN và BD; góc giữa đường thẳng KN và MD.

Hướng dẫn giải

Vì MN // AB nên góc giữa hai đường thẳng MN và BD bằng góc giữa hai đường thẳng AB và BD, mà tam giác ABD là tam giác đều nên góc giữa hai đường thẳng AB và BD bằng $60°$.

Do đó $(MN,BD)=(AB,BD)=60°.$

Vì NK // AC nên góc giữa hai đường thẳng NK và MD bằng góc giữa hai đường thẳng AC và MD, mà tam giác ACD là tam giác đều, lại có M là trung điểm của AC nên MD là đường cao của tam giác ACD, do đó góc giữa hai đường thẳng AC và MD bằng 90°.

Do đó $(NK,MD)=(AC,MD)=90°.$

Bài 3. Cho tứ diện ABCD, gọi M và N lần lượt là trung điểm của AC và BD. Biết $MN=a\sqrt{3};AB=2\sqrt{2}a$ và CD = 2a. Chứng minh rằng đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng CD.

Hướng dẫn giải

Lấy K là trung điểm của cạnh BC, ta có: NK và MK lần lượt là đường trung bình của tam giác BCD và tam giác ABC nên NK = a và $MK=a\sqrt{2}.$

Do đó, $M{N}^2=3a^2=M{K}^2+N{K}^2$ suy ra tam giác MNK vuông tại K, hay $MK\perp NK$ mà MK // AB và NK // CD nên $(AB,CD)=(MK,NK)=90°$, hay $AB\perp CD.$

Bài 4. Cho hình lăng trụ $MNPQ.M^{\text{'}}{N}^{\text{'}}{P}^{\text{'}}{Q}^{\text{'}}$ có tất cả các cạnh bằng nhau. Chứng minh rằng $M^{\text{'}}N\perp P^{\text{'}}Q.$

Hướng dẫn giải

Vì $PQ{Q}^{\text{'}}{P}^{\text{'}}$ là hình thoi (do các cạnh bằng nhau) nên $P^{\text{'}}Q\perp P{Q}^{\text{'}}.$

Do $NP=MQ=M^{\text{'}}{Q}^{\text{'}}$ và $NP//MQ//M^{\text{'}}{Q}^{\text{'}}$ nên $NP{Q}^{\text{'}}{M}^{\text{'}}$ là hình bình hành, suy ra $M^{\text{'}}N//P{Q}^{\text{'}}$.

Từ đó ta có $M^{\text{'}}N\perp P^{\text{'}}Q$.

Bài 5. Một chiếc thang có dạng hình thang cân dài 6 m, hai chân thang cách nhau 80 cm, hai ngọn thang cách nhau 60 cm. Thang được dựa vào bờ tường như hình. Tính góc tạo giữa đường thẳng chân tường và cạnh cột thang (tính gần đúng theo đơn vị độ, làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

Hướng dẫn giải

Gọi A, B là hai điểm tại hai vị trí chân thang và C, D là hai điểm tại hai vị trí ngọn thang, EF là đường chân tường.

Ta có EF // AB nên $(EF,AC)=(AB,AC)=\widehat{BAC}.$

Kẻ CH vuông góc với AB tại H, khi đó $AH=\frac{AB-CD}{2}=10\text{(cm)}=0,1\text{(m).}$

Tam giác ACH vuông tại H nên $\cos \widehat{CAH}=\frac{AH}{AC}=\frac{0,1}{6}=\frac{1}{60}.$

Suy ra $\widehat{CAH}\approx 89,05°.$

Vậy góc tạo giữa đường thẳng chân tường và cạnh cột thang bằng khoảng $89,05°.$

Học tốt Hai đường thẳng vuông góc

Các bài học để học tốt Hai đường thẳng vuông góc Toán lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Bài 1: Hai đường thẳng vuông góc

(199k) Xem Khóa học Toán 11 CD

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 7

• Lý thuyết Toán 11 Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

• Lý thuyết Toán 11 Bài 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

• Lý thuyết Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc

• Lý thuyết Toán 11 Bài 5: Khoảng cách

• Lý thuyết Toán 11 Bài 6: Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều. Thể tích của một số hình khối

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Cánh diều
• Giải SBT Toán 11 Cánh diều
• Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---