Hai mặt phẳng vuông góc lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Cánh diều)

Với tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 11.

Hai mặt phẳng vuông góc lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Cánh diều)

(199k) Xem Khóa học Toán 11 CD

Lý thuyết Hai mặt phẳng vuông góc

1. Định nghĩa

Nhận xét: Hai mặt phẳng cắt nhau tạo nên bốn góc nhị diện. Nếu một trong bốn góc nhị diện đó vuông thì các góc nhị diện còn lại cùng vuông.

Ta có định nghĩa sau:

Hai mặt phẳng cắt nhau tạo nên bốn góc nhị diện. Nếu một trong các góc nhị diện đó là góc nhị diện vuông thì hai mặt phẳng đã cho gọi là vuông góc với nhau.

Khi hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, ta kí hiệu $\left(P\right)\perp \left(Q\right)$ hoặc $\left(Q\right)\perp \left(P\right).$

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi, AC cắt BD tại O và $SO\perp \left(ABCD\right)$. Chứng minh rằng $\left(SAC\right)\perp \left(SBD\right).$

Hướng dẫn giải

Ta thấy: Góc AOB là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [A, SO, B]. Do $OA\perp OB$ nên $\widehat{AOB}=90°$. Vì vậy góc nhị diện [A, SO, B] là góc nhị diện vuông. Hai mặt phẳng (SAC), (SBD) cắt nhau tạo nên bốn góc nhị diện, trong đó góc nhị diện [A, SO, B] là góc nhị diện vuông nên $\left(SAC\right)\perp \left(SBD\right).$

2. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

Định lí: Nếu mặt phẳng này chứa một đường thẳng mà đường thẳng đó vuông góc với mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Chứng minh $\left(SAC\right)\perp \left(SAB\right).$

Hướng dẫn giải

Ta có

• $AC\perp AB$ (do tam giác ABC vuông tại A). (1)

• $AC\perp SA$ (do SAvuông góc với mặt phẳng đáy). (2)

Từ (1) và (2), suy ra $AC\perp \left(SAB\right)\Rightarrow \left(SAC\right)\perp \left(SAB\right).$

3. Tính chất

Tính chất 1: Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến cũng vuông góc với mặt phẳng kia.

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABC có SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB. Chứng minh $SM\perp \left(ABC\right).$

Hướng dẫn giải

Theo đề bài ta có $\left(SAB\right)\perp \left(ABC\right).$

Ta có tam giác SAB đều và M là trung điểm của AB, suy ra $SM\perp AB.$ Đường thẳng SM nằm trong (SAB) và vuông góc với giao tuyến AB của hai mặt phẳng (SAB) và (ABC).

Từ đó suy ra $SM\perp \left(ABC\right).$

Tính chất 2: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.

Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABC có cạnh SA bằng a, đáy ABC là tam giác đều với cạnh bằng a. Cho biết hai mặt bên (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt đáy (ABC). Tính SB và SC theo a.

Hướng dẫn giải

Ta có hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt đáy (ABC), khi đó giao tuyến SA của (SAB) và (SAC) vuông góc với (ABC). Từ $SA\perp \left(ABC\right)$ ta có $SA\perp AB$ và $SA\perp AC$, suy ra tam giác SAB và SAC vuông cân tại A, suy ra $SB=SC=a\sqrt{2}$.

Bài tập Hai mặt phẳng vuông góc

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh bằng a, góc BAD bằng 60°. Kẻ OH vuông góc với SC tại H. Biết $SA\perp \left(ABCD\right)$ và $SA=\frac{a\sqrt{6}}{2}$. Chứng minh rằng:

a) $\left(SBD\right)\perp \left(SAC\right);$

b) $\left(SBC\right)\perp \left(BDH\right);$

c) $\left(SBC\right)\perp \left(SCD\right).$

Hướng dẫn giải

a) Ta có $SA\perp \left(ABCD\right)$ nên $SA\perp BD$ mà $BD\perp AC$, do đó $BD\perp \left(SAC\right).$

Vì mặt phẳng (SBD) chứa BD nên $\left(SBD\right)\perp \left(SAC\right).$

b) Ta có $BD\perp \left(SAC\right)$ nên $BD\perp SC$ mà $SC\perp OH$, do đó $SC\perp \left(BDH\right).$

Vì mặt phẳng (SBC) chứa SC nên $\left(SBC\right)\perp \left(BDH\right).$

c) Ta có: $SC=\sqrt{S{A}^2+A{C}^2}=\frac{3a\sqrt{2}}{2}.$

Vì ∆CHO ∽ ∆CAS (g.g) nên $\frac{HO}{AS}=\frac{CO}{CS}$, suy ra $HO=\frac{CO\cdot AS}{CS}=\frac{a}{2}=\frac{BD}{2}.$

Do đó, tam giác BDH vuông tại H, suy ra $\widehat{BHD}=90°.$

Ta có $BD\perp \left(SAC\right)$ nên BD ⊥ SC, mà OH ⊥ SC nên SC ⊥ (BDH). Suy ra BH ⊥ SC và DH ⊥ SC nên góc BHD là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [B, SC, D].

Mà $\widehat{BHD}=90°$, vì vậy góc nhị diện [B, SC, D] là góc nhị diện vuông.

Hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) cắt nhau tạo nên bốn góc nhị diện, trong đó góc nhị diện [B, SC, D] là góc nhị diện vuông nên $\left(SBC\right)\perp \left(SCD\right).$

Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và 2 mặt bên (SAB), (SAC) cùng vuông góc với đáy.

a) Chứng minh $SA\perp \left(ABC\right).$

b) Hạ $AH\perp SB,AK\perp SC$. Chứng minh $\left(AHK\right)\perp \left(SBC\right).$

Hướng dẫn giải

a) Ta có $\left(SAB\right)\perp \left(ABC\right),\left(SAC\right)\perp \left(ABC\right)$ nên giao tuyến $SA\perp \left(ABC\right).$

b) Ta có $AB\perp BC$ (vì tam giác ABCvuông tại B) và $SA\perp BC$ (vì $SA\perp \left(ABC\right)$).

Suy ra $BC\perp \left(SAB\right)$$\Rightarrow \left(SBC\right)\perp \left(SAB\right).$

Vì AH nằm trong mặt phẳng (SAB) và vuông góc với giao tuyến SB của hai mặt phẳng (SBC) và (SAB) nên $AH\perp \left(SBC\right).$

Mà $AH\subset \left(AHK\right)$ nên $\left(AHK\right)\perp \left(SBC\right).$

Bài 3. Tứ diện SABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi H và K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC. Chứng minh rằng:

a) $\left(SAC\right)\perp \left(BHK\right).$

b) $\left(SBC\right)\perp \left(BHK\right).$

Hướng dẫn giải

a) Để ý ba đường thẳng AH, SK và BC đồng quy tại A'.

Vì K là trực tâm của tam giác SBC nên $BK\perp SC.$

Vì H là trực tâm của tam giác ABC và $SA\perp \left(ABC\right)$ nên $BH\perp AC,BH\perp SA.$

Suy ra $BH\perp \left(SAC\right)$ nên $BH\perp SC.$

Do đó $SC\perp \left(BHK\right)$ nên ta có $\left(SAC\right)\perp \left(BHK\right).$

b) Ta có $BC\perp \left(SA{A}^{\text{'}}\right)$, do đó $BC\perp HK.$

Và $SC\perp \left(BHK\right)$, do đó $SC\perp HK$ nên $HK\perp \left(SBC\right).$

Vì mặt phẳng (BHK) chứa HK nên $\left(BHK\right)\perp \left(SBC\right).$

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A, B và có AD = 2AB = 2BC, SA vuông góc với đáy. Chứng minh:

a) $\left(SBC\right)\perp \left(SAB\right).$

b) $\left(SCD\right)\perp \left(SA\text{}C\right).$

Hướng dẫn giải

a) Ta có $BC\perp BA\Rightarrow BC\perp SB$ nên $BC\perp \left(SAB\right)$. Do đó $\left(SBC\right)\perp \left(SAB\right).$

b) Gọi O là trung điểm AD thì OA = AB = BC và OA // BC, ta có góc A, B vuông nên OABC là hình vuông.

Do đó $OB\perp AC$ mà OBCD là hình bình hành nên OB // CD, do đó $CD\perp AC.$

Mà $CD\perp SA$ nên $CD\perp \left(SAC\right)$. Vậy $\left(SCD\right)\perp \left(SA\text{}C\right).$

Học tốt Hai mặt phẳng vuông góc

Các bài học để học tốt Hai mặt phẳng vuông góc Toán lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc

(199k) Xem Khóa học Toán 11 CD

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Lý thuyết Toán 11 Bài 1: Hai đường thẳng vuông góc

• Lý thuyết Toán 11 Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

• Lý thuyết Toán 11 Bài 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

• Lý thuyết Toán 11 Bài 5: Khoảng cách

• Lý thuyết Toán 11 Bài 6: Hình lăng trụ đứng. Hình chóp đều. Thể tích của một số hình khối

• Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 8

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Cánh diều
• Giải SBT Toán 11 Cánh diều
• Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---