Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều. Thể tích của một số hình khối lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Cánh diều)

Với tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 6: Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều. Thể tích của một số hình khối sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 11.

Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều. Thể tích của một số hình khối lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Cánh diều)

(199k) Xem Khóa học Toán 11 CD

Lý thuyết Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều. Thể tích của một số hình khối

1. Hình lăng trụ đứng. Hình lăng trụ đều

• Hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt đáy được gọi là hình lăng trụ đứng.

• Hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều gọi là hình lăng trụ đều.

• Hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp đứng.

Chú ý: Khi đáy của hình lăng trụ đứng lần lượt là tứ giác, ngũ giác, lục giác, ta gọi hình lăng trụ đứng đó lần lượt là hình lăng trụ đứng tứ giác (Hình a), hình lăng trụ đứng ngũ giác (Hình b), hình lăng trụ đứng lục giác (Hình c).

Nhận xét:

• Mỗi mặt bên của hình lăng trụ đứng là hình chữ nhật, mặt phẳng chứa nó vuông góc với mặt đáy.

• Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.

Hình hộp chữ nhật có 6 mặt là hình chữ nhật.

Nếu mỗi mặt của hình hộp là hình chữ nhật thì hình hộp đó là hình hộp chữ nhật.

Độ dài các đường chéo của hình hộp chữ nhật là bằng nhau.

• Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có tất cả các mặt là hình vuông.

Hình lập phương là hình lăng trụ tứ giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy.

Ví dụ 1. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng A'BD là tam giác đều.

Hướng dẫn giải

Gọi a là độ dài các cạnh của hình lập phương. Do các mặt của hình lập phương là các hình vuông nên

$A^{\text{'}}D=\sqrt{A{A^{\text{'}}}^2+A{D}^2}=a\sqrt{2};$

$BD=\sqrt{A{B}^2+A{D}^2}=a\sqrt{2};$

$A^{\text{'}}B=\sqrt{A{A^{\text{'}}}^2+A{B}^2}=a\sqrt{2}.$

Tam giác A'BD có ba cạnh bằng nhau nên là tam giác đều.

2. Hình chóp đều. Hình chóp cụt đều

⮚ Hình chóp đều

Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau.

Chú ý:

• Khi đáy của hình chóp đều lần lượt là tam giác đều, hình vuông, ngũ giác đều, lục giác đều, ta gọi hình chóp đều đó lần lượt là hình chóp tam giác đều, hình chóp tứ giác đều, hình chóp ngũ giác đều, hình chóp lục giác đều.

• Hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy là tứ diện đều.

Tính chất: Chân đường cao của hình chóp đều là tâm đường tròn ngoại tiếp của đáy.

⮚ Hình chóp cụt đều

Cho hình chóp đều S.A₁A₂A₃...A_n. Mặt phẳng (P) song song với đáy của hình chóp và cắt các cạnh SA₁, SA₂, ..., SA_n, lần lượt tại B₁, B₂, ..., B_n.

Phần của hình chóp đã cho giới hạn bởi hai mặt phẳng (P) và (A₁A₂A₃...A_n) được gọi là hình chóp cụt đều A₁A₂...A_n.B₁B₂...B_n.

Trong hình chóp cụt đều A₁A₂...A_n.B₁B₂...B_n ta gọi:

• Các đa giác A₁A₂...A_n, B₁B₂...B_n lần lượt là đáy lớn, đáy nhỏ;

• Các tứ giác A₁A₂B₂B₁, A₂A₃B₃B₂, ..., A_nA₁B₁B_n là các mặt bên;

• Các đoạn thẳng A₁B₁, A₂B₂, ..., A_nB_n là các cạnh bên;

• Các cạnh của hai đa giác A₁A₂...A_n, B₁B₂...B_n là các cạnh đáy;

• Đoạn thẳng nối tâm của hai đáy là đường cao; độ dài đường cao là chiều cao.

Tuỳ theo đáy là tam giác đều, hình vuông, ngũ giác đều, ..., ta có hình chóp cụt tam giác đều, hình chóp cụt tứ giác đều, hình chóp cụt ngũ giác đều, ...

Nhận xét:

• Hai đáy của hình chóp cụt đều nằm trên hai mặt phẳng song song và có các cạnh tương ứng song song; đồng thời hai đáy đó là các đa giác đều có cùng số cạnh;

• Mỗi mặt bên của hình chóp cụt đều là một hình thang cân;

• Các đường thẳng chứa cạnh bên của hình chóp cụt đều cùng đi qua một điểm;

• Đường cao của hình chóp cụt đều thì vuông góc với hai đáy của hình chóp cụt đều đó (chẳng hạn, đoạn thẳng OO' trong hình dưới).

Ví dụ 2. Cho hình chóp cụt đều ABC.A'B'C' có chiều cao bằng h, các đáy là các tam giác đều ABC, A'B'C' có cạnh tương ứng là a, a' (a > a'). Tính độ dài các cạnh bên của hình chóp cụt đều.

Hướng dẫn giải

Gọi H, H' tương ứng là tâm của các tam giác ABC, A'B'C'.

Khi đó, HH' vuông góc với hai đáy của hình chóp cụt đều.

Trong tam giác đều ABC, ta có HA = $\frac{a}{\sqrt{3}}$.

Trong tam giác đều A'B'C', ta có H'A' = $\frac{a^{\text{'}}}{\sqrt{3}}$.

Hình thang AHH'A' vuông tại H và H'. Kẻ A'M ⊥ HA (M ∈ HA).

Ta có $A{A}^{\text{'}}=\sqrt{A^{\text{'}}{M}^2+M{A}^2}$$=\sqrt{H^{\text{'}}{H}^2+{\left(HA-H^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right)}^2}$

$=\sqrt{h^2+{\left(\frac{a}{\sqrt{3}}-\frac{a^{\text{'}}}{\sqrt{3}}\right)}^2}$$=\sqrt{h^2+\frac{{\left(a-a^{\text{'}}\right)}^2}{3}}.$

Vậy các cạnh bên của hình chóp cụt đều có độ dài bằng $\sqrt{h^2+\frac{{\left(a-a^{\text{'}}\right)}^2}{3}}.$

3. Thể tích của một số hình khối

Phần không gian được giới hạn bởi một hình lăng trụ (kể cả hình lăng trụ ấy) được gọi là khối lăng trụ. Ta định nghĩa tương tự các khối sau: khối hộp, khối chóp, khối chóp cụt đều.

Đỉnh, cạnh, mặt của các khối lăng trụ, khối hộp, khối chóp, khối chóp cụt đều là đỉnh, cạnh, mặt của các hình lăng trụ, hình hộp, hình chóp, hình chóp cụt đều tương ứng.

3.1. Thể tích của khối lăng trụ

Thể tích của khối lăng trụ bằng diện tích đáy nhân với chiều cao.

Cụ thể, ta có: V = S ∙ h, trong đó V là thể tích của khối lăng trụ, S là diện tích của đáy và h là chiều cao của khối lăng trụ.

Nhận xét:

• Do chiều cao của khối lăng trụ đứng bằng độ dài cạnh bên nên thể tích của khối lăng trụ đứng bằng diện tích đáy nhân với độ dài cạnh bên.

• Vì khối hộp là khối lăng trụ có đáy là hình bình hành nên thể tích của khối hộp bằng diện tích đáy nhân với chiều cao.

• Thể tích của khối hộp chữ nhật với ba kích thước: chiều dài a, chiều rộng b, chiều cao c, là: V = abc.

• Thể tích của khối lập phương cạnh a là: V = a³.

Ví dụ 3. Cho khối lăng trụ tam giác $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, cạnh AA' = a và hình chiếu vuông góc H của A' trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của BC. Tính theo a thể tích khối lăng trụ $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$.

Hướng dẫn giải

Ta có A'H là đường cao của khối lăng trụ $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$, tam giác ABC đều có đường cao AH nên ta tính được $AH=\frac{a\sqrt{3}}{2},A{A}^{\text{'}}=a$ và tam giác A'AH vuông tại H nên theo định lí Pythagore ta tính được $A^{\text{'}}H=\frac{a}{2}.$

Tam giác ABC đều có cạnh bằng a nên diện tích tam giác ABC bằng $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.$

Vậy $V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=S_{ABC}\cdot A^{\text{'}}H$$=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{a}{2}=\frac{a^3\sqrt{3}}{8}.$

3.2. Thể tích của khối chóp và khối chóp cụt đều

a) Thể tích của khối chóp

Thể tích của khối chóp bằng một phần ba diện tích đáy nhân với chiều cao.

Cụ thể, ta có: V = $\frac{1}{3}$S ∙ h, trong đó V là thể tích của khối chóp, S là diện tích của đáy và h là chiều cao của khối chóp.

Ví dụ 4. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD. Biết đáy ABCD là hình vuông cạnh a, $SA\perp \left(ABCD\right)$, góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD) bằng 60°.

Hướng dẫn giải

Do $SA\perp \left(ABCD\right)$ và BA nằm trong (ABCD) nên $SA\perp AB.$

Suy ra $SA=AB\cdot \tan \widehat{SBA}.$

Vì $SA\perp \left(ABCD\right)$ nên góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD) bằng $\widehat{SBA}.$

Suy ra $\widehat{SBA}=60°.$

Từ đó, ta có $SA=a\cdot \tan 60°=a\sqrt{3}.$

Mặt khác, do diện tích hình vuông ABCD là $S_{ABCD}=a^2$ nên thể tích của khối chóp S.ABCD là: $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SA$$=\frac{1}{3}{a}^2\cdot a\sqrt{3}=\frac{a^3\sqrt{3}}{3}.$

b) Thể tích của khối chóp cụt đều

Thể tích của khối chóp cụt đều được tính theo công thức:

$V=\frac{1}{3}h\left(S_1+\sqrt{S_1{S}_2}+S_2\right),$

trong đó h là chiều cao và S₁, S₂ lần lượt là diện tích hai đáy của khối chóp cụt đều.

Ví dụ 5. Cho hình chóp cụt đều $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ có đáy lớn ABCD là hình vuông cạnh bằng $a\sqrt{2}$, đáy nhỏ $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ là hình vuông cạnh bằng $\frac{a\sqrt{2}}{2}$, các cạnh bên bằng nhau và bằng a. Tính theo a thể tích khối chóp cụt $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}.$

Hướng dẫn giải

Gọi O là giao điểm của AC và BD, S là giao điểm của AA' và CC'.

Vì $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}=\frac{1}{2}AB$ và A'B' // AB nên A' là trung điểm của SA.

Từ đó, suy ra SA = SC = 2AA' = 2a.

Vì ABCD là hình vuông và $AB=a\sqrt{2}$ nên AC = 2a.

Do đó, tam giác SAC đều, có đường cao SO.

Từ đó, ta tính được $SO=a\sqrt{3}.$

Vì A' là trung điểm của SA và $SO\perp \left(ABCD\right)$ nên chiều cao h của hình chóp cụt $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ bằng $\frac{1}{2}SO=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

Diện tích đáy lớn và đáy nhỏ của hình chóp cụt $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ lần lượt là $2a^2;\frac{a^2}{2}.$

Vậy thể tích khối chóp cụt $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ bằng

$\frac{1}{3}\cdot \left(2a^2+\frac{a^2}{2}+\sqrt{2a^2\cdot \frac{a^2}{2}}\right)\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}$$=\frac{7a^3\sqrt{3}}{12}.$

Bài tập Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều. Thể tích của một số hình khối

Bài 1. Cho hình chóp cụt tứ giác đều $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ có đáy lớn ABCD có cạnh bằng 2a, đáy nhỏ $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ có cạnh bằng a và cạnh bên 2a. Tính đường cao của hình chóp cụt và đường cao của mặt bên.

Hướng dẫn giải

Gọi O và O' lần lượt là tâm của hai đáy và H là hình chiếu của C' trên AC.

Trong hình thang vuông OO'C'C, vẽ đường cao C'H $(H\in OC).$

Ta có: $OC=a\sqrt{2},$ $O^{\text{'}}{C}^{\text{'}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$, suy ra $CH=a\sqrt{2}-\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$

Trong tam giác vuông C'CH, ta có:

$C^{\text{'}}H=\sqrt{C{C^{\text{'}}}^2-C{H}^2}$$=\sqrt{{\left(2a\right)}^2-{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{14}}{2}.$ Nên $O{O}^{\text{'}}=C^{\text{'}}H=\frac{a\sqrt{14}}{2}.$

Trong hình thang $B{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}C$, vẽ đường cao $C^{\text{'}}K(K\in BC).$

Ta có $CK=\frac{BC-B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{2}$$=\frac{2a-a}{2}=\frac{a}{2}.$

Trong tam giác vuông C'CK, ta có: $C^{\text{'}}K=\sqrt{C{C^{\text{'}}}^2-C{K}^2}$$=\sqrt{{\left(2a\right)}^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{15}}{2}.$

Bài 2. Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ có $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ và $A{A}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ là hai tam giác đều cạnh a. Biết $\left(AC{C}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right)\perp \left(A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\right)$. Tính theo a thể tích khối lăng trụ $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}.$

Hướng dẫn giải

Kẻ $AH\perp A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ tại H thì $AH\perp \left(A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\right).$

Ta có $S_{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4};$ $AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$, suy ra $V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=S_{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\cdot AH$$=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{3a^3}{8}.$

Bài 3. Cho tứ diện OABC có OA = OB = OC = a và $\widehat{AOB}=90°;$ $\widehat{BOC}=60°;$ $\widehat{COA}=120°$. Tính theo a thể tích khối tứ diện OABC.

Hướng dẫn giải

Ta có: $AB=a\sqrt{2},$ BC = a, $CA=a\sqrt{3}$, tam giác ABC vuông tại B. Kẻ OH vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại H. Vì OA = OB = OC nên HA = HB = HC, hay H là trung điểm của AC. Xét tam giác OAH vuông tại H, theo định lí Pythagore ta tính được: $OH=\frac{a}{2}.$

Do đó $V_{OABC}=\frac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot OH$$=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot a\sqrt{2}\cdot a\cdot \frac{a}{2}=\frac{a^3\sqrt{2}}{12}.$

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, biết $SO\perp \left(ABCD\right)$, $AC=2a\sqrt{3},BD=2a$ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.

Hướng dẫn giải

Kẻ OM vuông góc với BC tại M, OH vuông góc với SM tại H, ta chứng minh được $OH\perp \left(SBC\right)$. Vì O là trung điểm của AC nên

$d(A,(SBC\left)\right)=2\cdot d(O,(SBC\left)\right)$$=2\cdot OH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$, suy ra $OH=\frac{a\sqrt{3}}{4}.$

Tam giác OBC vuông tại O, có $OB=a,OC=a\sqrt{3}$ và đường cao OM nên $OM=\frac{OB\cdot OC}{BC}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

Tam giác SOM vuông tại O, đường cao OH nên $\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{O{M}^2}+\frac{1}{O{S}^2}$, suy ra $SO=\frac{a}{2}.$

Vậy $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}\cdot S_{ABCD}\cdot SO$$=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot 2a\sqrt{3}\cdot 2a\cdot \frac{a}{2}$$=\frac{a^3\sqrt{3}}{3}.$

Bài 5. Cho hình lập phương $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ có $A{C}^{\text{'}}=a\sqrt{3}$. Tính thể tích của khối lập phương $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}.$

Hướng dẫn giải

Đường chéo của một hình lập phương là $d=a\sqrt{3}$ với a là độ dài cạnh hình lập phương.

Dễ thấy rằng hình lập phương $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ có AC' là đường chéo và cạnh là AB.

Do đó $A{C}^{\text{'}}=AB\sqrt{3}$$\Rightarrow AB=\frac{A{C}^{\text{'}}}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=a.$

Vậy thể tích khối lập phương là V = a³.

Bài 6. Tính thể tích của khối chóp cụt tam giác đều $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ có chiều cao bằng 3a, AB = 4a, A'B' =a.

Hướng dẫn giải

Diện tích tam giác đều ABC là: $S=\frac{A{B}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{{\left(4a\right)}^2\sqrt{3}}{4}$$=4a^2\sqrt{3}.$

Diện tích tam giác đều A'B'C' là: $S^{\text{'}}=\frac{A^{\text{'}}{B^{\text{'}}}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.$

Thể tích khối chóp cụt:

$V=\frac{1}{3}\cdot 3a\cdot \left(4a^2\sqrt{3}+\sqrt{4a^2\sqrt{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}}+\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\right)$$=\frac{21a^3\sqrt{3}}{4}.$

Học tốt Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều. Thể tích của một số hình khối

Các bài học để học tốt Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều. Thể tích của một số hình khối Toán lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Bài 6: Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều. Thể tích của một số hình khối

(199k) Xem Khóa học Toán 11 CD

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Lý thuyết Toán 11 Bài 1: Hai đường thẳng vuông góc

• Lý thuyết Toán 11 Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

• Lý thuyết Toán 11 Bài 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

• Lý thuyết Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc

• Lý thuyết Toán 11 Bài 5: Khoảng cách

• Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 8

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Cánh diều
• Giải SBT Toán 11 Cánh diều
• Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---