Khoảng cách lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Cánh diều)

Với tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 5: Khoảng cách sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 11.

Khoảng cách lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Cánh diều)

(199k) Xem Khóa học Toán 11 CD

Lý thuyết Khoảng cách

1. Khoảng cách từ một diểm đến một đường thẳng

Cho đường thẳng ∆ và điểm M không thuộc ∆. Gọi H là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng ∆. Độ dài đoạn thẳng MH gọi là khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆, kí hiệu d(M, ∆).

Trong hình trên, ta có d(M, ∆) = MH.

Chú ý: Khi điểm M thuộc đường thẳng ∆ thì d(M, ∆) = 0.

Ví dụ 1. Cho điểm A nằm ngoài đường thẳng ∆, hai điểm B, C thuộc ∆ sao cho BC = a, diện tích tam giác ABC bằng S. Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆ theo a, S.

Hướng dẫn giải

Gọi H là hình chiếu của A trên BC. Khi đó d(A, ∆) = AH. Vì diện tích tam giác ABC bằng S nên $S=\frac{1}{2}AH\cdot BC=\frac{1}{2}AH\cdot a.$

Suy ra $d(A,\Delta )=AH=\frac{2S}{a}.$

Vậy khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆ bằng $\frac{2S}{a}.$

2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Cho mặt phẳng (P) và điểm M không thuộc mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu của M trên mặt phẳng (P). Độ dài đoạn thẳng MH gọi là khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P), kí hiệu d(M, (P)).

Chú ý: Khi điểm M thuộc mặt phẳng (P) thì d(M, (P)) = 0.

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt đáy, tam giác SAB vuông tại S, $AB=a,SA=\frac{3a}{5}$. Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ABC).

Hướng dẫn giải

Gọi H là hình chiếu của S trên AB.

Do $\text{}\left(SAB\right)\perp \left(ABC\right),\left(SAB\right)\cap \left(ABC\right)$$=AB,SH\subset \left(SAB\right)$ và $SH\perp AB.$

Suy ra $SH\perp \left(ABC\right)$. Khi đó d(S, (ABC)) = SH.

Xét tam giác SAB vuông tại S có:

$S{B}^2=A{B}^2-S{A}^2=a^2-{\left(\frac{3a}{5}\right)}^2$$=\frac{16a^2}{25}\Rightarrow SB=\frac{4a}{5}.$

Suy ra $d(S,(ABC\left)\right)=SH=\frac{SA\cdot SB}{AB}$$=\frac{\frac{3a}{5}\cdot \frac{4a}{5}}{a}=\frac{12a}{25}.$

Vậy khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ABC) bằng $\frac{12a}{25}.$

3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song ∆, ∆' là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia, kí hiệu d(∆, ∆').

Trong hình trên, ta có d(∆, ∆') = AB với A ∈ ∆, B ∈ ∆', AB ⊥ ∆, AB ⊥ ∆' và ∆ // ∆'.

Ví dụ 3. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có AA' = a, góc giữa hai đường thẳng AB và DD' bằng 60°. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và A'B'.

Hướng dẫn giải

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A' trên AB. Do AB // A'B' nên d(AB, A'B') = A'H.

Vì AA' // DD' nên góc giữa đường thẳng AB và AA' bằng góc giữa đường thẳng AB và DD'. Suy ra $\widehat{A^{\text{'}}AH}$ = 60°.

Trong tam giác vuông HAA' có $A^{\text{'}}H=A{A}^{\text{'}}\cdot \sin \widehat{A^{\text{'}}AH}$$=a\sin 60°=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

Vậy d(AB, A'B') = $\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

4. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

Cho đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng (P). Khoảng cách giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P) là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường thẳng ∆ đến mặt phẳng (P), kí hiệu d(∆, (P)).

Trong hình trên, ta có: d(∆, (P)) = MM' = h, trong đó M ∈ ∆, M' ∈ (P), MM' ⊥ (P) và ∆ // (P).

Ví dụ 4. Cho hình lập phương $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ có cạnh bằng a. Tính theo a khoảng cách giữa đường thẳng DD' và mặt phẳng $\left(A{A}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}C\right).$

Hướng dẫn giải

Ta có $D{D}^{\text{'}}//A{A}^{\text{'}}$ nên DD' // $\left(A{A}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}C\right)$. Suy ra $d\left(D{D}^{\text{'}},\left(A{A}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}C\right)\right)$$=d\left(D,\left(A{A}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}C\right)\right).$

Gọi O là tâm hình vuông ABCD.

Ta có $DO\perp AC$ và $DO\perp A{A}^{\text{'}}$, suy ra $DO\perp \left(A{A}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}C\right).$

Vậy $d\left(D{D}^{\text{'}},\left(A{A}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}C\right)\right)=d\left(D,\left(A{A}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}C\right)\right)$$=DO=\frac{BD}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$

5. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P), (Q) là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia, kí kiệu d((P), (Q)).

Trong hình trên, ta có d((P), (Q)) = IK = h với I ∈ (P), K ∈ (Q), IK ⊥ (P), IK ⊥ (Q) và (P) // (Q).

Ví dụ 5. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh bằng a và đáy là hình vuông. Hình chiếu của A' trên mặt phẳng (ABCD) là giao điểm H của AC và BD. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (A'B'C'D').

Hướng dẫn giải

Vì H là trung điểm của AC nên AH = $\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$

Do A'H ⊥ (ABCD) và AH ⊂ (ABCD) nên A'H ⊥ AH.

Xét tam giác AA'H vuông tại H có: $A^{\text{'}}H=\sqrt{A^{\text{'}}{A}^2-A{H}^2}$$=\sqrt{a^2-{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$

Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (A'B'C'D') bằng A'H = $\frac{a\sqrt{2}}{2}.$

6. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cho hai đường thẳng a, b chéo nhau.

• Đường thẳng c vừa vuông góc, vừa cắt cả hai đường thẳng a và b được gọi là đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

• Đoạn thẳng có hai đầu mút là giao điểm của đường thẳng c với hai đường thẳng a, b được là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

• Độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng a, b gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng đó, kí hiệu d(a, b).

Nhận xét: Gọi mặt phẳng chứa b và song song với a là (P), hình chiếu của a trên (P) là a', giao điểm của a' và b là K, hình chiếu của K trên a là H. Khi đó, HK là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a, b.

Ngoài ra, ta cũng có d(a, b) = d(a, (P)).

Khi a ⊥ b, ta có thể làm như sau: Gọi mặt phẳng đi qua b và vuông góc với a là (P), giao điểm của a và (P) là H, hình chiếu của H trên b là K. Khi đó HK là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a, b.

Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, cạnh SA = a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng:

a) SB và CD;

b) AB và SC.

Hướng dẫn giải

a) Ta có $BC\perp SA$ và $BC\perp AB\Rightarrow BC\perp SB.$

Mặt khác $BC\perp CD$ suy ra BC là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng SB và CD. Ta có $d\left(SB,CD\right)=BC=a.$

b) Cách 1. Ta có $AB\perp \left(SAD\right)$ và SD là hình chiếu vuông góc của SC lên (SAD).

Vẽ $AK\perp SD,$ KE // AB, EF // AK.

Ta có $AB\perp AK,AK\perp SD$, suy ra $AK\perp SC$. Do EF // AK, suy ra ta cũng có $EF\perp AB$ và EF cắt AB tại F, $EF\perp SC$ và EF cắt SC tại E.

Các kết quả trên chứng tỏ EF là đoạn vuông góc chung của AB và SC.

Trong tam giác SAD vuông cân tại A ta có $AK=\frac{SD}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$

Vậy $d\left(AB,SC\right)=EF$$=AK=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$

Cách 2. Ta có mặt phẳng (SCD) và song song với AB, suy ra:

$d\left(AB,SC\right)=d\left(AB,\left(SCD\right)\right)$$=d\left(A,\left(SCD\right)\right)=AK=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$

Bài tập Khoảng cách

Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có $SA\perp \left(ABC\right)$, đáy là tam giác ABC vuông tại B, biết SA = AB = BC = a. Tính theo a khoảng cách:

a) Từ điểm B đến đường thẳng SC.

b) Từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).

c) Giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và SC.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $BC\perp AB,BC\perp SA$ nên $BC\perp \left(SAB\right)$, suy ra $BC\perp SB$. Kẻ $BH\perp SC$ tại H thì d(B, SC) = BH.

Theo định lí Pythagore, ta tính được $SB=AC=a\sqrt{2},SC=a\sqrt{3}.$

Xét tam giác SBC vuông tại B có đường cao BH.

Khi đó: $BH=\frac{SB\cdot BC}{SC}$$=\frac{a\cdot a\sqrt{2}}{a\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$. Vậy $d(B,SC)=\frac{a\sqrt{6}}{3}.$

b) Kẻ $AK\perp SB$ tại K, có $BC\perp \left(SAB\right)$ nên $BC\perp AK.$

Suy ra $AK\perp \left(SBC\right)$, do đó $d(A,(SBC\left)\right)=AK.$

Xét tam giác SAB vuông tại A có đường cao AK.

Khi đó $AK=\frac{SA\cdot AB}{SB}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$. Vậy $d(A,(SBC\left)\right)=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$

c) Dựng hình bình hành ABCD, vì tam giác ABC vuông cân tại B nên ABCD là hình vuông.

Vì $CD\perp AD,CD\perp SA$ nên $CD\perp \left(SAD\right).$

Kẻ $AE\perp SD$ tại E, mà $AE\perp CD$ nên $AE\perp \left(SCD\right)$ (1).

Vì mặt phẳng (SCD) chứa SC và song song với AB nên

$d(AB,SC)=d(AB,(SCD\left)\right)$$=d(A,(SCD\left)\right)$ (2).

Từ (1) và (2), suy ra d(AB, SC) = AE.

Vì tam giác SAD vuông cân tại A, có đường cao AE nên $AE=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$

Vậy $d(AB,SC)=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$

Bài 2. Cho hình lập phương $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ có cạnh bằng a. Tính theo a khoảng cách:

a) Giữa hai đường thẳng AB và C'D'.

b) Giữa đường thẳng AC và mặt phẳng $\left(A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}\right).$

c) Từ điểm A đến đường thẳng B'D'.

d) Giữa hai đường thẳng AC và B'D'.

Hướng dẫn giải

a) Vì BC' vuông góc với cả hai đường thẳng AB và C'D' nên $d\left(AB,C^{\text{'}}{D}^{\text{'}}\right)=B{C}^{\text{'}}=a\sqrt{2}.$

b) Vì $AC\text{//}\left(A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}\right)$ nên $d\left(AC,\left(A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}\right)\right)$$=d\left(A,\left(A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}\right)\right)=A{A}^{\text{'}}=a\text{.}$

c) Gọi O' là giao điểm của A'C' và B'D', ta có $A{O}^{\text{'}}\perp B^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$, theo định lí Pythagore, áp dụng cho tam giác AA'O' vuông tại A' thì $A{O}^{\text{'}}=\frac{a\sqrt{6}}{2}.$

Do đó $d\left(A,B^{\text{'}}{D}^{\text{'}}\right)=A{O}^{\text{'}}=\frac{a\sqrt{6}}{2}.$

d) Ta có $d\left(AC,B^{\text{'}}{D}^{\text{'}}\right)=d\left(AC,\left(A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}\right)\right)$$=d\left(A,\left(A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}\right)\right)=A{A}^{\text{'}}=a.$

Bài 3. Cho hình hộp $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ có ABCD là hình thoi cạnh $a,A{A}^{\text{'}}\perp \left(ABCD\right)$, $A{A}^{\text{'}}=2a,AC=a$. Tính khoảng cách:

a) Từ điểm A đến mặt phẳng $\left(BC{C}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}\right)$;

b) Giữa hai mặt phẳng $\left(AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right)$ và $\left(CD{D}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\right)$;

c) Giữa hai đường thẳng BD và A'C.

Hướng dẫn giải

a) Gọi H là hình chiếu của A trên BC. Khi đó, $AH\perp \left(BC{C}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}\right).$

Vì tam giác ABC đều cạnh a nên $AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

Vậy $d\left(A,\left(BC{C}^{\text{'}}{B}^{\text{'}}\right)\right)=AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

b) Vì $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ là hình hộp nên $\left(AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right)\text{//}\left(CD{D}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\right)\text{.}$

Gọi I là hình chiếu của A trên CD. Vì tam giác ACD đều cạnh a nên $AI=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

Khi đó, $d\left(\left(AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right),\left(CD{D}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\right)\right)$$=AI=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

c) Gọi E là hình chiếu của O trên A'C. Vì $BD\perp \left(A^{\text{'}}AC\right)$ nên $BD\perp OE$.

Suy ra $d\left(BD,A^{\text{'}}C\right)=OE.$

Ta có $A^{\text{'}}C=\sqrt{A^{\text{'}}{A}^2+A{C}^2}$$=\sqrt{{\left(2a\right)}^2+a^2}=a\sqrt{5}.$

Vì $\Delta CEO\backsim \Delta CA{A}^{\text{'}}$ nên $\frac{OE}{A{A}^{\text{'}}}=\frac{OC}{A^{\text{'}}C}\Rightarrow$$OE=\frac{A{A}^{\text{'}}\cdot OC}{A^{\text{'}}C}$$=\frac{2a\cdot \frac{a}{2}}{a\sqrt{5}}=\frac{a\sqrt{5}}{5}\text{.}$

Vậy $d\left(BD,A^{\text{'}}C\right)=OE=\frac{a\sqrt{5}}{5}.$

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thoi cạnh a, $\widehat{BAD}=60°$. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy là giao điểm O của AC và BD. Số đo góc nhị diện [S, CD, A] bằng 60°. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.

Hướng dẫn giải

Do ABCD là hình thoi cạnh a, $\widehat{BAD}=60°$ nên tam giác ABD và BCD là các tam giác đều cạnh a. Kẻ $OE\perp CD$ tại E và M là trung điểm của CD. Khi đó, góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [S, CD, A] là góc SEO và bằng 60°; $OE=\frac{1}{2}BM=\frac{a\sqrt{3}}{4}.$

Kẻ $OH\perp SE$ tại H, ta có $OH\perp \left(SCD\right)\Rightarrow d\left(O,\left(SCD\right)\right)$$=OH=OE\cdot \sin 60°=\frac{3a}{8}.$

Vậy $d\left(AB,SC\right)=d\left(AB,\left(SCD\right)\right)$$=d\left(A,\left(SCD\right)\right)=2d\left(O,\left(SCD\right)\right)$$=2OH=\frac{3a}{4}.$

Học tốt Khoảng cách

Các bài học để học tốt Khoảng cách Toán lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Bài 5: Khoảng cách

(199k) Xem Khóa học Toán 11 CD

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Lý thuyết Toán 11 Bài 1: Hai đường thẳng vuông góc

• Lý thuyết Toán 11 Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

• Lý thuyết Toán 11 Bài 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

• Lý thuyết Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc

• Lý thuyết Toán 11 Bài 6: Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều. Thể tích của một số hình khối

• Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 8

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Cánh diều
• Giải SBT Toán 11 Cánh diều
• Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---