Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 8 Cánh diều

Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 8: Quan hệ vuông góc trong không gian. Phép chiếu vuông góc sách Cánh diều hay nhất, chi tiết với bài tập có lời giải sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 11 Chương 8.

Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 8 Cánh diều

(199k) Xem Khóa học Toán 11 CD

Lý thuyết tổng hợp Toán 11 Chương 8

1. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian

Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a' và b' cùng đi qua điểm O và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b. Kí hiệu (a, b) hoặc $\widehat{\left(a,b\right)}.$

Nhận xét:

• Góc giữa hai đường thẳng a, b không phụ thuộc vào vị trí điểm O. Thông thường, khi ta tìm góc giữa hai đường thẳng a, b, ta chọn O thuộc a hoặc chọn O thuộc b.

• Góc giữa hai đường thẳng a, b bằng góc giữa hai đường thẳng b, a tức là (a, b) = (b, a).

• Góc giữa hai đường thẳng không vượt quá 90°.

• Nếu a // b thì (a, c) = (b, c) với mọi đường thẳng c trong không gian.

2. Hai đường thẳng vuông góc trong không gian

Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau khi giữa chúng bằng 90°.

Khi hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau, ta kí hiệu $a\perp b.$

Nhận xét: Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó vuông góc với đường thẳng còn lại.

3. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

3.1. Định nghĩa

Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu đường thẳng d vuông góc với mọi đường thẳng a trong mặt phẳng (P), kí hiệu $d\perp \left(P\right)$ hoặc $\left(P\right)\perp d$.

3.2. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.

3.3. Tính chất

• Tính chất 1: Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

• Tính chất 2: Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

3.4. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng

• Tính chất 3:

+ Cho hai đường thẳng song song. Một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.

+ Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

• Tính chất 4:

+ Cho hai mặt phẳng song song. Một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia.

+ Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

4. Phép chiếu vuông góc

Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d vuông góc với (P). Gọi M' là giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Điểm M' được gọi là hình chiếu vuông góc (hay hình chiếu) của điểm M lên mặt phẳng (P).

Cho mặt phẳng (P). Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M trong không gian với hình chiếu vuông góc M' của điểm đó lên mặt phẳng (P) được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P).

Nhận xét: Vì phép chiếu vuông góc là một trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song (khi phương chiếu vuông góc với mặt phẳng chiếu) nên phép chiếu vuông góc có đầy đủ các tính chất của phép chiếu song song.

5. Định lí ba đường vuông góc

Định lí ba đường vuông góc: Cho đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) và đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P). Khi đó, d vuông góc với a khi và chỉ khi d vuông góc với hình chiếu a' của a trên (P).

6. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P), ta có định nghĩa sau:

• Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa d và (P) bằng 90°.

• Nếu đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) là góc giữa d và hình chiếu d' của đường thẳng d trên (P).

Nhận xét: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng có số đo từ 0° đến 90°.

7. Góc nhị diện

7.1. Khái niệm

Một đường thẳng nằm trong một mặt phẳng chia mặt phẳng đó thành hai phần, mỗi phần được gọi là một nửa mặt phẳng và đường thẳng đó được gọi là bờ của mỗi nửa mặt phẳng này.

Góc nhị diện là hình gồm hai nửa mặt phẳng có chung bờ.

Trong hình trên, ta có góc nhị diện gồm hai nửa mặt phẳng (P) và (Q) có chung bờ là đường thẳng d, kí hiệu [P, d, Q]. Đường thẳng d gọi là cạnh của góc nhị diện, mỗi nửa mặt phẳng (P) và (Q) là một mặt của góc nhị diện.

Chú ý: Góc nhị diện còn được kí hiệu là [M, d, N] với M, N lần lược là các điểm thuộc các nửa mặt phẳng (P) và (Q) nhưng không thuộc đường thẳng d.

7.2. Số đo của góc nhị diện

Cho góc nhị diện có hai mặt là hai nửa mặt phẳng (P), (Q) và cạnh của góc nhị diện là đường thẳng d.

Qua một điểm O trên đường thẳng d, ta kẻ hai tia Ox, Oy lần lượt thuộc hai nửa mặt phẳng (P), (Q) và cùng vuông góc với đường thẳng d. Góc xOy gọi là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện đã cho.

Góc x'O'y' cũng là một góc phẳng nhị diện của góc nhị diện đã cho với O' khác O.

Nhận xét:

• Số đo góc phẳng nhị diện xOy không phụ thuộc vào vị trí của điểm O trên cạnh nhị diện và được gọi là số đo của góc nhị diện đã cho.

• Số đo của góc nhị diện từ 0° đến 180°.

Trong trường hợp tổng quát, ta có định nghĩa sau:

Trong không gian, cho góc nhị diện.

• Một góc có đỉnh thuộc cạnh của góc nhị diện, hai cạnh của góc đó lần lượt thuộc hai mặt nhị diện và cùng vuông góc với cạnh của góc nhị diện, được gọi là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện đã cho.

• Số đo của một góc phẳng nhị diện được gọi là số đo của góc nhị diện đó.

• Nếu số đo góc phẳng nhị diện bằng 90° thì góc nhị diện đó gọi là góc nhị diện vuông.

8. Hai mặt phẳng vuông góc

8.1. Định nghĩa

Nhận xét: Hai mặt phẳng cắt nhau tạo nên bốn góc nhị diện. Nếu một trong bốn góc nhị diện đó vuông thì các góc nhị diện còn lại cùng vuông.

Ta có định nghĩa sau:

Hai mặt phẳng cắt nhau tạo nên bốn góc nhị diện. Nếu một trong các góc nhị diện đó là góc nhị diện vuông thì hai mặt phẳng đã cho gọi là vuông góc với nhau.

Khi hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, ta kí hiệu $\left(P\right)\perp \left(Q\right)$ hoặc $\left(Q\right)\perp \left(P\right).$

8.2. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

Định lí: Nếu mặt phẳng này chứa một đường thẳng mà đường thẳng đó vuông góc với mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.

8.3. Tính chất

Tính chất 1: Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến cũng vuông góc với mặt phẳng kia.

Tính chất 2: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.

9. Khoảng cách

9.1. Khoảng cách từ một diểm đến một đường thẳng

Cho đường thẳng ∆ và điểm M không thuộc ∆. Gọi H là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng ∆. Độ dài đoạn thẳng MH gọi là khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng ∆, kí hiệu d(M, ∆).

Trong hình trên, ta có d(M, ∆) = MH.

Chú ý: Khi điểm M thuộc đường thẳng ∆ thì d(M, ∆) = 0.

9.2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Cho mặt phẳng (P) và điểm M không thuộc mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu của M trên mặt phẳng (P). Độ dài đoạn thẳng MH gọi là khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P), kí hiệu d(M, (P)).

Chú ý: Khi điểm M thuộc mặt phẳng (P) thì d(M, (P)) = 0.

9.3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song

Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song ∆, ∆' là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia, kí hiệu d(∆, ∆').

Trong hình trên, ta có d(∆, ∆') = AB với A ∈ ∆, B ∈ ∆', AB ⊥ ∆, AB ⊥ ∆' và ∆ // ∆'.

9.4. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

Cho đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng (P). Khoảng cách giữa đường thẳng ∆ và mặt phẳng (P) là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường thẳng ∆ đến mặt phẳng (P), kí hiệu d(∆, (P)).

Trong hình trên, ta có: d(∆, (P)) = MM' = h, trong đó M ∈ ∆, M' ∈ (P), MM' ⊥ (P) và ∆ // (P).

9.5. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (P), (Q) là khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia, kí kiệu d((P), (Q)).

Trong hình trên, ta có d((P), (Q)) = IK = h với I ∈ (P), K ∈ (Q), IK ⊥ (P), IK ⊥ (Q) và (P) // (Q).

9.6. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cho hai đường thẳng a, b chéo nhau.

• Đường thẳng c vừa vuông góc, vừa cắt cả hai đường thẳng a và b được gọi là đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

• Đoạn thẳng có hai đầu mút là giao điểm của đường thẳng c với hai đường thẳng a, b được là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

• Độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng a, b gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng đó, kí hiệu d(a, b).

Nhận xét: Gọi mặt phẳng chứa b và song song với a là (P), hình chiếu của a trên (P) là a', giao điểm của a' và b là K, hình chiếu của K trên a là H. Khi đó, HK là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a, b.

Ngoài ra, ta cũng có d(a, b) = d(a, (P)).

Khi a ⊥ b, ta có thể làm như sau: Gọi mặt phẳng đi qua b và vuông góc với a là (P), giao điểm của a và (P) là H, hình chiếu của H trên b là K. Khi đó HK là đoạn vuông

góc chung của hai đường thẳng chéo nhau a, b.

10. Hình lăng trụ đứng. Hình lăng trụ đều

• Hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt đáy được gọi là hình lăng trụ đứng.

• Hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều gọi là hình lăng trụ đều.

• Hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp đứng.

Chú ý: Khi đáy của hình lăng trụ đứng lần lượt là tứ giác, ngũ giác, lục giác, ta gọi hình lăng trụ đứng đó lần lượt là hình lăng trụ đứng tứ giác (Hình a), hình lăng trụ đứng ngũ giác (Hình b), hình lăng trụ đứng lục giác (Hình c).

Nhận xét:

• Mỗi mặt bên của hình lăng trụ đứng là hình chữ nhật, mặt phẳng chứa nó vuông góc với mặt đáy.

• Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.

Hình hộp chữ nhật có 6 mặt là hình chữ nhật.

Nếu mỗi mặt của hình hộp là hình chữ nhật thì hình hộp đó là hình hộp chữ nhật.

Độ dài các đường chéo của hình hộp chữ nhật là bằng nhau.

• Hình lập phương là hình hộp chữ nhật có tất cả các mặt là hình vuông.

Hình lập phương là hình lăng trụ tứ giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy.

11. Hình chóp đều. Hình chóp cụt đều

⮚ Hình chóp đều

Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau.

Chú ý:

• Khi đáy của hình chóp đều lần lượt là tam giác đều, hình vuông, ngũ giác đều, lục giác đều, ta gọi hình chóp đều đó lần lượt là hình chóp tam giác đều, hình chóp tứ giác đều, hình chóp ngũ giác đều, hình chóp lục giác đều.

• Hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng cạnh đáy là tứ diện đều.

Tính chất: Chân đường cao của hình chóp đều là tâm đường tròn ngoại tiếp của đáy.

⮚ Hình chóp cụt đều

Cho hình chóp đều S.A₁A₂A₃...A_n. Mặt phẳng (P) song song với đáy của hình chóp và cắt các cạnh SA₁, SA₂, ..., SA_n, lần lượt tại B₁, B₂, ..., B_n.

Phần của hình chóp đã cho giới hạn bởi hai mặt phẳng (P) và (A₁A₂A₃...A_n) được gọi là hình chóp cụt đều A₁A₂...A_n.B₁B₂...B_n.

Trong hình chóp cụt đều A₁A₂...A_n.B₁B₂...B_n ta gọi:

• Các đa giác A₁A₂...A_n, B₁B₂...B_n lần lượt là đáy lớn, đáy nhỏ;

• Các tứ giác A₁A₂B₂B₁, A₂A₃B₃B₂, ..., A_nA₁B₁B_n là các mặt bên;

• Các đoạn thẳng A₁B₁, A₂B₂, ..., A_nB_n là các cạnh bên;

• Các cạnh của hai đa giác A₁A₂...A_n, B₁B₂...B_n là các cạnh đáy;

• Đoạn thẳng nối tâm của hai đáy là đường cao; độ dài đường cao là chiều cao.

Tuỳ theo đáy là tam giác đều, hình vuông, ngũ giác đều, ..., ta có hình chóp cụt tam giác đều, hình chóp cụt tứ giác đều, hình chóp cụt ngũ giác đều, ...

Nhận xét:

• Hai đáy của hình chóp cụt đều nằm trên hai mặt phẳng song song và có các cạnh tương ứng song song; đồng thời hai đáy đó là các đa giác đều có cùng số cạnh;

• Mỗi mặt bên của hình chóp cụt đều là một hình thang cân;

• Các đường thẳng chứa cạnh bên của hình chóp cụt đều cùng đi qua một điểm;

• Đường cao của hình chóp cụt đều thì vuông góc với hai đáy của hình chóp cụt đều đó (chẳng hạn, đoạn thẳng OO' trong hình dưới).

12. Thể tích của một số hình khối

Phần không gian được giới hạn bởi một hình lăng trụ (kể cả hình lăng trụ ấy) được gọi là khối lăng trụ. Ta định nghĩa tương tự các khối sau: khối hộp, khối chóp, khối chóp cụt đều.

Đỉnh, cạnh, mặt của các khối lăng trụ, khối hộp, khối chóp, khối chóp cụt đều là đỉnh, cạnh, mặt của các hình lăng trụ, hình hộp, hình chóp, hình chóp cụt đều tương ứng.

12.1. Thể tích của khối lăng trụ

Thể tích của khối lăng trụ bằng diện tích đáy nhân với chiều cao.

Cụ thể, ta có: V = S ∙ h, trong đó V là thể tích của khối lăng trụ, S là diện tích của đáy và h là chiều cao của khối lăng trụ.

Nhận xét:

• Do chiều cao của khối lăng trụ đứng bằng độ dài cạnh bên nên thể tích của khối lăng trụ đứng bằng diện tích đáy nhân với độ dài cạnh bên.

• Vì khối hộp là khối lăng trụ có đáy là hình bình hành nên thể tích của khối hộp bằng diện tích đáy nhân với chiều cao.

• Thể tích của khối hộp chữ nhật với ba kích thước: chiều dài a, chiều rộng b, chiều cao c, là: V = abc.

• Thể tích của khối lập phương cạnh a là: V = a³.

12.2. Thể tích của khối chóp và khối chóp cụt đều

a) Thể tích của khối chóp

Thể tích của khối chóp bằng một phần ba diện tích đáy nhân với chiều cao.

Cụ thể, ta có: V = $\frac{1}{3}$S ∙ h, trong đó V là thể tích của khối chóp, S là diện tích của đáy và h là chiều cao của khối chóp.

b) Thể tích của khối chóp cụt đều

Thể tích của khối chóp cụt đều được tính theo công thức:

$V=\frac{1}{3}h\left(S_1+\sqrt{S_1{S}_2}+S_2\right),$

trong đó h là chiều cao và S₁, S₂ lần lượt là diện tích hai đáy của khối chóp cụt đều.

Bài tập tổng hợp Toán 11 Chương 8

Bài 1. Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng nhau. Gọi M, N, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BC và AB. Tính góc giữa đường thẳng MN và BD; góc giữa đường thẳng KN và MD.

Hướng dẫn giải

Vì MN // AB nên góc giữa hai đường thẳng MN và BD bằng góc giữa hai đường thẳng AB và BD, mà tam giác ABD là tam giác đều nên góc giữa hai đường thẳng AB và BD bằng $60°.$

Do đó $(MN,BD)=(AB,BD)=60°.$

Vì NK // AC nên góc giữa hai đường thẳng NK và MD bằng góc giữa hai đường thẳng AC và MD, mà tam giác ACD là tam giác đều, lại có M là trung điểm của AC nên MD là đường cao của tam giác ACD, do đó góc giữa hai đường thẳng AC và MD bằng 90°.

Do đó $(NK,MD)=(AC,MD)=90°.$

Bài 2. Cho tứ diện ABCD, gọi M và N lần lượt là trung điểm của AC và BD. Biết $MN=a\sqrt{3};AB=2\sqrt{2}a$ và CD = 2a. Chứng minh rằng đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng CD.

Hướng dẫn giải

Lấy K là trung điểm của cạnh BC, ta có: NK và MK lần lượt là đường trung bình của tam giác BCD và tam giác ABC nên NK = a và $MK=a\sqrt{2}.$

Do đó, $M{N}^2=3a^2=M{K}^2+N{K}^2$ suy ra tam giác MNK vuông tại K, hay $MK\perp NK$ mà MK // AB và NK // CD nên $(AB,CD)=(MK,NK)=90°$, hay $AB\perp CD.$

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông có tâm O và SA = SB = SC = SD.

a) Xác định hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD).

b) Xác định hình chiếu vuông góc của đường thẳng SA trên mặt phẳng (ABCD).

c) Chứng minh BD ⊥ SA.

d) Tìm hình chiếu vuông góc của tam giác SOB trên mặt phẳng (ABCD).

Hướng dẫn giải

a) Vì DSBD, DSAC cân tại S nên ta có

Suy ra O là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD).

b) Ta có hình chiếu vuông góc của đường thẳng SA trên (ABCD) là OA.

c) Ta có hình chiếu vuông góc của SA trên (ABCD) là OA, mặt khác ta có OA ⊥ BD.

Theo định lí ba đường vuông góc ta suy ra BD ⊥ SA.

d) Hình chiếu vuông góc của S trên (ABCD) là điểm O.

Hình chiếu vuông góc của các điểm O và B trên (ABCD) lần lượt là điểm O và B.

Vậy hình chiếu vuông góc của tam giác SOB trên mặt phẳng (ABCD) là đường thẳng OB.

Bài 4. Cho tứ diện ABCD có ABC và BCD là các tam giác cân tại A và D. Gọi I là trung điểm của BC.

a) Chứng minh rằng $BC\perp AD.$

b) Kẻ AH là đường cao của tam giác ADI. Chứng minh rằng $AH\perp \left(BCD\right).$

Hướng dẫn giải

a) Tam giác ABC cân tại A và I là trung điểm của BC nên $AI\perp BC$.(1)

Tam giác DCB cân tại D và I là trung điểm của BC nên $DI\perp BC$.(2)

Từ (1) và (2) suy ra $BC\perp \left(AID\right)$, suy ra $BC\perp AD.$

b) Ta có $AH\perp DI$ và $AH\perp BC$ (vì $BC\perp \left(ADI\right)$,$AH\subset \left(ADI\right)$ ), suy ra $AH\perp \left(BCD\right).$

Bài 5. Cho tứ diện ABCD có $DA\perp \left(ABC\right),ABC$ là tam giác cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. Vẽ $AH\perp MD$ tại H.

a) Chứng minh rằng $AH\perp \left(BCD\right).$

b) Gọi G, K lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và DBC. Chứng minh rằng $GK\perp \left(ABC\right).$

Hướng dẫn giải

a) Ta có $BC\perp DA,BC\perp AM$, suy ra $BC\perp \left(ADM\right)$, suy ra $BC\perp AH$.

Ta lại có $AH\perp DM$, suy ra $AH\perp \left(BCD\right)$.

b) Ta có $\frac{MK}{MD}=\frac{MG}{MA}=\frac{1}{3}$, suy ra GK // AD.

Ta lại có $AD\perp \left(ABC\right)$, suy ra $GK\perp \left(ABC\right).$

Bài 6. Cho hình lăng trụ tam giác $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ có AA' vuông góc với mặt phẳng (ABC) và đáy là tam giác ABC vuông tại B. Chứng minh rằng:

a) $B{B}^{\text{'}}\perp \left(A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\right);$

b) $B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\perp \left(AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right).$

Hướng dẫn giải

a) Vì $A{A}^{\text{'}}\perp \left(ABC\right),A{A}^{\text{'}}//B{B}^{\text{'}}$ và $\left(ABC\right)//\left(A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\right)$ nên $B{B}^{\text{'}}\perp \left(A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\right).$

b) Vì $BC\perp AB,BC\perp B{B}^{\text{'}}$ nên $BC\perp \left(AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right).$

Mà BC // B'C', suy ra $B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\perp \left(AB{B}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right).$

Bài 7. Cho hình chóp S.ABC có $SA\perp \left(ABC\right)$, tam giác ABC vuông tại B, AC = 2a, BC = a, $SB=2a\sqrt{3}$. Tính góc giữa SA và mặt phẳng (SBC).

Hướng dẫn giải

Trong mặt phẳng (SAB) kẻ $AH\perp SB\left(H\in SB\right).$

Vì

Mà $SB\perp AH$ (do cách dựng) nên $AH\perp \left(SBC\right)$, hay H là hình chiếu của A lên mặt phẳng (SBC), suy ra góc giữa SA và (SBC) là góc giữa hai đường thẳng SA và AH, đây chính là góc ASH hay góc ASB.

Tam giác ABC vuông ở B $\Rightarrow AB=\sqrt{A{C}^2-B{C}^2}=a\sqrt{3}.$

Tam giác SAB vuông ở A $\Rightarrow \sin \widehat{ASB}=\frac{AB}{SB}=\frac{1}{2}$$\Rightarrow \widehat{ASB}=30°.$

Vậy góc giữa SA và mặt phẳng (SBC) bằng 30°.

Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, $\widehat{BAD}=120°,SA\perp \left(ABCD\right)$ và $SA=\sqrt{3}a$. Tính tang góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAD).

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ADC cân tại D, có $\hat{D}=60°$ nên tam giác ADC đều.

Kẻ $CI\perp AD$ tại I.

Ta có: $CI\perp SA\Rightarrow CI\perp \left(SAD\right)$ nên SI là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (SAD).

Do đó, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAD) là góc giữa hai đường thẳng SC và SI, chính là góc CSI.

Ta có: $SI=\sqrt{S{A}^2+A{I}^2}=$$\sqrt{{\left(a\sqrt{3}\right)}^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{13}}{2}a.$

Xét $\Delta SCI$ vuông tại I có $\tan \widehat{CSI}=\frac{IC}{SI}=\frac{\frac{\sqrt{3}a}{2}}{\frac{a\sqrt{13}}{2}}=\frac{\sqrt{39}}{13}.$

Vậy tang góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAD) bằng $\frac{\sqrt{39}}{13}.$

Bài 9.Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD với O là tâm của đáy và có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính số đo của các góc nhị diện [S, BC, O];[C, SO, B].

Hướng dẫn giải

Hình chóp S.ABCD đều nên $SO\perp \left(ABCD\right).$

Kẻ $SH\perp BC$ tại H. Ta có $BC\perp SO$ nên $BC\perp \left(SOH\right).$

Suy ra $OH\perp BC$.Do đó, $\widehat{SHO}$ là một góc phẳng của góc nhị diện [S, BC, O].

Ta xác định được $OH=\frac{a}{2},OC=OB=\frac{a\sqrt{2}}{2},$$SO=\sqrt{a^2-{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$

Do đó, $\tan \widehat{SHO}=\frac{SO}{OH}=\sqrt{2}$. Suy ra $\widehat{SHO}\approx 54,7°.$

Lại có$SO\perp \left(ABCD\right)$ nên $SO\perp OB,SO\perp OC.$

Do đó, $\widehat{BOC}$ là một góc phẳng của góc nhị diện [C, SO, B]. Ta có $\widehat{BOC}=90°.$

Vậy các góc nhị diện [S, BC, O];[C, SO, B] tương ứng có số đo là $54,7°;90°.$

Bài 10. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D, AB = AD = 2a, CD = a. Gọi I là trung điểm cạnh AD, biết hai mặt phẳng (SBI), (SCI) cùng vuông góc với đáy và $SI=\frac{3a\sqrt{5}}{5}$. Tính số đo góc nhị diện [S, BC, D].

Hướng dẫn giải

Ta có SI vuông góc với đáy (ABCD) và $BC=\sqrt{{\left(2a\right)}^2+a^2}=a\sqrt{5}.$

Vẽ $IH\perp CB$ tại H.

Do đó,IH là hình chiếu của SH lên mặt phẳng (ABCD) nên $SH\perp CB$ (theo định lý ba đường vuông góc).

Khi đó, $\widehat{SHI}$ là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [S, BC, D].

Ta có $S_{ICB}=S_{ABCD}-S_{IDC}-S_{AIB}$$=3a^2-\frac{a^2}{2}-a^2=\frac{3a^2}{2}$$\Rightarrow IH\cdot CB=3a^2\Rightarrow IH=\frac{3a\sqrt{5}}{5}.$

Ta có $\tan \widehat{SHI}=\frac{SI}{IH}=\frac{\frac{3a\sqrt{5}}{5}}{\frac{3a\sqrt{5}}{5}}=1$$\Rightarrow \widehat{SHI}=45°.$

Vậy góc nhị diện [S, BC, D] bằng 45°.

Bài 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh bằng a, góc BAD bằng 60°. Kẻ OH vuông góc với SC tại H. Biết $SA\perp \left(ABCD\right)$ và $SA=\frac{a\sqrt{6}}{2}$. Chứng minh rằng:

a) $\left(SBD\right)\perp \left(SAC\right);$

b) $\left(SBC\right)\perp \left(BDH\right);$

c) $\left(SBC\right)\perp \left(SCD\right).$

Hướng dẫn giải

a) Ta có $SA\perp \left(ABCD\right)$ nên $SA\perp BD$ mà $BD\perp AC$, do đó $BD\perp \left(SAC\right).$

Vì mặt phẳng (SBD) chứa BD nên $\left(SBD\right)\perp \left(SAC\right).$

b) Ta có $BD\perp \left(SAC\right)$ nên $BD\perp SC$ mà $SC\perp OH$, do đó $SC\perp \left(BDH\right).$

Vì mặt phẳng (SBC) chứa SC nên $\left(SBC\right)\perp \left(BDH\right).$

c) Ta có: $SC=\sqrt{S{A}^2+A{C}^2}=\frac{3a\sqrt{2}}{2}.$

Vì ∆CHO ∽ ∆CAS (g.g) nên $\frac{HO}{AS}=\frac{CO}{CS}$, suy ra $HO=\frac{CO\cdot AS}{CS}=\frac{a}{2}=\frac{BD}{2}.$

Do đó, tam giác BDH vuông tại H, suy ra $\widehat{BHD}=90°.$

Ta có $BD\perp \left(SAC\right)$ nên BD ⊥ SC, mà OH ⊥ SC nên SC ⊥ (BDH). Suy ra BH ⊥ SC và DH ⊥ SC nên góc BHD là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [B, SC, D].

Mà $\widehat{BHD}=90°$, vì vậy góc nhị diện [B, SC, D] là góc nhị diện vuông.

Hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) cắt nhau tạo nên bốn góc nhị diện, trong đó góc nhị diện [B, SC, D] là góc nhị diện vuông nên $\left(SBC\right)\perp \left(SCD\right).$

Bài 12. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và 2 mặt bên (SAB), (SAC) cùng vuông góc với đáy.

a) Chứng minh $SA\perp \left(ABC\right).$

b) Hạ $AH\perp SB,AK\perp SC$. Chứng minh $\left(AHK\right)\perp \left(SBC\right).$

Hướng dẫn giải

a) Ta có $\left(SAB\right)\perp \left(ABC\right),\left(SAC\right)\perp \left(ABC\right)$ nên giao tuyến $SA\perp \left(ABC\right).$

b) Ta có $AB\perp BC$ (vì tam giác ABCvuông tại B) và $SA\perp BC$ (vì $SA\perp \left(ABC\right)$).

Suy ra $BC\perp \left(SAB\right)$$\Rightarrow \left(SBC\right)\perp \left(SAB\right).$

Vì AH nằm trong mặt phẳng (SAB) và vuông góc với giao tuyến SB của hai mặt phẳng (SBC) và (SAB) nên $AH\perp \left(SBC\right).$

Mà $AH\subset \left(AHK\right)$ nên $\left(AHK\right)\perp \left(SBC\right).$

Bài 13. Cho hình chóp S.ABC có $SA\perp \left(ABC\right)$, đáy là tam giác ABC vuông tại B, biết SA = AB = BC = a. Tính theo a khoảng cách:

a) Từ điểm B đến đường thẳng SC.

b) Từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).

c) Giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và SC.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $BC\perp AB,BC\perp SA$ nên $BC\perp \left(SAB\right)$, suy ra $BC\perp SB$. Kẻ $BH\perp SC$ tại H thì d(B, SC) = BH.

Theo định lí Pythagore, ta tính được $SB=AC=a\sqrt{2},SC=a\sqrt{3}.$

Xét tam giác SBC vuông tại B có đường cao BH.

Khi đó: $BH=\frac{SB\cdot BC}{SC}$$=\frac{a\cdot a\sqrt{2}}{a\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$. Vậy $d(B,SC)=\frac{a\sqrt{6}}{3}.$

b) Kẻ $AK\perp SB$ tại K, có $BC\perp \left(SAB\right)$ nên $BC\perp AK.$

Suy ra $AK\perp \left(SBC\right)$, do đó $d(A,(SBC\left)\right)=AK.$

Xét tam giác SAB vuông tại A có đường cao AK.

Khi đó $AK=\frac{SA\cdot AB}{SB}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$. Vậy $d(A,(SBC\left)\right)=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$

c) Dựng hình bình hành ABCD, vì tam giác ABC vuông cân tại B nên ABCD là hình vuông.

Vì $CD\perp AD,CD\perp SA$ nên $CD\perp \left(SAD\right).$

Kẻ $AE\perp SD$ tại E, mà $AE\perp CD$ nên $AE\perp \left(SCD\right)$ (1).

Vì mặt phẳng (SCD) chứa SC và song song với AB nên

$d(AB,SC)=d(AB,(SCD\left)\right)$$=d(A,(SCD\left)\right)$ (2).

Từ (1) và (2), suy ra d(AB, SC) = AE.

Vì tam giác SAD vuông cân tại A, có đường cao AE nên $AE=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$

Vậy $d(AB,SC)=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$

Bài 14. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thoi cạnh a, $\widehat{BAD}=60°$. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy là giao điểm O của AC và BD. Số đo góc nhị diện [S, CD, A] bằng 60°. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.

Hướng dẫn giải

Do ABCD là hình thoi cạnh a, $\widehat{BAD}=60°$ nên tam giác ABD và BCD là các tam giác đều cạnh a. Kẻ $OE\perp CD$ tại E và M là trung điểm của CD. Khi đó, góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [S, CD, A] là góc SEO và bằng 60°; $OE=\frac{1}{2}BM=\frac{a\sqrt{3}}{4}.$

Kẻ $OH\perp SE$ tại H, ta có $OH\perp \left(SCD\right)\Rightarrow d\left(O,\left(SCD\right)\right)$$=OH=OE\cdot \sin 60°=\frac{3a}{8}.$

Vậy $d\left(AB,SC\right)=d\left(AB,\left(SCD\right)\right)$$=d\left(A,\left(SCD\right)\right)=2d\left(O,\left(SCD\right)\right)$$=2OH=\frac{3a}{4}.$

Bài 15. Cho hình chóp cụt tứ giác đều $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ có đáy lớn ABCD có cạnh bằng 2a, đáy nhỏ $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ có cạnh bằng a và cạnh bên 2a. Tính đường cao của hình chóp cụt và đường cao của mặt bên.

Hướng dẫn giải

Gọi O và O' lần lượt là tâm của hai đáy và H là hình chiếu của C' trên AC.

Trong hình thang vuông OO'C'C, vẽ đường cao C'H $(H\in OC).$

Ta có: $OC=a\sqrt{2},$ $O^{\text{'}}{C}^{\text{'}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$, suy ra $CH=a\sqrt{2}-\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$

Trong tam giác vuông C'CH, ta có:

$C^{\text{'}}H=\sqrt{C{C^{\text{'}}}^2-C{H}^2}$$=\sqrt{{\left(2a\right)}^2-{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{14}}{2}.$ Nên $O{O}^{\text{'}}=C^{\text{'}}H=\frac{a\sqrt{14}}{2}.$

Trong hình thang $B{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}C$, vẽ đường cao $C^{\text{'}}K(K\in BC).$

Ta có $CK=\frac{BC-B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{2}$$=\frac{2a-a}{2}=\frac{a}{2}.$

Trong tam giác vuông C'CK, ta có: $C^{\text{'}}K=\sqrt{C{C^{\text{'}}}^2-C{K}^2}$$=\sqrt{{\left(2a\right)}^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{15}}{2}.$

Bài 16. Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ có $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ và $A{A}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ là hai tam giác đều cạnh a. Biết $\left(AC{C}^{\text{'}}{A}^{\text{'}}\right)\perp \left(A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\right)$. Tính theo a thể tích khối lăng trụ $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}.$

Hướng dẫn giải

Kẻ $AH\perp A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ tại H thì $AH\perp \left(A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}\right).$

Ta có $S_{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4};$ $AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$, suy ra $V_{ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=S_{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\cdot AH$$=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{3a^3}{8}.$

Bài 17. Cho tứ diện OABC có OA = OB = OC = a và $\widehat{AOB}=90°;$ $\widehat{BOC}=60°;$ $\widehat{COA}=120°$. Tính theo a thể tích khối tứ diện OABC.

Hướng dẫn giải

Ta có: $AB=a\sqrt{2},$ BC = a, $CA=a\sqrt{3}$, tam giác ABC vuông tại B. Kẻ OH vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại H. Vì OA = OB = OC nên HA = HB = HC, hay H là trung điểm của AC. Xét tam giác OAH vuông tại H, theo định lí Pythagore ta tính được: $OH=\frac{a}{2}.$

Do đó $V_{OABC}=\frac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot OH$$=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot a\sqrt{2}\cdot a\cdot \frac{a}{2}=\frac{a^3\sqrt{2}}{12}.$

Bài 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, biết $SO\perp \left(ABCD\right)$, $AC=2a\sqrt{3},BD=2a$ và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.

Hướng dẫn giải

Kẻ OM vuông góc với BC tại M, OH vuông góc với SM tại H, ta chứng minh được $OH\perp \left(SBC\right)$. Vì O là trung điểm của AC nên

$d(A,(SBC\left)\right)=2\cdot d(O,(SBC\left)\right)$$=2\cdot OH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$, suy ra $OH=\frac{a\sqrt{3}}{4}.$

Tam giác OBC vuông tại O, có $OB=a,OC=a\sqrt{3}$ và đường cao OM nên $OM=\frac{OB\cdot OC}{BC}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

Tam giác SOM vuông tại O, đường cao OH nên $\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{O{M}^2}+\frac{1}{O{S}^2}$, suy ra $SO=\frac{a}{2}.$

Vậy $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}\cdot S_{ABCD}\cdot SO$$=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot 2a\sqrt{3}\cdot 2a\cdot \frac{a}{2}$$=\frac{a^3\sqrt{3}}{3}.$

Bài 19. Cho hình lập phương $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ có $A{C}^{\text{'}}=a\sqrt{3}$. Tính thể tích của khối lập phương $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}.$

Hướng dẫn giải

Đường chéo của một hình lập phương là $d=a\sqrt{3}$ với a là độ dài cạnh hình lập phương.

Dễ thấy rằng hình lập phương $ABCD.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}$ có AC' là đường chéo và cạnh là AB.

Do đó $A{C}^{\text{'}}=AB\sqrt{3}$$\Rightarrow AB=\frac{A{C}^{\text{'}}}{\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=a.$

Vậy thể tích khối lập phương là V = a³.

Bài 20. Tính thể tích của khối chóp cụt tam giác đều $ABC.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}$ có chiều cao bằng 3a, AB = 4a, A'B' =a.

Hướng dẫn giải

Diện tích tam giác đều ABC là: $S=\frac{A{B}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{{\left(4a\right)}^2\sqrt{3}}{4}$$=4a^2\sqrt{3}.$

Diện tích tam giác đều A'B'C' là: $S^{\text{'}}=\frac{A^{\text{'}}{B^{\text{'}}}^2\sqrt{3}}{4}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}.$

Thể tích khối chóp cụt:

$V=\frac{1}{3}\cdot 3a\cdot \left(4a^2\sqrt{3}+\sqrt{4a^2\sqrt{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}}+\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\right)$$=\frac{21a^3\sqrt{3}}{4}.$

Học tốt Toán 11 Chương 8

Các bài học để học tốt Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 8 Toán lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Bài tập cuối chương 8

(199k) Xem Khóa học Toán 11 CD

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Lý thuyết Toán 11 Bài 1: Hai đường thẳng vuông góc

• Lý thuyết Toán 11 Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

• Lý thuyết Toán 11 Bài 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

• Lý thuyết Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc

• Lý thuyết Toán 11 Bài 5: Khoảng cách

• Lý thuyết Toán 11 Bài 6: Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều. Thể tích của một số hình khối

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Cánh diều
• Giải SBT Toán 11 Cánh diều
• Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---